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一线三等角问题探究动点——动中取静板演：四边形 ABCD 是矩形，三角板的直角顶点 M 在 BC 边上 运动，直角边分别与射线 BA、射线 CD 交于 E、F，在运动过程 中，哪些关系保持不变？证明：∵矩形 ABCD∴∠B=∠C=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠EMF=90° ∴∠2+∠1=90° ∴∠1=∠3 ∴△EBM∽△MCF类比上述做法，用 60°角和 45°角分别在等边三角形和等腰直角三角三角形的 BC 边上 运动，得到哪些结论？并证明练习 1 （2010 沈阳）在等边△ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC 的边长为（ ） A 9 B 12 C 15 D 182 如图所示，四边形 OABC 是一张在直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 X 轴上，点 C在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处，已知折痕 CE=，5 5ABCDCABCAB321FEDABMCECABD且 tan∠ADE=3 4 (1)判断△OCD 与△ADE 是否相似？请说明理由 （2）求直线 CE 与 X 轴交点 P 的坐标3 （2010 南通）如图，在矩形 ABCD 中，AB=m(m 是大于 0 的常数)，BC=8,E 为线段 BC 上的动点（不与 BC 重合）.连接 DE，作 EF⊥DE，EF 与射线 BA 交于点 F，设 CE=x,BF=y, (1)求 y 关于 x 的函数关系式 （2）若 m=8，求 x 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？（3）若，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？12ym答案：（1）218yxxmm 如图正方形 ABCD 的边长为 4，点 p 是 BC 边上一动点（点 p 不与点 B、C 重合） ，连接 AP,过点 P 作 PQ⊥AP 交 DC 于点 Q，设 BP 的长为 x，CQ 的长为 y,求 y 与 x 的函数关 系式，并写出自变量 x 的取值范围（2011 南充）如图，点 E 是矩形 ABCD 中 CD 边上一点，△BCE 沿 BE 折叠为△BFE， 点 F 落在 AD 上 求证：△ABF∽△DFEOBCADEFABCDEQACDBPEBDACF若 sin∠DFE= ，求 tan∠EBC 的值1 3（东城一模）24. 等边△ABC 边长为 6，P 为 BC 边上一点，∠MPN=60°，且 PM、PN 分 别于边 AB、AC 交于点 E、F. （1）如图 1，当点 P 为 BC 的三等分点，且 PE⊥AB 时，判断△EPF 的形状； （2）如图 2，若点 P 在 BC 边上运动，且保持 PE⊥AB，设 BP=x，四边形 AEPF 面积 的 y，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （3）如图 3，若点 P 在 BC 边上运动，且∠MPN 绕点 P 旋转，当 CF=AE=2 时，求 PE 的长.图 1 图 2 图 324. （本小题满分 7 分） （1）△EPF 为等边三角形. --------------1 分 （2）设 BP=x，则 CP＝6－x.由题意可 △BEP 的面积为.23 8x△CFP 的面积为.23(6)2x△ABC 的面积为.9 3设四边形 AEPF 的面积为 y.∴ =.9 3y 23 8x23(6)2x2536 39 38xx自变量 x 的取值范围为 3＜x＜6. --------------4 分 （3）可证△EBP∽△PCF.∴ .BPBE CFCP设 BP=x，则 . 解得 .(6)8xx124,2xx∴ PE 的长为 4 或. --------------7 分2 3（延庆一模）25. 在RtABC△中，902BACABACo，，点D在BC所在的直线上运动，作45ADEo（ADE，，按逆时针方向） ．（1）如图 1，若点D段BC上运动，DE交AC于E．①求证：ABDDCE△∽△；②当ADE△是等腰三角形时，求AE的长．（2）①如图 2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使ADE△是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；②如图 3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使ADE△是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．25.25. ①证明：在RtABC△中，∵902BACABACo，∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135° ∴∠ADB=∠DEC ∴ ABDDCE△∽△② 当ADE△是等腰三角形时,分以下三种情况讨论45oABDCE第第 25 题图题图 145o45oCDBAEECABDE第第 2525 题图题图 2 2第第 25 题图题图 3………………2………………2 分分………………1………………1 分分第一种情况：DE=AE∵DE=AE ∴∠ADE=∠DAE=45° ∴ ∠AED=90°, 此时，E 为 AC 的中点，∴AE=1 2AC=1.第二种情况：AD=AE（D 与 B 重合）AE=2第三种情况 ：AD=AE如果 AD=DE，由于ABDDCE△∽△，∴ △ABD≌△DCE, ∴BD=CE,AB=DC,设 BD=CE=x 在RtABC△中，∵902BACABACo，， ∴ BC=2 2, DC=2 2－x∴2 2－x=2 ,解得，x=2 2－2 ，∴ AE= 4 －22综上所述：AE 的值是 1，2，4 －22(2)①存在。

