2019版高考数学二轮复习专题五立体几何专题突破练15空间中的平行与几何体的体积文.doc

专题突破练15　空间中的平行与几何体的体积1.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为2,∠B1BA=,M,N分别为A1C1与B1C的中点,且侧面ABB1A1⊥底面ABC.(1)证明:MN∥平面ABB1A1;(2)求三棱柱B1-ABC的高及体积.2.(2018河北武邑中学质检一,文18)如图,四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形,E为AB的中点.(1)在侧棱VC上找一点F,使BF∥平面VDE,并证明你的结论;(2)在(1)的条件下求三棱锥E-BDF的体积.3.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.(1)求证:AE∥平面PCD;(2)求四棱锥P-ABCD的体积.4.(2018辽宁抚顺一模,文18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,PD=AD=AB=2,CD=4,E为PC的中点.(1)证明:BE∥平面PAD;(2)求三棱锥E-PBD的体积.5.(2018全国卷2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.6.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,点M是棱CC1的中点.(1)在棱AB上是否存在一点N,使MN∥平面AB1C1?若存在,请确定点N的位置.若不存在,请说明理由;(2)当△ABC是等边三角形,且AC=CC1=2时,求点M到平面AB1C1的距离.7.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥平面BCC1B1,∠BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为CC1的中点.(1)求证:DB1⊥平面ABD;(2)求点A1到平面ADB1的距离.8.(2018百校联盟四月联考,文19)如图,在几何体ABCDEF中,底面CDEF是平行四边形,AB∥CD,AB=1,CD=2,DE=2,DF=4,DB=2,DB⊥平面CDEF,CE与DF交于点O.(1)求证:OB∥平面ACF;(2)求三棱锥B-DEF的表面积.参考答案专题突破练15　空间中的平行与几何体的体积1.(1)证明 取AC的中点P,连接PN,PM.∵在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为A1C1与B1C的中点,∴PN∥AB1,PM∥AA1.∵PM∩PN=P,AB1∩AA1=A,PM,PN⊂平面PMN,AB1,AA1⊂平面AB1A1,∴平面PMN∥平面AB1A1.∵MN⊂平面PMN,∴MN∥平面ABB1A1.(2)解 设O为AB的中点,连接B1O,由题意知△B1BA是正三角形,则B1O⊥AB.∵侧面ABB1A1⊥底面ABC,且交线为AB,∴B1O⊥平面ABC,∴三棱柱B1-ABC的高B1O=AB1=.∵S△ABC=×2×2×sin 60°=,∴三棱柱B1-ABC的体积V=S△ABC·B1O==1.2.解 (1)F为VC的中点.取CD的中点H,连接BH,HF,∵ABCD为正方形,E为AB的中点,∴BE􀱀DH,∴BH∥DE.∵FH∥VD,∴平面BHF∥平面VDE.∴BF∥平面VDE.(2)∵F为VC的中点,S△BDE=S正方形ABCD,∴VE-BDF=VF-BDE=VV-ABCD.∵V-ABCD为正四棱锥,∴V在平面ABCD内的射影为AC的中点O,∵VA=,AO=,∴VO=.∴VV-ABCD=×22×,∴VE-BDF=.3.(1)证明 ∵∠ABC=∠BAD=90°,∴AD∥BC.∵BC=2AD,E是BC的中点,∴AD=CE,∴四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥CD.又AE⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AE∥平面PCD.(2)解 连接DE,BD,设AE∩BD=O,连接OP,则四边形ABED是正方形,∴O为BD的中点.∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,∴BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,∴OP⊥OB,OP=,∴OP2+OA2=PA2,即OP⊥OA.又OA⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,OA∩OB=O,∴OP⊥平面ABCD.∴VP-ABCD=S梯形ABCD·OP=×(2+4)×2×=2.4.(1)证明 设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB􀱀EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.(2)解 因为E为PC的中点,所以三棱锥VE-PBD=VE-BCD=VP-BCD.又AD=AB,∠BAD=60°,所以△ABD为等边三角形.因此BD=AB=2.又CD=4,∠BDC=∠BAD=60°,所以BD⊥BC,因为PD⊥平面ABCD,所以三棱锥P-BCD的体积VP-BCD=PD·S△BCD=×2××2×2.所以三棱锥E-PBD的体积VE-PBD=.5.解 (1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=2.连接OB,因为AB=BC=AC,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB=AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB.由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=AC=2,CM=BC=,∠ACB=45°.所以OM=,CH=.所以点C到平面POM的距离为.6.解 (1)在棱AB上存在中点N,使MN∥平面AB1C1,证明如下:设BB1的中点为D,连接DM,NM,ND,因为点M,N,D是CC1,AB,BB1的中点,所以ND∥AB1,DM∥B1C1,所以ND∥平面AB1C1,DM∥平面AB1C1.又ND∩DM=D,所以平面NDM∥平面AB1C1.因为MN⊂平面NDM,所以MN∥平面AB1C1.(2)因为MN∥平面AB1C1,所以点M到平面AB1C1的距离与点N到平面AB1C1的距离相等.又点N为AB的中点,所以点N到平面AB1C1的距离等于点B到平面AB1C1的距离的一半.因为AA1⊥平面ABC,所以AB1=AC1=2,所以△AB1C1的底边B1C1上的高为.设点B到平面AB1C1的距离为h,则由,得×2××2××h,可得h=,故点M到平面AB1C1的距离为.7.(1)证明 在四边形BCC1B1中,∵BC=CD=DC1=1,∠BCD=,∴BD=1.∵B1D=,BB1=2,∴B1D⊥BD.∵AB⊥平面BCC1B1,∴AB⊥DB1,∴DB1⊥平面ABD.(2)解 对于四面体A1ADB1,A1到直线DB1的距离即为A1到平面BB1C1C的距离,A1到DB1的距离为2.设A1到平面ADB1的距离为h,△ADB1为直角三角形,AD·DB1=,∴×h=h.∵×2×2=2,D到平面AA1B1的距离为,∴×2×.∵,∴,解得h=.∴点A1到平面ADB1的距离为.8.(1)证明 取CF中点G,连接AG,OG,在△CDF中,O是DF的中点,G是CF的中点,∴OG∥CD,OG=CD,又AB∥CD,AB=1,CD=2,∴OG∥AB,OG=AB,∴四边形ABOG为平行四边形,∴OB∥AG,∵AG⊂平面ACF,OB⊄平面ACF,故OB∥平面ACF.(2)解 由EF=CD=2,DE=2,DF=4,可得EF2+DF2=DE2,所以EF⊥DF.∴△DEF的面积S1=×DF×EF=×4×2=4.由DB⊥平面CDEF,DF⊂平面CDEF,DE⊂平面CDEF,EF⊂平面CDEF,可得BD⊥DF,BD⊥DE,BD⊥EF,∴△BDF的面积S2=×BD×DF=×2×4=4,△BDE的面积S3=×BD×DE=×2×2=2,由EF⊥DF,EF⊥BD,BD∩DF=D,可得EF⊥平面BDF.又BF⊂平面BDF,所以EF⊥BF.∵BF==2,∴△BEF的面积S4=×BF×EF=×2×2=2,∴三棱锥B-DEF的表面积S=S1+S2+S3+S4=8+4.。