【物理竞赛 精】奥赛培训讲义《曲线运动 万有引力.pdf

旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 第三部分 曲线运动 万有引力 第一讲 基本知识介绍 一、曲线运动 1、概念、性质 2、参量特征 二、曲线运动的研究方法运动的分解与合成 1、法则与对象 2、两种分解的思路 a、固定坐标分解（适用于匀变速曲线运动） 建立坐标的一般模式沿加速度方向和垂直加速度方向建直角坐标；提高思想根据解题需 要建直角坐标或非直角坐标 b、自然坐标分解（适用于变加速曲线运动） 基本常识：在考查点沿轨迹建立切向、法向 n 坐标，所有运动学矢量均沿这两个方向分解 动力学方程 = = nn maF maF ， 其中 a改变速度的大小 （速率） ， n a改变速度的方向 且 n a= m 2 v ， 其中表示轨迹在考查点的曲率半径定量解题一般只涉及法向动力学方程 三、两种典型的曲线运动 1、抛体运动（类抛体运动） 关于抛体运动的分析，和新课教材“平跑运动”的分析基本相同在坐标的选择方面，有灵活处理 的余地 2、圆周运动 匀速圆周运动的处理：运动学参量 v、、n、a、f、T 之间的关系，向心力的寻求于合成；临界问 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 题的理解。

变速圆周运动：使用自然坐标分析法，一般只考查法向方程 四、万有引力定律 1、定律内容 2、条件 a、基本条件 b、拓展条件：球体（密度呈球对称分布）外部空间的拓展；球体（密度呈球对称分布）内部空间 的拓展“剥皮法则” c、不规则物体间的万有引力计算分割与矢量叠加 五、开普勒三定律 天体运动的本来模式与近似模式的差距，近似处理的依据 六、宇宙速度、天体运动 1、第一宇宙速度的常规求法 2、从能量角度求第二、第三宇宙速度 万有引力势能 EP = G r mm 21 3、解天体运动的本来模式时，应了解椭圆的数学常识 第二讲 重要模型与专题 一、小船渡河 物理情形：在宽度为 d 的河中，水流速度 v2恒定岸边有一艘小船，保持相对河水恒定的速率 v1渡 河，但船头的方向可以选择试求小船渡河的最短时间和最小位移 模型分析：小船渡河的实际运动（相对河岸的运动）由船相对水流速度 v1和水相对河岸的速度 v2合 成可以设船头与河岸上游夹角为（即 v1的方向） ，速度矢量合成如图 1 （学生活动）用余弦定理可求 v合的大小 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 v合=+cosvv2vv 21 2 2 2 1 （学生活动）用正弦定理可求 v合的方向。

令 v合与河岸下游夹角为，则 = arcsin + cosvv2vv sinv 21 2 2 2 1 1 1、求渡河的时间与最短时间 由于合运动合分运动具有等时性，故渡河时间既可以根据合运动求，也可以根据分运动去求针对 这一思想，有以下两种解法 解法一： t = 合 合 v S 其中 v合可用正弦定理表达， 故有 t = sin sinv sin/d 1 = sinv d 1 解法二： t = 1 1 v S = 1 v sin/d = sinv d 1 此外， 结合静力学正交分解的思 想，我们也可以建立沿河岸合垂直 河岸的坐标 x、y，然后先将 v1分解 （v2无需分解） ，再合成，如图 2 所 示而且不难看出，合运动在 x、y 方向的分量 vx和 vy与 v1在 x、y 方向的分量 v1x、v1y以及 v2具有以 下关系 vy = v1y vx = v2 - v1x 由于合运动沿 y 方向的分量 Sy d ，故有 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 解法三： t = y y v S = y1 v d = sinv d 1 t ()函数既已得出，我们不难得出结论 当= 90时，渡河时间的最小值 tmin = 1 v d （从“解法三” 我们最容易理解 t 为什么与 v2无关， 故 tmin也与 v2无关。

