科学理论与科学思维.doc

. 科学理论与科学思维（1）※普朗克量子假设……十八世纪到十九世纪末，在“晴空无云” 的大地上屹立着以牛顿力学为核心的经典理论大厦，人们受传统观念的束缚，固执于旧的理论，固执于旧的世界观，固执于旧的方法论，认为物理世界己经“太平”了，所有的现象己被认识，所有的规律己被发现，大到天体小到原子都在同一个公式之中，过去、现在和将来一样，都可以通过解方程得到答案…… 作机械运动的物体，当运动速度远小于光速时，准确地遵循牛顿力学的规律；电磁现象的规律有麦克斯威方程理论加以描述；热现象的规律有完整的热力学和统计学理论来说明；光的现象有光的波动理论（最终也归结为麦克斯威方程）来描写当时的经典物理理论被看成是物理世界的不可逾越的终极真理，有的物理学家公开声称，物理学的基本定律己被发现出来了，剩下的事情仅仅是解方程，“玩弄数学符号罢了”，当时著名的科学家拉普拉斯说，“把宇宙的最大天体的运动和最小的原子的运动囊括在同一的公式中”，从而“无论什么都不是不确定的，…并且将来和过去一样都会呈现在眼前”《注16》可是，就在这一时期，经典物理理论遇到了摆脱不了的困难。

如，在热辐射的研究中发现经典物理理论与黑体辐射实验不符，物理学家维恩根据经典热力学推导出的维恩公式，在高频时与实验符合，在低频时与实验不符；而物理学家瑞利与金斯根据经典电动力学推导出的瑞利-金斯公式，在低频时与实验符合，在高频时与实验不符这些新的实验与经典物理理论不相符合的事实，使不少科学家苦恼，大家称它是“红外光灾难”和“紫外光灾难”可是，作为当时物理学权威的威廉·汤姆逊却认为，这仅仅是“在平静而晴朗的物理天空中挂着的一朵乌云”，这朵乌云似乎早该被神圣化了的经典物理理论所驱散，然而事实是无情的，摆在物理学家面前的只有两条道路：一条是敢于从新的实验事实出发，大胆地修正、丰富和发展经典物理，另一条从经典物理的传统出发，硬把实验事实纳入旧理论的框框中去1900年10月19日，24岁的德国物理学家普朗克为了寻求旧理论与实验事实的一致性，向物理学会提交了一份普朗克黑体辐射公式，这个公式没有理论依据，是用机械的办法把维恩公式和瑞利-金斯公式生硬地拼凑在一起，使它在任何频率下都与黑体辐射实验曲线相符合当天晚上物理学家鲁本斯发现这个经验公式同他曾经作过的实验数据惊人的一致，第二天一早鲁本斯高兴地把这个消息告诉了普朗克，普朗克决定开始寻求这个公式的理论基础。

两个月后，普朗克大胆地抛弃了经典物理关于“能量连续辐射”的传统观念，提出了一个把能量值“量子化”即“能量不连续”的新假设_“谐振子能级”，并用这个新的“能量子假设”从理论上推导出了两个月前向物理学会提交的普朗克黑体辐射公式，同时运用这个公式，在高频时推导出维恩公式，在低频时推导出瑞利-金斯公式，这样普朗克黑体辐射公式不仅与实验数据惊人的一致，而且从理论上统一了这两个互不相关并与实验不完全相符的黑体辐射公式普朗克提出的“能量子假设”冲破了己经神圣化的经典物理传统观念的束缚，解决了“红外光灾难”和“紫外光灾难”，为现代物理理论奠定了新的基础……※庞加莱删拦……庞加莱是法国著名的数学家，也是第一个用理性的触角遇到可能存在并研究“混沌”的人，后人称他为混沌的鼻祖，因为庞加莱所提出的不少新理论和新方法，在当今非线性科学中的，如“庞加莱截面”、代数拓扑学等很多概念与思想，都来源于庞加莱，所以人们一致认为非线性科学的诞生应该从20世纪的庞加箂开始……庞加莱所遇到的混沌问题，始于对三体问题的研究19世纪，数学家们对描述行星轨道的天体力学方程式的级数是否收敛的问题，议论纷纷1858年德国哥廷大学的数论专家狄利克雷（Lejeuno Dirichlet）对他的学生克罗内克（Leopold Kronecker）讲，他利用一种技巧证明了该级数的收敛性，但不幸的是他还没有告诉他人便于次年5月逝世了，享年54年，走得太早了。

