2023学年人教版高一数学下学期期中期末必考题精准练02 平面向量基本定理及坐标运算(含详解).pdf

必考点0 2 平面向量基本定理及坐标运算经典必考题题型一平面向量基本定理及其应用例 题 1 如图，在直角梯形A BC D中，AB=2 AD=2 DC,E为 BC 边上一点，BC=3 EC,F为AE的中点，则 B F=()2-,1-1-2-A.A B g A )B.QAB 2-1-1-2-C.w A B+?A )D.gAB+gA例 题 2 在aABC 中，点 P是 AB上一点，且了，Q是 8 c的中点，AQ与C尸的交点为M,又高=而，则实数，的值为.【解题技巧提炼】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的力 口、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.题型二平面向量的坐标运算例 题 1 已知”(3,-2),M5,-1),且 标=折 声，则 P点的坐标为()A.(-8,1)B.一例 题 2 向 量 a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若 c=2 a+“b(2,蚱 R),则 已【解题技巧提炼】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.题型三给值求角例 题 1 己知点A(4,0),8(4,4),C(2,6),则 AC 与O B的交点P的坐标为.例题 2(1)已知向量 a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,2).若(;(22+1),贝 ij 2=.(2)已知向量为7=(%,12),市=(4,5),/=(一 左10),且A,B,C 三点共线，则k=【解题技巧提炼】利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为2a(2G R),然后结合其他条件列出关于A的方程，求 出 2 的值后代入A a 即可得到所求的向量.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利 用“若 a=(x i，y i)(b=(%2，J 2)则 a b 的充要条件是x i y 2=X 2y i”解题比较方便.对点变式练1.在梯形 A B CD 中，AB/CD,AB=2 CD,M,N 分别为 CD,B C 的中点.若+A N,则，+等于.2.如图，已知平行四边形A B C 的 边 8C,CZ)的中点分别是K,L,且 衣=e i，ALe 2，试用 e i，e 2表示 B C,C D .D.J-c力 题型二平面向量的坐标运算1.已知平行四边形A 3C。

中，A D=(3,7),AB=(-2,3)，对角线AC 与 交 于 点 O,则方的坐标为.2.已知 A(2,4),8(3,-1),C(-3,-4).设 济=8,=b,c T =c,且百i?=3c,CN=-2 b,(1)求 3a+b 3c；(2)求满足a=m b+n c的实数m,n；(3)求 M,N的坐标及向量MN的坐标.题型三平面向量共线的坐标表示1.设向量4=(1,-2),3=(2加，-1),O C=(-2 0),机，WR,0 为坐标原点，若4,B,C三点共线，则”+的最大值为()A.3 B.2C.2D.32.己知梯形 A8CD 中，AB/DC,K D C=2 A B,三个顶点 A(l,2),8(2,1),C(4,2),则点力的坐标为.3.已知在平面直角坐标系xO y中，Pi(3,l),P2(T,3),PI，P2,P3三点共线且向量方芯与向量a=(l,1)共线，若 湍=力 褊+(1一5及，则7=.4.已知 a=(l,O),b=(2,l).(1)当为何值时，kab与a+2b共线？(2)若.=2a+3b,W=a+m b且A,B,C三点共线，求，徵的值.变式综合练1.如图，由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形，设 荏=3而，则i;AA.AE=AB+-A D10 54 -3 C.AE=-A B AD5 102.设w H,向量 =(1,2),S=(3,4),A.-3 B.-1I 9 3 B.AE=AB+AD10 10D.通，而+工 而5 5c=(5,6),若 =xa+y 3,则%+y=()C.1 D.33.如图，在口ABC。

中，设 通=,()已 E C/A-EA”B-1 T-D.a b3AD=b，若点E在C上，且 屈=2而，则 丽=2-T _ TB.a+h C.a+b3 34.如图，在菱形ABC中,ZBAD=p E为BC的中点，若而丽，且A E L W,贝=()5.已知向量：=(2,3),1=(1,4),=仕,4),若(2 -与 鼠 则 实 数&的 值 为()A.1 B.2 C.3 D.66.已知G,5是不共线的向量，AB=2 a+Ab,AC=a-l)a+b,若A,B,C三点共线，则实数4的 值 为()D.3个)=a-R-c)可能成立A.2 B.一2或 1 C.-1 D.2 或一 17.已知向量 =(-2,1)3=(1,叫，则下列说法错误的个数是()若 打 凡 贝V的值为2 ，的最小值为1；若|+.=|叫，则T的值为2；若 与B的夹角为钝角，贝I 的取值范围是T,1-A.AB 1 A1-2-B.Q AB Q AO2-1-C.一 AB+?A1 2 D.?A 3+q A答案】C【解析】如图，取 A 8的中点G,连接力G,C G,易知四边形C8G 为平行四边形，所-I-2-2以 BC=GQ=AAG=A一 弓 AB,AE=AB+BE=AB+M BC=AB+Q(A AB)=|A点+|AD于是 BF-=-A F-A B-=-5 AE1-A B-=-3 1A(B2-+-3 A D2-2 1 AB=1 AB+q AD,故选 C.例 题 2 在ABC中，点 P 是 AB上一点，且/=|a+；一/，。

