概率论与数理统计—随机变量的数字特征.pdf

授课章节 第四章 随机变量的数字特征 目的要求 掌握期望与方差的概念，熟练掌握计算期望与方差的方法 重点难点 随机变量函数的期望和方差 第二章我们讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性．但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的整个变化情况，而只需知道随机变量的某些统计特征．例如，在检查一批棉花的质量时，只需要注意纤维的平均长度，以及纤维长度与平均长度的偏离程度，如果平均长度较大、偏离程度较小，质量就越好．从这个例子看到，某些与随机变量有关的数字，虽然不能完整地描述随机变量，但能概括描述它的基本面貌．这些能代表随机变量的主要特征的数字称为数字特征．本章介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差和相关系数． §1 数学期望 一、数学期望的定义 先看一个例子，某年级有 100 名学生，17 岁的有 2 人，18 岁的有 2 人，19 岁的有 30 人，20岁的有 56 人，21 岁的有 10 人，则该年级学生的平均年龄为 7 .19100)102156203019218217( 或 22305610171819202119.7100100100100100 我们称这个平均值是数 17、18、19、20、21 的加权平均值，它是把这五个数的地位或权重看得不同。

而1718 192021195是把这五个数的地位或权重看得相同对于一般随机变量，其平均值定义如下： 定义 设离散型随机变量 X 的分布律为{}kkxpP X， k = 1、2、… ，或列表如下： X x1 x2 …… xk …… P p1 p2 …… pk …… 若级数1kkkpx绝对收敛，则称其收敛值为随机变量X的数学期望或 均值，记为1)(kkkpxXE．若级数1kkkpx发散，则称随机变量X的数学期望不存在 设连续型随机变量X的密度函数为)(xf， 若积分dxxxf)(绝对收敛，则称此收敛值为X的2 / 8 数学期望或均值记为)(XE，即dxxxfXE)()(若积分||( )x f x dx发散，则称随机变量X的数学期望不存在 例 1 设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为 X、Y，且分布如下： X 8 9 10 Y 8 9 10 P 0.3 0.4 0.3 P 0.4 0.5 0.1 试比较他们的射击水平 解 ： 显 然 ， 平 均 的 环 数 可 以 作 为 衡 量 他 们 设 计 水 平 的 一 个 重 要 指 标 。

因 此 ， 由 ()8 0.39 0.410 0.39  E X、 ( )8 0.49 0.510 0.18.7  E Y 可得，甲的射击水平优于、乙的射击水平 例 2 设连续型随机变量 X 的密度函数是201( )0xxf x其它，求 X 的均值 E（X） 解：012012()( )0203xf x dxdxx dxdxE X 二、几种重要分布的数学期望 （1）0-1 分布或两点分布 分布律： 则 ()0 (1) 1ppp E X （2）二项分布 ( , )b n p 分布律：{}(1)kkn knkC ppP X，k = 0、1、… 、n， 由 001()nnnkkn kkkn kknnkkkkpkC p qkC p qE X， 因为 11(1)(1)(1)(1)!(1)!kknnn nnknnnknCCkkkk， 所以11(1) (1)111()()nkknknnknpCpqnp pqnpE X （3） 泊松分布( ) X 0 1 P 1-p p 3 / 8 分布律：{}!kkekP X，k = 0、1、… ，所以， 1111()!(1)!(1)!kkkkkkE Xkeeee ekkk  。

连续（4） 均匀分布 ( , )a bX ~U 均匀分布的概率密度为 1( )0axbf xba其它，因而 22()( )( )2()2bbaaxbaabE Xxf x dxxf x dxdxbaba （5） 指数分布 指数分布的密度为0( )00xexf xx或/10( )00xexf xx ， 000()( )()xxxE Xxf x dxxedxxdexe  0011xxedxe  或 ()E X （6） 均匀分布 2( ,)X ~ N 正态分布的密度函数为222)(21)(xexf，所以 22()2()( )2xtxtxxx f x dxedx 或 E X 2222122tttedtedt 三、随机变量函数的数学期望 在许多实际问题中，我们经常需要计算随机变量函数的数学期望，例如，飞机机翼受到的压力2WkV的作用，其中 V 为风速是随机变量，我们需要知道机翼受到的平均压力。

为此，下面给出随机变量函数的数学期望的计算公式 定理 1 设Y为随机变量X的函数：)(XgY (g 是连续函数)， 4 / 8 （ 1 ）X是 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 律 为, 2 , 1),(kxXPpkk； 则 有)]([)(XgEYE1)(kkkpxg条件是1)(kkkpxg绝对收敛 （2）X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则有( )E Y  [ ()]( ) ( )E g Xg x f x dx条件是dxxfxg)()(绝对收敛 定理 1 告诉我们：求)(YE时，不必知道Y的分布，而只需知道X的分布就可以了 例 3 随机变量X的分布律如表 3-2： 表 3-2 X 0 1 2 3 P 21 41 81 81 求)(),11(),(2XEXEXE． 解： 87813812411210)(XE 966781311812114111121011)11( XE 815813812411210)(22222XE 定理 2 设 Z 是随机变量),(YX的连续函数),(YXgZ ， （1）),(YX是二维离散型随机变量，联合分布律为 , 2 , 1,),,(jiyYxXPpjiij； 则有 )],([)(YXgEZE11),(iijjijpyxg。