狄利克雷逝世后，没有任何一位数学家提出证明19世纪80年代，为了公开解决这个问题，瑞典斯德哥尔摩大学的数学家们想出了一个主意，打算在瑞士国王奥斯卡60寿辰时，举办一场国际性的数学竞赛，把这个行星轨道计算中的级数收敛性的问题作为国王颁发的4个难题之一这个问题是一位极具影响力的数学家维尔斯特拉斯（Veiostyass）提出的：如果有几个质点，按牛顿定律互相吸引，可不可以用收敛级数表示它们的坐标（是时间的函数）？谁解荅了这个问题，国王将在60寿辰颁发奖金作为法国著名的数学家的庞加莱对这个问题感到极大的兴奋但是，他也知道要解决这个问题是非常困难的，一方面意识到开发这个问题的工具没有出现，难以用精确的语言表达；另一方面感到要解决这一类动力学问题必须以自己熟悉的领域_天体力学入手，并不局限于某个具体的运动之中，而应研究所有可能运动的普遍规律例如，行星会永远围绕太阳旋转吗？行星之间会不会发生碰撞？行星会不会向无限远的空间逃逸？一个已知的周期性相邻轨道稳定吗？某时某刻当两个轨道的两个相点相距很近时，其轨道后面的运动还始终不变吗？在描述可能的相轨迹里，有闭合曲线吗？…显然，庞加莱所想要解决的问题己大大超越了维尔斯特拉斯提出的深度和广度。

当然，庞加莱深知，要解决这些问题，必须改变原有的思维方式，创立新的数学工具、新的思维理念和新的研究途径，经过2年多的日日夜夜，庞加莱为此建造了一座崭新的科学大厦，他提出的曲面基本群概念导致代数拓扑学的建立；他提出自守函数概念并引入多变量解析函数理论；他独立地开拓了双向渐近解、特征指数等许多新的数学工具，并把它们应用到三体和n体问题中；他发明了积分不变量的概念，并应用它证明了回复定理（recurrence thcorem）；他是发展拓扑学的先驱，并将其应用在相空间的模型上，在本质上他将一个包含动力学的问题转换为一个几何问题；他巧妙地提出被誉为“庞加莱映射”的新的几何方法_这也是庞加莱最伟大的简化概念，即只关注相空间的一小部分，这一小部分既代表所探索的轨迹必须经过的地方，又是相空间中的一个截面，因此称为“庞加莱截面”运用“庞加莱截面”的最大好处是它总可把相空间内的维数减少一维来处理，所以至今己成为现代动力学的标准工具庞加莱运用他崭新的思想和数学工具研究了国王出资创立的这个竞赛课题1883年他在《天文学报告》刊登了《论三体问题的某些确定特解》，两年后评委团将大奖颁发给了庞加莱，以表彰他提交的论文。

可是，《数学学报》杂志主编米塔格—莱克勒发现一个严重错误并转告了庞加莱，庞加莱作为一位严谨的数学家，那怕已经获得了奥斯卡二世国王奖，他毅然把国王奖架子放在一边，重新投入到研究中，勇敢地纠正自己的错误，经过几个月的努力，庞加莱不仅纠正了错误，而且发展了一个新理论他指出，即使其中一个天体的初始位置发生微小改变，也会使长时间演化后的结果大不相同1908年，他在《科学方法》书中写道：“有时初始条件的微小差异，将造成最终现象之极大改变《注31》 1890年，庞加莱揭示出的这一新发现记入论文《论三体问题与动力学方程》之中，并在《数学学报》杂志上发表，在引言中他向指出他错误的编辑表示感谢，并支付了358克朗63欧尔的第一次印刷的费用_远远超过了他所获得的奥斯卡国王奖该论文揭示出了混沌现象一个重要特性_初始条件的微小改变会导致结果的重大变化他清楚地意识到，在一定条件下三体运动的解可能成为难以处理的耦合形式_致使具有确定性的牛顿力学存在随机性1903年庞加菜从动力学系统和拓扑学的全局出发，指出可能存在的混沌运动特性庞加莱从而成为了解存在混沌可能性的世界上第一位科学家1890年，他在《新方法》一书中提出了一个十分复杂的网状式格子架的结构_“同窗栅拦”，他说：“当我们试图描绘它们（稳定流形与不稳定流形）的无穷多次相交产生的图像时，每一个交点都对应于一个双向渐近解，这些交点形成一种含有无穷多个很细网眼的格子或网状结构。

