1986年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案.doc

归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：1986 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案一． （本题满分 30 分）（1）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 （ B ）（A） （B）)4sin(co2)4sin(co2（C） （D）i （2）函数 的反函数是 （ C ）1)2.0(xy（A） （B）log5 15logxy（C） （D）)(xy （3）极坐标方程 表示 （ B ）34cs（A）一条平行于 x 轴的直线 （B）一条垂直于 x 轴的直线（C）一个圆 （D）一条抛物线（4）函数 是 （ A ）xy2cosin（A）周期为 的奇函数 （B）周期为 的偶函数2（C）周期为 的奇函数 （D）周期为 的偶函数44（5）给出 20 个数： （ B ）87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88 它们的和是（A）1789 （B）1799 （C）1879 （D）1899（6）设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 （ D ）（A）充分条件 （B）必要条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件*归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：（7）如果方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)所表示的曲线关于直线 y=x 对称，那么必有 （ A ）（A）D=E （B）D=F （C）E=F （D）D=E=F（8）在正方形 SG1G2G3中，E、F 分别是 G1G2及 G2G3的中点，D 是 EF的中点，现在沿 SE、SF 及 EF 把这个正方形折成一个四面体，使 G1 、G 2 、G 3三点重合，重合后的点记为 G，那么，在四面体 S-EFG 中必有 （ A ）（A）SG⊥△EFG 所在平面（B）SD⊥△EFG 所在平面（C）GF⊥△SEF 所在平面（D）GD⊥△SEF 所在平面（9）在下列各图中，y=ax 2+bx 与 y=ax+b(ab≠0）的图象只可能是 （ D ）（10）当 时，在下面关系式中正确的是 （ C ）]0,1[x（A） （B）21arcsin)arcos(x 21arcos)arcsin(xx（C） （D）x二． （本题满分 24 分）（1）求方程 的解 奎 屯王 新 敞新 疆4)5.0(2xS G3 F D G1 G2 E （A） （B） （C） （D） Y Y Y Y X O X O O X O X *归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：答： （注：仅写出其中一个解的，给 2 分 奎 屯王 新 敞新 疆）.23,1x（2）已知 的值 奎 屯王 新 敞新 疆1,2求i答：0 .（3）在 xoy 平面上，四边形 ABCD 的四个顶点坐标依次为（0，0） 、（1，0） 、 （2，1）及（0，3） 奎 屯王 新 敞新 疆求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积 奎 屯王 新 敞新 疆答： 35（4）求 11)2(limnn答： 3（5）求 展开式中的常数项 奎 屯王 新 敞新 疆523)(x答：-40 奎 屯王 新 敞新 疆（6）已知 的值 奎 屯王 新 敞新 疆33cossin,21cosin求答： .1三． （本题满分 10 分）如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在的平面，C 是圆周上不同于 A、B 的任一点，求证：平面 PAC 垂直于平面 PBC 奎 屯王 新 敞新 疆证：设圆 O 所在平面为 α，由已知条件，PA⊥平面 α，又 BC 在平面 α 内，因此 PA⊥BC 奎 屯王 新 敞新 疆P C A O B *归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：因为∠BCA 是直角，因此 BC⊥AC而 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的相交直线 ， 因 此 BC⊥ △ PAC所 在 平 面 ，从 而 证 得 ，△PBC 所在平面与△PAC 所在平面垂直 奎 屯王 新 敞新 疆四． （本题满分 12 分）当 sin2x＞0,求不等式 的解集 奎 屯王 新 敞新 疆)13(log)152(log5.05.0 xx解：满足 sin2x＞0 的 x 取值范围是 （1）,2Zkk而由 得)3(l)152(log5.05.0 x)4(1332x解得：-4＜x＜-3,5＜x＜7 (5)由（1） 、 （5）可知所求解集为 ).7,2()3,(五． （本题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系中，在 y 轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点 A、B 奎 屯王 新 敞新 疆试在 x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求点 C，使∠ACB 取得最大值 奎 屯王 新 敞新 疆解：设点 A 的坐标为（0， )、点 Ba的坐标为（0，b） ，0＜b＜ ，又设所求点 C 的坐标为（x,0)记 OCABA则,,显然， 现在有.20 Y A B α β O C X *归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：.1)(1])[(2xabxabxtgttg记 ，那么，当 时，y 取得最小值 2 奎 屯王 新 敞新 疆abxy abx因此，当 时， 取得最大值tg.2因为在 内 是增函数，所以当 时，∠ACB 取最大值)2,0(t abx故所求点 C 的坐标为（ 0）.abrctg,六． （本题满分 10 分）已知集合 A 和集合 B 各含有 12 个元素，A∩B 含有 4 个元素，试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数：（1） 且 C 中含BA有 3 个元素， （2） （ 表示空集）C解：因为 A、B 各含 12 个元素，A∩B 含有 4 个元素，因此A∪B 元素的个数是 12+12-4=20故满足题目条件（1）的集合的个数是 ，在上面集合中，还满320C足 A∩C= 的集合 C 的个数是38因此，所求集合 C 的个数是 - =108420（解二略）七． （本题满分 12 分）过点 M（-1，0）的直线 L1与抛物线 y2=4x 交于 P1、P 2两点 奎 屯王 新 敞新 疆记：*归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：线段 P1P2的中点为 P;过点 P 和这个抛物线的焦点 F 的直线为 L2;L1的斜率为 k 奎 屯王 新 敞新 疆试把直线 L2的斜率与直线 L1的斜率之比表示为 k 的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数 奎 屯王 新 敞新 疆解：由已知条件可知，直线 L1的方程是 y=k(x+1) ①把①代入抛物线方程 y2=4x，整理后得到②0)42(2kxxk因此，直线 L1与该抛物线有两个交的充要条件是：③04)2(22kk及 ④.0解出③与④得到 )1,(,k现设点 P 的坐标为 ，(yx则直线 L1的斜率 而直线 L2的斜率,1k ,12xyk记 则 今记 L1与抛物线的两个交点 P1与 P2的横坐,)(2kf)(xf标分别为 x1和 x2，由韦达定理及②得 )1,0(,(,4221 kx)1,0(, ,1)(, 221定 义 域 是 由 此 得 到因 此 kfxL2 Y L1 P2 P M P1 F -1 O X *归海木心*工作室 :634102564感谢您对 *归海木心*工作室的支持！敬请收藏：显然，1-k 2在（-1，0）内递增，在（0，1）内递减 奎 屯王 新 敞新 疆所以，在（0，1）内为增函数，在（-1，0）内为减函数 奎 屯王 新 敞新 疆2)(kf八． （本题满分 12 分）已知 x1＞0,x 1≠1，且 试证：数列{x n}或).,21(,3)(21nxnn者对任意自然数 n 都满足 xn＜x n+1,或者对任意自然数 n 都满足xn＞x n+1.证：首先， ,13)(213)(221  nnnn xxx由于 x1＞0，由数列{x n}的定义可知 x n＞0， （n=1,2,…）所以，x n+1-xn与 1-xn2的符号相同 奎 屯王 新 敞新 疆（1）假定 x1<1,我们用数学归纳法证明 1-xn2＞0（ )N显然，n=1 时，1-x 12＞0设 n=k 时 1-xk2＞0,那么当 n=k+1 时 ,0)13(13)(1222  kkk xxx因此，对一切自然数 n 都有 1-xn2＞0，从而对一切自然数 n 都有 xn＜x n+1 奎 屯王 新 敞新 疆（2）若 x1＞1,用理可证，一切自然数 n 。