（2）),(YX是二维连续型随机变量，联合分布密度为),(yxf， 则有 )],([)(YXgEZEdxdyyxfyxg ),(),(． 例 4 设风速 V 在（0，a）上服从均匀分布，即它的密度函数是 10( )0vaf va其它，又设飞机机翼受到的正压力 W 是 V 的函数2WkV，求 W 的数学期望 解：202201( )003aakakv f v dvdvkvdvdva（）E W 5 / 8 例 5 随机变量（X，Y）的联合密度函 数是32311,2( , )0xyxx yxf x y其它 求 数学期望 E（Y） ，E（1/XY）. 解：由公式( )[ (, )]( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy ，得3211/33( )( , )24xxE Yyf x y dxdydxydyx y  三、数学期望的性质 1°． 设c是常数，则有ccE)(． 2° 设X是随机变量，设c是常数，则有)()(XcEcXE． 3° 设X，Y是随机变量，则有)()()(YEXEYXE ． （该性质可推广到有限个随机变量之和的情况） 4° 设X，Y是相互独立的随机变量，则有 )()()(YEXEXYE． （可推广到有限个随机变量之积的情况） 1、2 由读者自己证明．我们来证明 3 和 4．我们仅就连续型情形给出证明，离散型情形类似可证． 证明: 设二维连续型随机变量),(YX的联合分布密度为),(yxf，其边缘分布密度为)(xfX，)(yfY ．则 )(YXEdxdyyxfyx ),()(( , )xf x y dxdy +dxdyyxfy ),( ()( )E XE Y。

性质 3 得证． 又若X和Y相互独立，此时( , )f x y )(xfX)(yfY，故有 )( XYEdxdyyxxyf),( [( )]Xxfx dx][( )]Yyfy dy()()EXE Y §2 方差 先看一个例子，设甲、乙两人打靶，击中的环数分别记为 X、Y，且分布如下： X 8 9 10 Y 8 9 10 6 / 8 P 0.4 0.2 0.4 P 0.2 0.6 0.2 试分析他们技术水平的稳定性直观上看，甲的射击水平波动较大，属情绪型；相比之下，乙的射击水平波动小，技术水平稳定我们引用方差反映随机变量与它的均值偏离程度．那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？用)]([XEXE来描述是不行的，因为这时正负偏差会抵消；用)((XEXEE来描述原则上是可以的，但有绝对值不便计算；因此，通常用})]({[2XEXE来描述随机变量与均值的偏离程度． 一、 方差的定义 定义 设X是随机变量，})]({[2XEXE存在，就称其为X的方差，记为)(XD，即 )(XD=})]({[2XEXE，称)(XD为标准差，记为)(X． 二、 方差的计算 由定义 )(XD=})]({[2XEXE，或)(XD=22()[ ()]E XE X。

证明 ()D X 2{[()] }EXE X})]([)(2{22XEXXEXE 22()2 () ()[ ()]E XE X E XE X 22()[ ()]E XE X X是 离 散 型 随 机 变 量 ， 分 布 律 为, 2 , 1),(kxXPpkk； 则 ()D X 12)]([kkkpXEx或()D X 221()kkkx pEX X是连续型随机变量，它的分布密度为)(xf，则 ()D X dxxfXEx)()]([2或()D X 22( )()x f x dxEX 例 1 设连续型随机变量 X 的密度函数是201( )0xxf x其它，求 X 的方差 ()D X 解：1202()( )23xf x dxx dxE X， 1223041()()()2918x dxD XE XEXE 三、 几种重要分布的方差 （1）0-1 分布或两点分布 分布律：则 ()pE X， 22222()()()0(1)1(1)pppppD XE XEX X 0 1 P 1-p p 7 / 8 （2）二项分布 ( , )b n p 分 布 律 ：{}(1)kkn knkC ppP X， k = 0 、 1 、 … 、 n ，()npE X， 得 22220()()()()(1)nkkn knkk C p qnpnppD XE XEX。

（3） 泊松分布( ) 分布律：{}!kkekP X，k = 0、1、… ，()E X，得22221()()()!kkkek  D XE XEX （4） 均匀分布 ( , )a bX ~U 均匀分布的概率密度1( )0axbf xba其它，()2abE X， 22222()()()()()212baxabbadxbaD XE XEX （5） 指数分布 指数分布的密度 0( )00xexf xx 或 /10( )00xexf xx ， 1() E X 或 ()E X， 2220()()()xx edxD XE XEX或2()D X （6） 均匀分布 2( ,)X ~ N 正态分布的密度函数为222)(21)(xexf， ()  E X， 22()22222()()()2xxedx D XE XEX 四、 方差的性质 1、 设c是常数，则有0)(cD； 8 / 8 2、 设c是常数，则有)()(2XDccXD； 3、 设X，Y是独立的随机变量，则有)()()(YDXDYXD 例 2 设),(YX的概率密度函数为 1,01( , )0yxxf x y，，其他 求)(XD及)(YD． Solution 10:xxyD 322),()(10210xxDdxxdyxdxdxdyyxxfXE 0),()(10xxDydydxdxdyyxyfYE 212),()(10310222xxDdxxdydxxdxdyyxfxXE 6132),()(10321022xxDdxxdyydxdxdyyxfyYE 61061)(,1819421)(YDXD． 。