这两条曲线中的任何一条都不会再次与自身相交，但它却以一种极其复杂的方式弯曲着回到自身附近，从而无限次地穿过格子中的所有网点”《注18》“这些图案复杂得令人惊奇，甚至我不可能把它们画出来”《注19》这个复杂的图案现在称为“同宿栅拦”（homoclinic tangle），是现代意义上的混沌现象的第一个数学描述庞加莱己经发现了不可积分系统的复杂性，动力系统一般是不可积的，混沌是不可积系统的典型行为，所以他意识到：仅三体问题就能产生如此复杂的行为，说明确定性动力学方程的某些解具有不可预见性显然，庞加莱已对传统的“可预见性”决定论提出了挑战人们为了纪念庞加莱对混沌的第一个数学描述，把“同宿栅拦”又称为“庞加莱删拦”庞加莱首次揭开了历史悠久之谜_三体运动神秘的面纱，描述出与传统观念相背离的不稳定、非线性的另一幅科学图景，也是世界上了解混沌存在的第一个人庞加莱说：“这个问题将为未来几代人的数学家取之不竭的成果来源” 但是，他也意识到“现在至少我懂得没有人能够独立地解决这个问题我们这代人不可能完全理解它”《注18》 ……原载《彩票大揭秘＿彩票的混沌与分形》(2016年1月知识产权出版社)科学理论与科学思维（2）※康托尔的集合论……1845年3月3日，乔治·康托尔出生于俄罗斯彼得堡具有父母都有犹太血统的家庭，17岁考入苏黎世工科大学，1867年12月他完成了博士答辩，他的博士论文《二次不定方程》解决了德国数学家高斯1801年提出的一个未定难题。

由于解决了这个难题，康托尔以优等成绩在哥廷根大学获博士学位，在1845-1918年的数学生涯中，他不仅建立起自然数、有理数和代数间的一一对应关系，建立起正方形区域内的点和一段线段上的点的一一对应关系，而且还发现所有实数构成一个不可数集合，任何无穷集合的幂具有比原集合更高的基数，他还引入连续假设、良序原理、基数三分法和所有集合组成的集合，…由此开创了数学一个全新的分支-集合论1891年他创立了德国数学联合会，任首届主席1904年获英国皇家学会的西尔威斯特奖章_当时世界数学界最高荣誉奖康托尔成为19世纪末20世纪初德国最伟大的数学家，他所创立的集合论奠定了当今计算机等现代科学技术的数学基础，被誉为20世纪最伟大的数学创造，不仅影响了现代数学，也影响了现代哲学和逻辑从古希腊的亚里士多德起，就认为只存在潜在的无穷，不存在实在的无穷高斯说：“…我首先反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不容许的，所谓无穷，只是一种说话的方式，…”也就是说，当时的哲学家和数学家只同意一定意义上整数集是无穷的但是，康托尔抛弃了一切经验和直觉，敢于向古老的“潜无穹”传统观念提出挑战，敢于向集合论中最中心、最辣手的无穷集合这个概念提出挑战。

康托尔认为，“无穹”是一个应予以高度重视的实实在在的数学概念，他极愿意将这个装有所有整数的袋子看作一个自足的和完整的实体，而决不是一种“说话的方式”康托尔敢于抛弃了传统的经验和直觉，用纯数学的严格推理和论证，彻底进行理论上的证明29岁时就发表了关于无穷集理论的第一篇革命性的论文《关于所有实代数集合的一个性质》，他反驳了从古希腊以来存在于数学家、哲学家关于不存在“实无穹”的论点，他不仅证明了_代数数集合是一个可数的无穷集合，而且证明了_实数集合是不可数的无穷集合，他宣称“无穷集是具有这样异常性的集合，即它的整体可以与它的部分一样多”，即是说康托尔得出了如下不可置信，但却被严格证实了的不是神话胜似神话的数学结论_如果把地球放进一个以地球的直径为棱长的匣子里，则一厘米长的一根线段上的奌并不比地球内的点少！（注：可参阅第5章“康托尔尘” 的※部分）康托尔关于这类许多十分超脱、十分惊人的关于集合的结论在1879～1884年间相继发表了六篇文章，后汇集成《关于无穹的线性点集合》，1883年康托尔又以《集合论基础》专着单独出版康托尔创造性的提出了与传统世俗观念相违背的神话般的数学结论，惹起了当时数学界大小。