北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学文试题(全含答案).pdf

海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）2017.1本试卷共4 页， 150 分考试时长120 分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1复数 i(2i) 在复平面内对应的点的坐标为A ( 2,1)B (2, 1)C (1,2)D ( 1,2)2抛物线22yx的焦点到准线的距离为A12B1 C2 D3 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0 +)，上单调递增的是A1()2xyB2yxC2logyxD|1yx4已知向量a,b 满足20ab =， ()2abb，则 |b|A12B1 C2D25右侧程序框图所示的算法来自于九章算术.若输入a的值为 16 ，b的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A6 B7 C8 D9 6在ABC 中，“30A”是 “1sin2A” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件开始是否是否aabbbaa输出结束,a b输入abab7已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A2 33B4 33C2D5 338 如 图 ， 已 知 正 方 体1111ABCDAB C D 的 棱 长 为1，,E F 分 别 是 棱11,AD BC 上 的 动 点 ， 设1,AEx B Fy 若 棱1DD 与平面BEF有公共点，则xy 的取值范围是A 0,1B1 3,2 2C 1,2D3,22二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9已知双曲线C:2214yx，则双曲线C的一条渐近线的方程为_10已知数列na满足12,nnaan*N且33a，则1a_，其前n项和nS_11 已知圆 C:2220 xyx，则圆心C的坐标为 _，圆 C 截直线yx的弦长为 _12已知, x y满足04,03,28,xyxy则目标函数2zxy的最大值为 _13如图所示，点D段AB上，30CAD，50CDB给出下列三组条件（给出线段的长度）：,AD DB； ,AC DB； ,CD DB其中， 能使ABC唯一确定的条件的序号为_ （写出所有所和要求的条件的序号）14已知 A、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示， A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；ADBCABCD1D1A1B1CEF主视图俯视图左视图1113212丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”其中，说法正确的同学是_三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15（本小题满分13 分）已知数列na是各项均为正数的等比数列，且21a，346aa（）求数列na的通项公式；（）设数列nan的前n项和为nS ，比较4S 和5S 的大小，并说明理由16（本小题满分13 分）已知函数2sin22cos( )cosxxf xx（）求( )f x 的定义域及()4f的值；（）求( )f x 在(0,)2上的单调递增区间17（本小题满分13 分）诚信是立身之本，道德之基某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：表 1 第一周第二周第三周第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% （）计算表1 中八周水站诚信度的平均数x；（）从表1 诚信度超过91%的数据中，随机抽取2 个，求至少有1 个数据出现在第二个周期的概率；（）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：表 2 第一周第二周第三周第四周第三个周期85% 92% 95% 96% 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由18（本小题满分14 分）如图，在四棱锥PABCD 中， PD底面 ABCD ，AB/DC, CD=2AB, ADCD，E 为棱 PD 的中点（）求证： CDAE；（）求证：平面PAB平面 PAD；（）试判断PB 与平面 AEC 是否平行？并说明理由19（本小题满分13 分）已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为32， 直线 l 过椭圆 G 的右顶点(2,0)A， 且交椭圆 G于另一点 C （）求椭圆G 的标准方程；（）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线 l 的方程20（本小题满分14 分）已知函数ln1( )xf xx（）求曲线( )yf x 在函数( )f x 零点处的切线方程；（）求函数( )yf x 的单调区间；（）若关于x的方程( )f xa 恰有两个不同的实根12,xx ，且12xx ，求证：2111xxaPABCDE海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准2017.1一、选择题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. C 2. B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.C 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9.2yx或2yx（写出之一即可）10.1，22nn11.(1,0)，212.10 13.14.