一阶微分方程的解的存在性定理.ppt

返回前进第三章 一阶微分方程的解的存 在性定理§3.1 解的存在唯一性定理与逐步逼近法 §3.2 解的延拓 §3.3 解对对初值值的连续连续 性和可微性定理 §3.4 奇解 § 3.1 解的存在唯一性定理和 逐步逼近法/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/ 返回前进•概念和定义•存在唯一性定理内容提要/Constant Abstract/§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进•本节要求/Requirements/ 掌握逐步逼近方法的本思想 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进一 、概念与定义/Concept and Definition/1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进2. 利普希兹条件 函数称为在矩形域 :…………(3.1.5)关于 y 满足利普希兹 (Lipschitz)条件，如果存在常数 L>0 使得不等式 对所有都成立。

L 称为利普希兹常数 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进二 、存在唯一性定理 定理1如果 f(x,y) 在 R 上连续且关于 y 满足利普希兹条件, 则方程(3.1.1)存在唯一的连续解 定义在区间 , 且满足初始条件这里§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进定理1的证明需要证明五个命题： 命题 1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列 命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛 命题 4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解 命题 5 证明唯一性§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进定理1的证明命题1 设是初值问题的解的充要条件是是积分方程……(3.1.6) 的定义于上的连续解证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6） •积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。

§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进证 明因为是方程(3.1.1)的解，故有:两边从积分得到:把(3.1.2)代入上式,即有:因此,是积分方程在 上的连续解. § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进反之，如果是 (3.1.6) 的连续解，则有：………(3.1.8)微分之，得到:又把 代入(3.1.8)，得到:因此， 是方程(3.1.1)定义于上，且满足初始条件(3.1.2)的解命题1证毕.同理，可证在也成立§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进xyox0x0+ax0-ay0y0-by0+bx0-hx0+h§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 在上有定义、连续，即满足不等式: 证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）当 n =1 时,§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进即命题2 当 n=1 时成立。

现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立 即 当 n=k 时，在也就是满足不等式在上有定义,连续上有定义，连续，而当 n=k+1 时，上有定义，连续在§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进即命题２在 n=k＋１时也成立 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立命题３在上是一致收敛的命题２证毕函数序列考虑级数:它的部分和为：§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进设对于正整数 n , 不等式成立， 于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进由此可知，当时(3.1.14)的右端是正项收敛级数的一般项， 由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法),级数(3.1.11) 在上一致收敛, 因而序列也在上一致收敛。

命题3证毕§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进则也在又可知现设上连续，且由(3.1.10) 命题4 是积分方程(3.1.6)的定义于证 明: 由利普希兹条件以及在上一致收敛于 上的连续解§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进因而，对(3.1.9)两边取极限,得到:即即知序列在一致收敛这就是说,是积分方程(3.1.16)的定义于上的连续解命题4 证毕§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进命题5也是积分方程(3.1.6)的定义于 上的一个连续解, 则证明若首先证明也是序列的一致收敛极限函数为此，从进行如下的估计 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进现设则有§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进有故由数学归纳法得知对于所有的正整数 n ，有下面的估计式§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进因此，在上有:是收敛级数的公项, 故时 因而在 上一致收敛于 根据极限的唯一性， 即得:命题5证毕综合命题1-5，即得到存在唯一性定理的证明。

§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例求初值问题 的第三次近似解§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进附 注/Remark/1）如果在 R 上存在且连续, 则 f (x,y) 在R上关于 y 满足利普希兹条件，反之不成立证在 R 上连续，则在 R 上有界，记为L由中值定理故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进这条件是充分条件，而非必要条件例1R 为中心在原点的矩形域但故 f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件在 R 上存在且有界f(x,y) 在 R 上关于 y 满足利普希兹条件在 R 上存在且无界f(x,y) 在 R 上关于 y 不满足利普希兹条件§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进2)定理1 中的两个条件是保证 Cauchy P 存在唯一的充分条件，而非必要条件。

例2 当连续条件不满足时，解也可能存在唯一f(x,y) 在以原点为中心的矩形域中不连续，但解存在唯一§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例3 当 Lipscitz 条件不满足时，解也可能存在唯一f(x,y) 在 (x,0) 的任何邻域内不满足Lipscitz 条件，但解存在唯一不可能有界§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进xy§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例4 设方程(3.1)为线性方程则当 P(x),Q(x) 在区间 上连续，则由任一初值所确定的解在整个区间上都存在3）若f (x,y)在带域 中连续，且对 y 满足Lipschitz条件，则在整个区间 中存在唯一满足条件 的方程 的解 。

记§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进4) 一阶隐式方程的解的存在唯一性定理 2如果在点 的某一邻域中，对所有的变元 连续，且存在连续的偏导数；则上述初值问题的解在 的某一邻域存在§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进事实上，由条件知 所确定的隐函数 在 邻域内存在且连续，且 在 邻域内连续，在以 为中心的某一闭矩形区域 D 中有界，所以 f(x,y) 在D 中关于 y 满足Lipschitz条件由解的存在唯一性定理，的解 y(x) 存在唯一，存在区间中的 h 可足够小同时，有§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进三 、 近似计算和误差估计 第 n 次近似解第 n 次近似解的误差公式§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进例4方程 定义在矩形域试确定经过点(0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05 的近似解的表达式。

解满足解的存在唯一性定理的条件Lipschitz 常数取为 L=2 ，因为 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method返回前进§ 3.1 Existence。