小学数学-计数问题（解析版）.pdf

K12 教育阶段复习备考资料（试题或知识点）考试复习备考资料考试习题训练第 1 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 计数问题计数问题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 难点一、握手问题难点一、握手问题 1（长沙）甲、乙、丙、丁和小明五个人一起下围棋，循环比赛，已知甲下了 4 盘，乙下了3 盘，丙下了 2 盘，丁下了 1 盘，问小明下了（）盘 A 1 B 2 C 3 D 4 考点：握手问题 专题：传统应用题专题:Z|xx|k.Com 分析：五个人一起下围棋，循环比赛，那么每个人最多可以下 4 盘；由甲下了 4 盘为突破口，找出小明下的盘数 解答：解：甲下了 4 盘，甲和其他 4 人各下了一盘，包括丁和小明；而丁下了一盘，说明丁只和甲下了一盘，没和其他人下；乙下了 3 盘，他没和丁下，就是和甲，丙，小明三人下了；丙是下了 2 盘，那么他只和甲、乙下了，没和小明下；由此可知：小明只和甲、乙下了棋，下了 2 盘 故选：B 点评：本题根据循环比赛，得出每人最多下 4 盘这一条件，然后根据已知每人下的盘数进行推算 2（2013广州）甲、乙、丙、丁、戊 5 个队进行 3 人篮球赛单循环赛（每两队赛一场），到现在为止，甲队已经打了 4 场，乙队打了 3 场，丙队打了 2 场，丁队打了 1 场，戊队打了（）场 A 1 B 2 C 3 考点：握手问题 专题：可能性 分析：5 个队两两之间比赛，那么每个人要和另外 4 人比赛，每人赛 4 场，再根据甲、乙、丙、丁、戊四人赛的场次进行推算 解答：解：每人最多赛 4 场；甲已经赛了 4 场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括丁和戊；丁赛了 1 场，说明他只和甲进行了比赛，没有和其它选手比赛；乙赛了 3 场，他没有和丁比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括丙和戊；丙赛了 2 场，是和甲、乙进行的比赛，没有和戊比赛；所以戊只和甲、乙进行了比赛，一共是 2 场 故选：B 点评：本题根据每个人最多只能比赛 4 场作为突破口，进行逐个推理，找出戊队进行比赛的场次 3（2012田东县）有 5 名同学进行乒乓球比赛，每 2 个同学之间都赛一场，一共要赛（）A 20 场 B 16 场 C 10 场 D 5 场 考试复习备考资料考试习题训练第 2 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 考点：握手问题 专题：压轴题；传统应用题专题 分析：由于每个选手都要和另外的 4 个选手赛一场，一共要赛：54=20（场）；又因为两个选手只赛一场，去掉重复计算的情况，实际只赛：202=10（场），据此解答 解答：解：（51）52，=202，=10（场）；答：每 2 个同学之间都赛一场，一共要赛 10 场 故选：C 点评：本题考查了握手问题的实际应用，要注意去掉重复计算的情况，如果选手比较少可以用枚举法解答，如果选手比较多可以用公式：比赛场数=n（n1）2 解答（n 表示选手总数）4（2012龙岗区）10 名同学参加乒乓球比赛，如果每两名同学之间都进行一场比赛，一共要比赛（）场 A 28 B 36 C 45 D 55 考点：握手问题 专题：传统应用题专题 分析：如果每两个同学之间都进行一场比赛，每个同学都要和其他的 9 人进行一场比赛，每个同学打 9 场，共有 109 场比赛；由于每两个人之间重复计算了一次，实际只需打 1092=45场即可 解答：解：（109）2，=902，=45（场）；答：一共要进行 45 场比赛 故选：C 点评：在单循环赛制中，参赛人数与比赛场数的关系为：比赛场数=参赛人数（人数1）2 5（东台市）正在进行的年巴西世界杯中，比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，这个小组一共要比赛6场 考点：握手问题 专题：传统应用题专题 分析：比利时、阿尔及利亚、韩国、俄罗斯分在同一个小组，如果每两队之间都要赛一场，则每个队都要和其他 3 