数学相似三角形竞赛试题汇集.doc

第十六讲相似三角形（二）上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明,本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用.例1如图2-76所示.AABC中，AD是ZBAC的平分线.求证：AB:AC=BD:DC.分析设法通过添辅助线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件.ifi2—7B证过B引BE//AC,且与AD的延长线交于E.因为AD平分上BAC,所以Z1=Z2•又因为BE/AC，所以Z2=Z3.从而Z1=Z3,AB=BE.显然△BDEs^CDA,所以BE:AC=BD:DC,所以AB:AC=BD:DC.说明这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用.类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证.在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质（如内错角相等、同位角相等），将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法.例2如图2-77所示.在△ABC中，AM是BC边上的中线，AE平分ZBAC，BD丄AE的延长线于D，且交AM延长线于F.求证：EF//AB.分析利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明△MEFs^MAB，从而EF//AB.证过B引BG//AC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H.因为AE是ZBAC的平分线，所以ZBAE=ZCAE.#因为BG//AC，所以ZCAE=ZG,ZBAE=ZG,所以BA=BG．又BD丄AG,所以△ABG是等腰三角形，所以ZABF=/HBF,从而AB:BH=AF:FH.又M是BC边的中点，且BH/AC,易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以AB:AC=AF:FH.因为AE是△ABC中ZBAC的平分线，所以AB:AC=BE:EC，所以AF:FH=BE:EC，即(AM+MF):(AM-MF)=(BM+ME):(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC.).由合分比定理，上式变为#AM:MB=FM:ME.在AMEF与厶MAB中，上EMF=/AMB，所以△MEFs^MAB（两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•）•所以zabm=zfem，所以EF//AB.例3如图2-78所示.在AABC中，上A:/B:/C=l：2：4.求证;即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及1=AB+AC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决.#注意到，原△ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与厶ABC相似,期望能解决问题．证延长AB至D，使BD=AC（此时，AD=AB+AC），又延长BC至E，使AE=AC，连结ED.下面证明，△ADEs^ABC.设上A=a，ZB=2a，ZC=4a，贝I」ZA+/B+ZC=7a=180°.由作图知，ZACB是等腰三角形ACE的外角，所以ZACE=180°-4a=3a，所以ZCAE=180°-3a-3a=7a-6a=a.从而ZEAB=2a=ZEBA，AE=BE.又由作图AE=AC，AE=BD，所以BE=BD，△BDE是等腰三角形，所以ZD=ZBED=a=ZCAB，#所以△ABCs^DAE,空旦即空竺.竺ATAC所以例4如图2-79所示.P,Q分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点，且BP=BQ,BH丄PC于H.求证：QH丄DH.分析要证QH丄DH,只要证明ZBHQ=ZCHD.由于APBC是直角三角形，且BH丄PC,熟知ZPBH=ZPCB,从而ZHBQ=/HCD,因而ABHO与ADHC应该相似.证在RtAPBC中，因为BH丄PC,所以ZPBC=ZPHB=90°,从而zpbh=zpcb.显然，RtAPBCsRtABHC，所以#由已知，BP=BQ,BC=DC，所以BHHCBQ~bF:因为ZABC=ZBCD=90。

所以ZHBQ=/HCD,所以△HBQsAHCD,/BHQ=/DHC,ZBHQ+ZQHC=ZDHC+ZQHC.又因为ZBHQ+ZQHC=90°,所以ZQHD=ZQHC+DHC=90°,即DH丄HQ.例5如图2-80所示.P,Q分别是RtAABC两直角边AB,AC上两点，M为斜边BC的中点，且PM丄QM.求证：PB2+QC2=PM2+QM2.分析与证明若作MD丄AB于D,ME丄AC于E,并连接PQ,贝I」PM2+QM2=PQ2=AP2+AQ2.于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2,①等价于PB2-PA2=QA2-QC2.②因为M是BC中点，且MD//AC,ME//AB，所以D,E分别是AB,AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，② 等价于(AD+PD)2-(AD-PD)2=(AE+EQ)2-(AE-EQ)2，③③ 等价于AD•PD=AE•EQ.④因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故④等价于ME•PD=MD•EQ.⑤#为此，只要证明△MPDs^MEQ即可.下面我们来证明这一点.事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可•由于adme为矩形，所以ZDME=90°=ZPMQ（已知）.⑥在⑥的两边都减去一个公共角ZPME，所得差角相等，即zpmd=zqme.⑦由⑥，⑦，所以△MPDs^MEQ.由此⑤成立，自⑤逆上，步步均可逆推，从而①成立，则原命题获证.例6如图2-81所示.AABC中，E，D是BC边上的两个三等分点,AF=2CF，BF=12厘米.求：FM，MN，BN的长.解取AF的中点G，连接DF，EG.由平行线等分线段定理的逆定理知DFIIEGIIBA，所以#△CFDs^CAB,AMFDsAMBA.所以所以MB=3MF,从而BF=4FM=12,所以FM=3（厘米）.又在AEDF中，E是BD的中点，且EHIIDF，所以因为EH//AB，所以△NEHs^NAB，从而显然，H是BF的中点，所以故所求的三条线段长分别为练习十六1.如图2-82所示.在AABC中，AD是ZBAC的外角ZCAE的平分线.求证：AB:AC=BD:DC.2.如图2-83所示.在AABC中，ZACB=90°,CD丄AB于D,AE平分ZCAB,CF平分ZBCD.求证：EF//BC.宙^-833.如图2-84所示.在△ABC内有一点P,满足ZAPB=ZBPC=ZCPA.若2ZB=ZA+ZC,求证：图2-S4PB2=PA•PC.（提示：设法证明△PABs^PBC.）4.如图2-85所示.D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点,E在斜边AB上，且AE:EB=2:1.求证：CE丄AD.5.如图2-86所示.RtAABC中，上A=90°,AD丄BC于D,P为AD的中点，延长BP交AC于E,过E作EF丄BC于F.求证：EF2=AE•EC.6.在△ABC中，E,F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G.求：BD：DG：GM.#。