这个结论是意味深长的 ） 2、求渡河的位移和最小位移 在上面的讨论中，小船的位移事实上已经得出，即 S合 = sin d = sin v v d 1 合 = + sinv convv2vvd 1 21 2 2 2 1 但 S合（）函数比较复杂，寻求 S合的极小值并非易事因此，我们可以从其它方面作一些努力 将 S合沿 x、y 方向分解成 Sx和 Sy ，因为 Sy d ，要 S合极小，只要 Sx极小就行了而 Sx（） 函数可以这样求 解法一： Sx = vxt =（v2 - v1x） y y v S =（v2 v1cos） sinv d 1 为求极值，令 cos= p ，则 sin= 2 p1，再将上式两边平方、整理，得到 0vSvdpdvv2p)dS(v 2 1 2 x 2 2 22 21 222 x 2 1 =++ 这是一个关于 p 的一元二次方程，要 p 有解，须满足0 ，即 42 2 2 1 dvv4)vSvd)(dS(v4 2 1 2 x 2 2 222 x 2 1 + 整理得 2 1 2 xv S)vv(d 2 1 2 2 2 所以，Sxmin= 2 1 2 2 1 vv v d ，代入 Sx（）函数可知，此时 cos= 2 1 v v 最后，Smin= 2 y 2 minx SS+= 1 2 v v d 此过程仍然比较繁复，且数学味太浓。

结论得出后，我们还不难发现一个问题：当 v2v1时，Smin d ，这显然与事实不符 （造成这个局面的原因是：在以上的运算过程中，方程两边的平方和开方过程 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 中必然出现了增根或遗根的现象）所以，此法给人一种玄乎的感觉 解法二：纯物理解矢量三角形的动态分析 从图 2 可知，Sy恒定，Sx越小，必有 S合矢量与下游河岸的夹角越大，亦即 v合矢量与下游河岸的夹 角越大（但不得大于 90） 我们可以通过 v1与 v2合成 v合矢量图探讨 v合与下游河岸夹角的最大可能 先进行平行四边形到三角形的变换，如图 3 所示 当变化时，v合矢量的大小和方向随之变化，具体情况如图 4 所示 从图 4 不难看出，只有当 v合和虚线半圆周相切时，v合与 v2（下游）的夹角才会最大此时，v合 v1 ，v1、v2和 v合构成一个直角三角形，max = arcsin 2 1 v v 并且，此时：= arccos 2 1 v v 有了max的值，结合图 1 可以求出：S合 min = 1 2 v v d 最后解决 v2v1时结果不切实际的问题从图 4 可以看出，当 v2v1时，v合不可能和虚线半圆周 相切（或max = arcsin 2 1 v v 无解） ，结合实际情况，max取 90 即：v2v1时，S合 min = d ，此时，= arccos 1 2 v v 结论：若 v1v2 ，= arccos 2 1 v v 时，S合 min = 1 2 v v d 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 若 v2v1 ，= arccos 1 2 v v 时，S合 min = d 二、滑轮小船 物理情形：如图 5 所示，岸边的汽车用一根不可伸长的轻绳通过定滑轮牵引水中的小船，设小船始 终不离开水面，且绳足够长，求汽车速度 v1和小船速度 v2的大小关系。