个队比赛一场，共有 4 个队，所以共打 34=12 场，打比赛是在两个队之间进行的，所以他们共要比赛 122=6 场 解答：解：342=6（场）答：一共要比赛 6 场 故答案为：6 点评：本题属于握手问题，根据握手总次数的计算方法来求解，握手次数总和的计算方法：握手次数=人数（人数1）2，握手次数的公式要记住，并灵活运用 考试复习备考资料考试习题训练第 3 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 6（2013长沙）在 6 个小朋友中选择两个作一组做游戏，一共有15种选法 考点：握手问题 专题：传统应用题专题 分析：由题意，此题可看作两两握手，每个人都要和另外的 5 个人组合一组，6 个人共有65=30 中选法，由于每两人组合一组，应算作一种选法，去掉重复的情况，实际共有 302=15种选法，据此解答 解答：解：6（61）2=302=15（种）答：一共有 15 种选法 故答案为：15 点评：本题是典型的握手问题，如果人数比较少，可以用枚举法解答；如果人数比较多，可以用公式：n（n1）2 解答 7（2013湛河区）6 人见面，每两人握一次手，一共要握 15 次（判断对错）考点：握手问题 专题：传统应用题专题 分析：每两人握一次，那么每个人要和其他 5 人握手 5 次；6 个人一共握 56 次，但这样算每次握手就算成了 2 次，所以再除以 2 即可 解答：解：（61）62=302=15（次）；答：一共要握 15 次 故答案为：点评：本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数（人数1）2 求解 8（2012法库县）有 5 位同学，每两位同学握一次手，共要握10次手 考点：握手问题 专题：传统应用题专题 分析：5 位同学，每个人都要和剩下的 4 人握手，要握 4 次，一共是 54 次，由于是两两之间握手，甲与乙握手和乙与甲握手是一样的，所以再除以 2 即可 解答：解：5（51）2，=542，=10（次）；答：共要握 10 次手 故答案为：10 点评：本题属于握手问题，当数据较大时可利用握手问题的公式：握手次数=人数（人数1）2 求解 难点二、容斥原理难点二、容斥原理 考试复习备考资料考试习题训练第 4 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 9（萝岗区）学校开设两个兴趣小组，三（3）班 42 人都报名参加了活动，其中 27 人参加书画小组，24 人参加棋艺小组，两个小组都参加的有（）A 7 人 B 8 人 C 9 人 D 10 人 考点：容斥原理 专题：传统应用题专题 分析：用 27+24 求出至少参加一个兴趣小组的同学的总人数，再减去报名参加的总人数就是两个小组都参加的人数 解答：解：27+2442，=5142，=9（人）；答：两个小组都参加的有 9 人，故选：C 点评：解答此题的关键是根据容斥原理，找出对应量，列式解决问题 10（2012黄岩区）六（1）班有 的学生订阅了小学生数学报，的学生订阅了数学小灵通既订阅了小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生至少占全班人数的（）A B C D 考点：容斥原理 专题：压轴题 分析：把总人数看作单位“1”，根据“有 的学生订阅了小学生数学报，的学生订阅了数学小灵通”可知：包括三部分，只订阅小学生数学报的人数、只订阅数学小灵通的人数、两种都订阅的人数的 2 倍，所以都订阅的人数是：1=，据此解答 解答：解：1，=1，=；答：既订阅了小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生至少占全班人数的 故选：C 点评：本题考查了容斥原理，关键是理解要求的人数是订阅小学生数学报又订阅了数学小灵通的学生的重叠部分，知识点是：既 A 又 B=（A+B）总人数 考试复习备考资料考试习题训练第 5 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 11（广东校级自主招生）一个数学测验只有两道题，结果全班有 10 人全对，第一题有 25 人做对，第二题有 18 人做错，那么两道都做错的有3人 考点：容斥原理 