第五章 电子-声子相互作用1.doc

第四章 等离激元相互作用电子系统；或称 金属中电子系统复习：§6 介电函数无规相近似介电函数（4.6.21） （4.6.16）称为介电函数的林哈德表示式介电函数的实部与虚部Dirac公式 （4.6.22） （4.6.23）（4.6.24）下一节由介电函数分析系统元激发谱§7 电子系统的元激发谱（介电函数方法）系统的元激发由决定系统的元激发频率满足 （4.7.1）由 （4.6.23）得到 （4.7.2）图解法求解（图4.3）i）， 在区域不存在自发振荡在区域存在自发振荡下面讨论自发振荡的色散关系由 （4.7.2）公式 对于只取第一项 （4.7.6）得到 计及项： 即 （作业13：计及项，推导（4.7.7） ）将 和 代入，去掉取和为0的奇次项，保留至项，得到可证 ，所以又，即，得到代入方程，得到记，方程简化为解出，并利用小量展开的近似公式 ，得到得到 去掉不合理负解，得到等离子振荡频率 （4.7.7）进一步在长波情况下（）解出 （4.7.8）（ii）；（4.1.4）在区域不存在自发振荡关于等离激元的波矢边界：忽略第一项，得到 即 或 （长波）二维电子系统液氦表面、MOS反型层、异质结界面傅里叶展开系数长波色散关系 （4.7.11）二维电子系统的等离激元是无能隙的。

维格纳晶格、量子霍尔效应等§8 静电屏蔽1．屏蔽势静态外扰动静态介电函数 （4.6.23） （4.8.1）计算求和（积分）（作业14：由（4.8.1）推导（4.8.2））取和换作积分：∴ 代入 和，得到（4.8.2）长波情况下，，这时泰勒级数 ，近似公式 ，，则得到介电函数的长波近似式 （4.8.3）称为Thomas-Fermi介电函数其中 （4.8.4）原点处有一个电子（-e）的屏蔽情况：傅里叶展开系数则总势能的傅里叶分量（4.8.5）Thomas-Fermi屏蔽势（4.8.6）证明：（取）在上半平面有一个单极点，其留数为得到 则 取，得到 （4.8.6） 称为Thomas-Fermi屏蔽势能函数从两个电子互作用的角度，也称为汤川互作用Bohm-Pines的早期理论：取，得到（4.8.7）记 （4.8.8）称为sine积分函数当时，即时，这时 集体效应：准电子、等离激元2．孔恩异常金属的声子频率在附近的软化现象，称为Kohn anomalies对于（4.8.2）在长波近似下 （4.8.3）下面进行更严格的讨论改写为 （4.8.9）泰勒级数 ，近似公式 ，，则x→0时，x→∞时，但是，（费米球直径）时，发散，介电函数突然下降。

图4.6数学分析：（4.8.1）实验发现，金属Pb中的声子频率有软化现象，称为孔恩异常分析：电子与金属离子相互作用，的相互作用比较强；离子之间的相互作用受到电子的屏蔽；费米面上电子的对端跃迁吸收声子一维系统中声子的完全软化现象，称为强孔恩异常分析：波矢退化为标量，对激发区减小；图4.7：声子色散谱与对激发谱只在附近3．Friedel振荡讨论金属中电子对杂质（荷电Ze）的屏蔽作用杂质的有效势能 （4.8.11）将 （4.8.9）代入得到（4.8.12）在r很大时有渐近式 （4.8.13）这是的振荡势能，称为夫里德耳（Friedel）振荡势（能）电子数密度：由Poisson方程得到对于势能的Poisson方程其中电荷密度为是电子数密度代入Poisson方程，得到 （4.8.14）将代入得到（4.8.15）在r很大时有渐近式 （4.8.16）杂质周围屏蔽电荷的分布具有长程振荡特征，这就是夫里德耳振荡分析：金属电子有明确的费米面参加屏蔽的粒子主要是费米面上的电子费米面上相同波数的电子，在杂质上的衍射效应如果汤川势代入Poisson方程，得到 （4.8.16）长波近似，不能充分反映量子效应。

§9 基态能无相互作用所以 1．Hartree-Fock近似的基态能（4.9.1）Hartree-Fock近似：一阶微扰近似其中 是无相互作用的基态 （4.9.2） （4.9.3）其中 （4.9.4）自旋平行电子之间的交换能这是 ，电子1与电子2状态交换， 只有电子1与2的自旋平行的贡献，则 （4.9.5） （4.9.6）其中 是单电子（1）的自能修正计算： （4.9.7）其中 （4.9.8）代入 （4.9.6）再求和化为积分，得到交换能 （4.9.9）其中 （4.9.10）平均每个电子的基态能 （4.9.11）引入描述电子密度的无量纲参量： （4.9.12）其中 ， ，基态能表示为 （4.9.14）Hartree-Fock近似（一阶微扰近似）的问题：结果偏小Li的结合能：，2．相关能的二阶微扰计算二阶微扰，计入了反平行自旋电子间的作用，这部分能量称为相关能 （4.9.16） （4.9.23）其中代表平均每个电子的二阶修正能量对的主要贡献是长波部分，且 （4.9.29）时，呈现对数式发散。