乙三、解答题共6 小题，共80 分解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程15. （本小题满分13 分）解：（）设数列na的公比为q，由346aa可得6222qaqa又21a，所以62，解得2q或3q，因为0na(1,2,3,)n，所以10nnaqa. 所以2q，所以211a，所以，数列na的通项22,(1,2,3,)nnan. （）法1：由数列nan的前n项和nS 的意义可得5455SSa，所以5 2542530SS，所以54SS. 法 2：1(12 )(1)2122nnn nS，所以254S，所以215S，所以54SS. 16. （本小题满分13 分）解：（）由cos0 x可得,2xkkZ ，所以( )f x的定义域为,2x xkkZ. 11()22422f. （）2sin22cos( )cosxxf xx22sincos2coscosxxxx2sin2cosxx2 2 sin()4x，法 1：函数xysin的增区间为(2 ,2 ),22kkkZ .由2 2 242kxk，kZ，得32 2 44kxk， kZ ，因为(0,)2x，所以04x，所以，( )f x在(0,)2上的单调递增区间为(0,)4. 法 2：因为(0,)2x，所以 3(,)444x. 因为函数xysin在 (,)2 2上单调递增，所以 (,)442x时，( )2 2sin()4f xx单调递增此时(0,)4x，所以，函数( )f x在(0,)2上的单调递增区间为(0, )4. 17. （本小题满分13 分）解：（）八周诚信水站诚信度的平均数为x=95+98+92+88+94+94+83+80=90.5%8 100. （）表1中超过91%的数据共有5 个，其中第一个周期有3 个，分别记为1a 、2a 、3a ，第二个周期有2 个，分别记为1b 、2b , 从这 5 个数据中任取2 个共有 10 种情况：12131112,a a a aab ab232122,a a a b a b3132,a b a b12.bb其中至少有1 个数据出现在第二个周期有7 种情况 . 设至少有1 个数据出现在第二个周期为事件A. 则7()10P A. （）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：第三个周期水站诚信度的平均数92%高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；第三个周期水站诚信度的平均数92%高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；12 周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；18. （本小题满分14 分）解：（）因为PD底面 ABCD，DC底面 ABCD，所以 PD DC.又 ADDC，ADPD=D ，故 CD平面 PAD. 又 AE平面 PAD，所以 CDAE. （）因为AB/DC,CD平面 PAD，所以 AB平面 PAD. 又因为 AB平面 PAB，所以平面PAB平面 PAD. （） PB 与平面 AEC 不平行 . 假设 PB /平面 AEC，面设 BDAC=O ，连结OE，则平面EAC平PDBOE，又PB平面PDB-1 分所以/PBOE. 所以，在PDB中有OBODPEED，由E 是PD中 点 可 得1OBPEODED， 即O BO D. 因为 AB/DC，PABCDEO所以12ABOBCDOD，这与OBOD矛盾，所以假设错误，PB 与平面 AEC 不平行 . （注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）19. （本小题满分13 分）解： （）由题设可得3,22ceaa，解得3c. 因为222abc ，所以221bac，所以椭圆 G 的标准方程为2214xy. （）法1：以 AC 为直径的圆经过点B 等价于0BC BA. 由题设可得(0,1)B，所以2, 1BA，,1CCBCxy，所以210CCBC BAxy. 又(,)CCC xy在椭圆 G 上，所以2214CCxy，由2221,44CCCCyxxy可得217160CCxx，解得0Cx或1617Cx，所以(0,1)C或1615(,)1717C，所以，直线l 方程为220 xy或 31060 xy. （丢一解扣一分）法 2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为2yk x，由22(2),44yk xxy可得222214161640kxk xk. 0,2216414CAkx xk，又因为2Ax，所以228214Ckxk. 由题设可得以AC 为直径的圆经过点(0,1)B等价于0BC BA. 所以212(2)10CCCCBC BAxyxk x，即222043014kkk. 解得12k或310k. 所以，直线l方程为220 xy或31060 xy. （注：丢一解，总体上只扣1 分）20. （本小题满分14 分）解：（）令0fx，得1ex.所以，函数( )f x 零点为1e. 由ln1( )xf xx得221(ln1)lnxxxxfxxx，所以21()eef，所以曲线( )yf x 在函数( )f x 零点处的切线方程为210e ()eyx，即2eeyx. （）由函数ln1( )xf xx得定义域为(0,). 令( )0fx，得1x. 所以，在区间(0,1)上，( )0fx；在区间(1,)上，( )0fx. 故函数( )f x 的单调递增区间是0 1，单调递减区间是1，. （）由（ ）可知( )f x 在1(0,e)上( )0f x，在1(e ,)上( )0f x. 由（ ）结论可知，函数( )f x 在1x处取得极大值(1)1f，所以，方程( )f xa有两个不同的实根12,xx时，必有 01a，且112e1xx，法 1：所以21( )(1 ln )()faaaf xa，由( )f x在(1,)上单调递减可知21xa，所以2111xxa. 法 2：由fxa可得 ln1xax ，两个方程同解.设( )ln1g xxax ，则11( )axgxaxx，当 01a时，由0gx得1xa，所以( ),( )g xg x在区间(0,)上的情况如下：x1(0, )a1a1(,)a( )gx0 ( )g x极小所以11xa，21xa,所以2111xxa. 。