是 BC的中点，A与C P的交点为M,又百1=而，则实数f 的值为【答案】3A【解析】因为=,所 以 3 W =2 a+Z 了，即 2 T?-2CA=CBCP,所以 2方=言.即 P 为4 8 的一个三等分点(靠近A 点)，又因为A,M,三点共线，设无透=7泡.-(1 1 、)-X-2 所以=AC=AAQ-AC=AAB+A C j-AC=AB+AC,又 CM【解题技巧提炼】平面向量基本定理的实质及应用思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.题型二平面向量的坐标运算例 题 1 己知M(3,-2),M-5,-1),且 标=3 就，则 P点的坐标为()A.(8,1)B.(-1 2)【答案】B【解 析】设 P(x,y),则 标=(x-3,)，+2),而;就 8,1)=(4,，所以%-3=-4,fx=1,1 解得 3 所以1,-9 )-y+2=2，片-5，v 7例 题 2 向 量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示，若 c=2 a+b(2,R),则=【答案】4【解析】以向量a和 b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形的边长 为 1),则 A(l,1),3(6,2),C(5,1),所以 a=A。

1,1),b=OB=(6,2),c=BC=(1,-3).因为 c=2 a+b,所以(一1,3)=A(1,1)+(6,2),即|T+6 =r,z+2/z =-3,解得入=2,=J,所以2=4.【解题技巧提炼】求解向量坐标运算问题的一般思路(1)向量问题坐标化向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算.(2)巧借方程思想求坐标向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用.(3)妙用待定系数法求系数利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数.题型三给值求角例 题1已知点A(4,0),8(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为.【答案】(3,3)【解析】法一：由O,P,B三点共线，可设加=(4儿4 2),则 就=/一/7=(474,44).又 就=OC-OA=(-2,6),由 方 与 储 共 线，得(44-4)X 641X(2)=0,3 3 解得力=1,所以 OP=4 08=(3,3),所以点F的坐标为(3,3).法二：设点 P(x,y),则/=(x,y),因 为 市=(4,4),且为了与万济共线，所以青=$即*=、又 左=(x-4,y),7 c =(-2,6),且N与 就 共 线，所以(工一4)义6y X(2)=0,解得 x=y=3,所以点F的坐标为(3,3).例题 2(1)已知向量 a=(l,2),b=(2,-2),c=(l.A).c/7(2 a+b),则=.(2)已知向量为7 =(1 2),市=(4,5),OC=(-J t,1 0),且 A,B,C 三点共线，则 k=【答案】(ig (2)-1【解析】因 为2a+b=(4,2),c(2 a+b),所以4 2=2,解得2=今(2)AB=OB-OA=(4 k,-7),AC=OCOA=(2k,-2).因为A,B,C三点共线，所 以 右，就 共 线，2所以一2X(4幻=-7 X(-2 A),解得 k=一，.【解题技巧提炼】利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为2a(2CR),然后结合其他条件列出关于A的方程，求出2的值后代入Aa即可得到所求的向量.平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利 用“若a=(JCI，y),b=(X2，2)，则ab的 充 要 条 件 是 解 题 比 较 方 便.对点变式练题型一平面向量基本定理及其应用1.在梯形 48CD 中，AB/CD,AB=2 CD,M,N 分别为 CD,8C 的中点.A B-L A MA N ,则 z+/z 等于.【答案】I4 解析】因 为 瓦 声=前 +NB+CN=K+C C A+前)=2为V+CM+MA=-1-8-4-4 8,42 A N AB A M ,所以 48=g AN g AM,所以 4=一 予=弓，所以 2+=卬2.如图，已知平行四边形ABC。

的边BC,CQ的中点分别是K,L,且AK=ei，AL=e2 试用 e”e?表示 8C,【解析】设 8d=x,CD y,则 BW=4,DL=1y.由黄+/=京，AD+DL,f j+|x=ei,Ml x-3=62,+X(-2),得|x-2 x=ei2e2,2 2 4即 x=y(ei-2e2)=gei+gez,所同理可得y=一全 +?2,即c d=一4-32-32-3B ee l+X4-3题型二平面向量的坐标运算1.已知平行四边形A3CQ中，7D =(3,7),黄=(2,3),对角线AC与3交于点则W的坐标为【答案】(一；，-5【解析】因为 AC=A8+A2,3)+(3,7)=(1,10),所以 0(5=a d =，5),所以 d=(一今 5)2.已知 A(2,4),8(3,-1),C(-3,-4).设 下=a,SC=b,C A=c,且,=3c,CN=2 bf(1)求 3a+b3c；(2)求满足a=mb+n c的实数m,n；(3)求M,N的坐标及向量方泣的坐标.【解析】由已知得 a。