当 D 在 BC 的延长线上，且 CD=CA 时，ADE△是等腰三角形. 证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′, ∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°, ∴ ∠ADC=∠DEC,又 CD=CA ，∴ ∠CAD=∠CDA ,∴ ∠CAD=∠CED , ∴DA=DE′, ∴ ADE△是等腰三角形. ②不存在. 因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°∴∠ADE≠∠E ∴ADE△不可能是等腰三角形………………3………………3 分分………………7………………7 分分………………6………………6 分分………………4………………4 分分………………5………………5 分分（朝阳一模）23．如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F 分别是线段 AD、AC 上的动点（点 E 与点 A、D 不 34tanCAD重合） ，且∠FEC=∠ACB，设 DE=x，CF=y.（1）求 AC 和 AD 的长；（2）求 y 与 x 的函数关系式；（3）当△EFC 为等腰三角形时，求 x 的值.23.解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°， ∴∠ACB=∠CAD. ∴tan∠ACB =tan∠CAD=. ∴.34 34BCAB∵AB=8， ∴BC=6. 则 AC=10. ……………………………………………………1 分过点 C 作 CH⊥AD 于点 H，∴CH=AB=8,则 AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12. .………………………………………………………………………2 分（2）∵CA=CD, ∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD， ∴∠FEC=∠D. ∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D， ∴∠1=∠2. ∴△AEF∽△DCE. ……………………………………………………………………3 分∴，即.AECD AFDEx-1210 y-10x∴. .……………………………………………………………41056 101y2xx分（3）若△EFC 为等腰三角形.F FC CB BD DA AE E①当 EC=EF 时，此时△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由 12-x=10，得 x=2. .…………………………………………………………………5分②当 FC=FE 时，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在 Rt△CHE 中，由，解得. …………………… 62228612xx311x分 ③当 CE=CF 时，有∠CFE=∠CEF=∠CAE， 此时点 F 与点 A 重合，故点 E 与点 D 也重合，不合题意，舍去. …………………7 分综上，当△EFC 为等腰三角形时，x=2 或. 311x例 1.已知：如图，在正方形 ABCD 中,E 为 BC 上任意一点（与 B、C 不重合）∠AEF=90°.观察图形：（1）△ABE 与△ECF 是否相似？并证明你的结论。

2）若 E 为 BC 的中点，连结 AF,图中有哪些相似三角形？（图 1）练习：1.矩形 ABCD 中，把 AD 沿 DQ 对折，使 A 与 BC 边上的点 P 重合，若 AD=10, ABCEDFBCEFDACBPQADAB= 8,求 PQ 的长例 2．如图,在梯形中，ABCD，，，点分别段ADBC∥6ABDCAD60ABCoEF，上（点与点不重合） ，且，设，ADDC，EAD，120BEFoAEx．DFy⑴ 求与的函数表达式；yx⑵ 当为何值时，有最大值，最大值是多少？xy作业： 1．已知如图，B 是 AC 上一点，AD⊥AB,EC⊥BC,∠DBE=90°.求证：△ABD∽△CEB. 2.已知：等边△ABC 中，D 为 BC 上一点，∠B= ∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4, 求 AF 的长DECBAＡＥＤＦＣＢEBCDAD3．如图，梯形中，∥，，，点ABCDADBC6ABDCAD70ABCo分别段上，且，若EF，ADDC，110BEFo，求长．3AE DF4.已知在等腰三角形中，，ABC4,6ABBCAC是的中点， 是上的动点（不与、DACEBCB重合） ，连结，过点作射线，使，射线交射线CDEDDFEDFA DF于点，交射线于点.EBFABH（1）求证：∽；CEDADH（2）设.,ECx BFy①用含的代数式表示；xBH②求关于的函数解析式，yx并写出自变量的取值范围.5.如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=8，点 P 为 BC 边上一动点（不与点FEDCBAFHABCDEFB、C 重合） ，过点 P 作射线 PM 交 AC 于点 M，使∠APM=∠B；（1）求证：△ABP∽△PCM；（2）设 BP=x，CM=y．求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量的取值范围．（3）当△APM 为等腰三角形时，求 PB 的长．ABPCM。