分析：第一题做对的 25 人中，有 10 人是全部做对，则有 2510=15 人是只做对第一题，而做错第二题的；已知第二题总共有 18 人做错，那么多余的三人就是全错的 解答：解：18（2510），=1815，=3（人）；答：两道题都做错的有 3 人 故答案为：3 点评：根据第一题做对的人数和两题全对的人数，得出第一题对，而第二题错的人数是解决本题的关键 12（2013吴中区）六年级一班的所有同学都分别参加了课外体育小组和唱歌小组，有的同学还同时参加了两个小组若参加两个小组的人数是参加体育小组人数的，是参加歌唱小组人数的，这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之比是8：7 考点：容斥原理 分析：此题可以设出同时参加两个小组的人数为 x 人，利用未知数 x 来分别表示只参加体育小组的人数和只参加歌唱小组的人数，从而进行化简，求得它们的人数的比 解答：解：设同时参加两个小组的人数为 x 人，则：体育小组的人数为：x=5x，歌唱小组的人数为：x=x，那么只参加体育小组的人数为：5xx=4x，只参加歌唱小组的人数为：xx=x 所以只参加体育小组与只参加唱歌小组的人数的比为：4x：x=4：=8：7 答：这个班只参加体育小组与参加唱歌小组的人数之 8：7 故答案为：8：7 点评：此题此题属于不直接解出方程的题型，借助于未知数 x 来表示体育小组的人数和歌唱小组的人数，从而通过化简求得比值 13（2013泰州）在六年级 300 名学生中调查会下中国象棋和国际数棋的人数，发现 50 名同学两样都不会，有的学生两样都会，有 的学生会下中国象棋，会下国际数棋的学生有50名 考点：容斥原理；分数四则复合应用题 考试复习备考资料考试习题训练第 6 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 专题：传统应用题专题 分析：两样都会的学生有：300=40 人，会下中国象棋的学生有 300=240 人，会下中国象棋和国际象棋的人数是：30050=250 人，那么会下国际象棋的有：250240+40=50（名），据此解答 解答：解：30050300+300=250240+40=50（名）答：会下国际数棋的学生有 50 名 故答案为：50 点评：本题依据了容斥原理公式之一：A 类 B 类元素个数总和=属于 A 类元素个数+属于 B 类元素个数既是 A 类又是 B 类的元素个数 14（2013成都）某市有 1000 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的有 750 人，既懂英语又懂俄语的有 200 人，那么懂俄语的教师有450人 考点：容斥原理 专题：传统应用题专题 分析：在懂英语的 750 人中有 200 人懂俄语，那么就有 550 人只懂英语，那么剩下的 450 人就肯定懂俄语了 解答：解：1000（750200）=1000550=450（人）答：懂俄语的教师有 450 人 点评：此题属于容斥问题，关键是求出只懂英语的人数，进而求得懂俄语的人数 15（2012乐清市）某市 800 个外语教师懂英语或俄语，其中懂英语的 550 人，既懂英语又懂俄语的 140 人，那么懂俄语的教师为390人 考点：容斥原理 专题：传统应用题专题 分析：懂英语的 550 人，既懂英语又懂俄语的 140 人，则只懂英语的有 550140=410 人，共有 800 个外语教师懂英语或俄语，则懂俄语的有 800410 人 解答：解：800（550140）=800410，=390（人）答：懂俄语的教师为 390 人 故答案为：390 点评：首先求出只懂英语的人数是完成本题的关键，在本题中懂俄语的 390 人中，也包括既懂英语又懂俄语的人 16（2011成都）六年级二班有 45 名同学参加毕业考试，其中语文及格的有 43 人，数学及格的有 40 人，有 1 人的语文和数字都没有及格，语文数学都及格的有39人 考试复习备考资料考试习题训练第 7 页，共 21 页小升初数学攻克难点真题解析 考点：容斥原理 专题：传统应用题专题 分析：45 名同学参包括四部分：只语文及格的、只数学及格的、语文和数字都没有及格的、语文数学都及格的；又由于语文数学都及格的既属于语文及格的。