模型分析：由于绳不可伸长，滑轮右边绳子缩短的速率即是汽车速度的大小 v1 ，考查绳与船相连的 端点运动情况，v1和 v2必有一个运动的合成与分解的问题 （学生活动）如果 v1恒定不变，v2会恒定吗？若恒定，说明理由；若变化，定性判断变化趋势 结合学生的想法，介绍极限外推的思想：当船离岸无穷远时，绳与水的夹角趋于零，v2v1 当船 比较靠岸时， 可作图比较船的移动 距离、 绳子的缩短长度， 得到 v2 v1 故“船速增大”才是正确结 论 故只能引入瞬时方位角，看 v1和 v2的瞬时关系 （学生活动）v1和 v2定量关系若何？是否可以考虑用运动的分解与合成的知识解答？ 针对如图 6 所示的两种典型方案，初步评说甲图中 v2 = v1cos，船越靠岸，越大，v2越小， 和前面的定性结论冲突，必然是错误的 错误的根源分析：和试验修订本教材中“飞机起飞”的运动分析进行了不恰当地联系仔细比较这两 个运动的差别，并联系“小船渡 河”的运动合成等事例，总结出 这样的规律 合运动是显性的、轨迹实在 的运动，分运动是隐性的、需要 分析而具有人为特征（无唯一 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 性）的运动。

解法一：在图 6（乙）中，当我们挖掘、分析了滑轮绳子端点的运动后，不难得出：船的沿水面运动 是 v2合运动，端点参与绳子的缩短运动 v1和随绳子的转动 v转 ，从而肯定乙方案是正确的 即：v2 = v1 / cos 解法二： 微元法 从考查位置开始取一个极短过程， 将绳的运动和船的运动在图 7 （甲） 中标示出来， AB 是绳的初识位置， AC 是绳的末位置，在 AB 上取AD=AC得 D 点，并连接 CD显然， 图中 BC 是船的位移大 小， DB 是绳子的缩短长 度 由于过程极短， 等腰 三角形 ACD 的顶角A0，则底角ACD90，CDB 趋于直角三角形将此三角放大成图 7（乙） ， 得出：S2 = S1 / cos 鉴于过程极短，绳的缩短运动和船的运动都可以认为是匀速的，即：S2 = v2 t ，S1 = v1 t 所以：v2 = v1 / cos 三、斜抛运动的最大射程 物理情形：不计空气阻力，将小球斜向上抛出，初速度大小恒为 v0 ，方向可以选择，试求小球落回 原高度的最大水平位移（射程） 模型分析：斜抛运动的常规分析和平抛运动完全相同 设初速度方向与水平面夹角，建立水平、竖直的 x、y 轴，将运动学参量沿 x、y 分解。

针对抛出到 落回原高度的过程 0 = Sy = v0y t + 2 1 （-g）t2 Sx = v0 x t 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 解以上两式易得：Sx = g v2 0 sin2 结论：当抛射角= 45时，最大射程 Sxmax = g v2 0 （学生活动）若 v0 、确定，试用两种方法求小球到达的最大高度 运动学求解考查竖直分运动即可；能量求解注意小球在最高点应具备的速度 v0 x ，然后对 抛出到最高点的过程用动能定理或机械能守恒结论：Hm = g2 sinv 22 0 四、物体脱离圆弧的讨论 物理情形：如图 8 所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一小球当小球在最低点时，给球一个 vo = 2gL的水平初速，试求所能到达的最大高度 模型分析：用自然坐标分析变速圆周运动的典型事例能量关系的运用，也是对常规知识的复习 （学生活动）小球能否形成的往复的摆动？小球能否到达圆弧的最高点 C ？ 通过能量关系和圆周运动动力学知识的复习，得出：小球运动超 过 B 点、但不能到达 C 点（vC gL） ，即小球必然在 BC 之间的某 点脱离圆弧。

（学生活动）小球会不会在 BC 之间的某点脱离圆弧后作自由落 体运动？ 尽管对于本问题，能量分析是可行的（BC 之间不可能出现动能为 零的点，则小球脱离圆弧的初速度 vD不可能为零） ，但用动力学的工 具分析，是本模型的重点 在 BC 阶段，只要小球还在圆弧上，其受力分析必如图 9 所示沿轨迹的切向、法向分别建、n 坐 标，然后将重力 G 沿、n 分解为 G和 Gn分量，T 为绳子张力法向动力学方程为 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 T + Gn = Fn = man = m r v2 由于 T0 ，Gn0 ，故 v0 （学生活动：若换。