分析：Hartree-Fock近似是一个微扰理论，没有考虑互作用对电子态的影响必须在集体运动的基础上，考虑屏蔽效应3．基态能的严格公式－Feynman定理多体系统的介电函数理论利用介电函数可以计算互作用电子系统的基态能量严格的介电函数公式（4.9.31）其中 （4.9.32）对（4.9.31）积分 （4.9.33）库仑互作用 （4.9.34）对严格基态平均，得到库仑互作用能（4.9.35）下面推导基态能与介电函数的关系：费因曼定理：（4.9.37）满足 （4.9.38）计算基态能（取）：， （4.9.42）积分 基态在时就是无相互作用的自由电子气体基态第二项中的（4.9.44）基态能可表示为介电函数的积分（4.9.45）这就是基态能的严格公式4．无规相近似的基态能由 （4.6.16）有 （4.9.47）其中林哈德函数 （4.9.48）则无规相近似的基态能（4.9.49）其中（4.9.50）这是一种部分求和方法，属于非微扰近似HFA是一阶的微扰近似，对应 （4.9.51）基态能 ，即 金属基态能的关键是计算相关能。

4.9.56） （4.9.74）平均每个电子的基态能（4.9.75）无规相近似理论的局限性：适用于高密度，最多可推广到量级估计：， （4.9.82）高密度时，PE<KE，微扰理论不适用离子势的作用越来越重要，必须用晶格模型代替凝胶模型实际金属§10 Wigner晶格Wigner晶格是电子在均匀正电背景上规则排列的电子晶格低密度时，PE>KE，电子间的库仑关联远远超过动能，规则排列势能比较低1934年Wigner理论预言；1979年Grimes和Adams首次在液氦表面吸附的电子层中观察到Wigner晶格能量计算：均匀正电背景上规则排列的电子晶格，WS原胞近似用等体积的球代替；忽略各球间的相互作用均匀正电背景的球在球内r点的电势为（4.10.2）（4.10.3） （4.10.4）维格纳电子晶格能量 （4.10.6）维格纳晶格的稳定性： （4.10.7）其中 （4.10.8）或写作 ，即 球内电子能量修正为（4.10.10）维格纳晶格能量 （4.10.11）讨论：（1）时，失稳点，得到（2）低密度电子系统的相关能内插法得到的一般密度的相关能公式 （4.10.15）实际金属。

二维维格纳晶格实验观测简介二维Wigner晶格于1979年Grimes和Adams首次在液氦表面吸附的电子层中观察到实验中典型的温度为0.5K，电子面密度的范围为在液氦表面存在一个电子势阱，该势阱由长程的镜像势与液氦表面的短程排斥势垒形成电子可以被束缚于液氦表面，垂直于液氦表面的束缚能为0.7meV，同时，电子可以在平行于表面的方向自由运动Grimes和Adams的实验装置由一对直径5cm的圆形电容器板组成，一块圆板置于液氦表面上方0.2cm处，另一块圆板置于液氦中、距离表面约0.1cm处整个装置密封于一个抽真空的铜盒中，由液氦冷却液氦表面上方的圆板中央有一根灯丝，给该板施加负电势，短暂加热灯丝可以向液氦表面施放电子实验测量是通过下面的圆板与射频电磁波源相连接，观测液氦表面对于电磁波传播的阻抗R对电子面密度的变化率实验结果如下图所示：图. Wigner晶格形成的实验观测在液氦表面形成Wigner电子晶格之后，液氦表面的表面张力波色散关系为其中是表面张力系数，液氦密度，是电子晶格的倒格矢上述实验中电子面密度为，在不同的温度下观测在温度低于0.457K时，在几个频率处出现表面张力波与射频电磁波的共振现象，表明在液氦表面形成了电子晶格；而在0.46K时，没有共振现象，表明这时电子在液氦表面是均匀无规分布的。

理论计算得到六角晶格的能量最低，库仑势能为Ω是二维电子晶格的原胞面积利用六角晶格计算共振频率，与上述实验相一致§11 准粒子寿命和费米面（略）第五章 电子－声子相互作用§1 互作用过程一、有效质量近似和带边能量带底附近能带电子能量 （5.1.1）带边能量与原子间距有关例如：电子在周期场中的势能函数为 其中，为整数，为常量．用近自由电子近似，求出晶体电子的第一个和第二个带隙宽度．解：对于，，其中计算得到∴二、形变势模型LA声子伴随晶格常数和体积的局域变化带边能量发生移动 （5.1.2）电声相互作用的形变势模型。