线性稳定性PPT资料.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,线性稳定性,第一页，共29页3-8,线性系统的稳定性,一、稳定性的概念(ginin),定义(dngy)：线性系统处于某一平衡状态下，受到干扰的作用而偏离了原来的平衡状态，在干扰消失后，系统能够回到原状态或者回到原平衡点附近，称该系统是稳定的，否则，不稳定上述(shngsh)稳定是“渐近稳定”的,“,线性,”,系统通常是线性化的,因此，稳定性通常也应在小偏差范围中讨论,第二页，共29页临界稳定：若系统在扰动消失后，输出与原始的平衡状态间存在恒定的偏差(pinch)或输出维持等幅振荡，则系统处于临界稳定状态注意(zh y)：经典控制论中，临界稳定也视为不稳定第三页，共29页稳定(wndng)的充要条件,假设系统在初始条件为零时，受到单位脉冲信号(t)的作用，此时系统的输出增量(zn lin)（偏差）为单位脉冲响应，这相当于系统在扰动作用下，输出信号偏离平衡点的问题，显然，当t时，若：,系统（渐近）稳定。

第四页，共29页理想(lxing)脉冲函数作用下 R(s)=1对于(duy)稳定系统,t 时,输出量 c(t)=0由上式知：,如果(rgu)pi和i均为负值,当t时,c(t)0第五页，共29页自动控制系统(xtng)稳定的充分必要条件：,系统(xtng)特征方程的根全部具有负实部，,即:闭环系统(xtng)的极点全部在S平面左半部注意(zh y)：稳定性与零点无关,S,平面,系统(xtng)特征方程,第六页，共29页第七页，共29页稳定(wndng)的必要条件,系统(xtng)特征各项系数具有相同的符号，且无零系数设系统(xtng)特征根为p1、p2、pn-1、pn则,若系统稳定，必有,p,i,0,因此上式各项系数均大于零但若系统特征方程满足稳定必要条件，系统是否稳定？劳斯与赫尔维茨分别给出了这方面的判据第八页，共29页s,n,a,0,a,2,a,4,a,6,s,n,1,a,1,a,3,a,5,a,7,s,n,2,b,1,b,2,b,3,b,4,s,n,3,c,1,c,2,c,3,c,4,s,2,e,1,e,2,s,1,f,1,s,0,g,1,判据系统极点实部为正实数根的数目等于劳斯表中第一列系数符号(fho)改变的次数。

特征方程,劳斯表,第九页，共29页劳斯表的列法,前两行为特征方程的系数，右移一位降两阶；,第三行起元素的计算(j sun)为：分母为上一行第一个元素；,分子为一行列式，第一列为上两行的第一，第二列为所计算(j sun)元素右肩上元素次对角线减主对角线元素一行可同乘以或同除以某正数,第十页，共29页设系统(xtng)特征方程为：,s,6,+2s,5,+3s,4,+4s,3,+5s,2,+6s+7=0,劳 斯 表,s,6,s,5,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,1,2,4,6,3,5,7,(6,4)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,2,4,6,3,5,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,4,1 2,劳斯表介绍(jisho),劳斯表特点(tdin),4,每两行个数相等,1,右移一位降两阶,2,行列式第一列不动,3,次对角线减主对角线,5,分母总是上一行第一个元素,7,第一列出现零元素时，,用正无穷小量,代替6,一行可同乘以或同除以某正数,2,+,8,7,-,8,(,2 +8,)-,7,2,7,1 2 7,-8,第十一页，共29页控制系统稳定(wndng)的充分必要条件：,劳思阵列第一列元素不改变符号。

性质：第一列符号改变次数(csh)=系统特征方程含有正实部根的个数若变号系统(xtng)不稳定!,劳斯判据,第十二页，共29页三、劳斯判据(pn j)的应用,1.判定(pndng)系统的稳定性,例：,D(s)=s,4,+2s,3,+3s,2,+4s+5=0,s,4,1,3,5,2,4,s,3,s,2,s,1,s,0,0,0,5,劳斯表第一列元素符号改变(gibin)2次，表明系统有2个正实部的根，该系统是不稳定的第十三页，共29页计算劳斯表时可能出现(chxin)的几种特殊情况,如果劳斯表第1列中出现(chxin)0，则可以用一个小的正数代替它，然后继续计算其它元素D(s)=s,4,+3s,3,+3s,2,+3s+2=0,s,4,1,3,2,3,3,s,3,s,2,s,1,s,0,0,2,2,2,0,在劳斯表中上面一行的首列和下面行的首列符号(fho)相同，劳斯表第一列元素没有符号(fho)改变有一对纯虚根存在系统的特征根为,j,，,1,，,2,系统稳定的定义，该系统是不稳定的第十四页，共29页设系统(xtng)特征方程为：,s,6,+2s,5,+3s,4,+4s,3,+5s,2,+6s+7=0,劳 斯 表,s,6,s,5,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,1,2,4,6,3,5,7,(6,4)/2=1,1,(10-6)/2=2,2,7,1,2,4,6,3,5,7,1,0,(6-14)/1=-8,-8,4,1 2,第一列出现零元素时，,用正无穷小量,代替。

2,+,8,7,-,8,(,2 +8,)-,7,2,7,1 2 7,-8,第十五页，共29页劳斯表出现(chxin)零行,设系统(xtng)特征方程为：,s,4,+5s,3,+7s,2,+5s+6=0,劳 斯 表,s,0,s,1,s,2,s,3,s,4,5,1,7,5,6,1,1,6,6,0,1 劳斯表何时(h sh)会出现零行?,2,出现零行怎么办,?,3,如何求对称的根,?,由零行的上一行构成,辅助方程,:,有大小相等符号相反的,特征根时会出现零行,s,2,+1=0,对其求导得零行系数,:,2s,1,2,1,1,继续计算劳斯表,1,第一列全大于零,所以系统稳定,错啦,!,由综合除法可得另两个根为,s,3,4,=-2,-3,解辅助方程得对称根,:,s,1,2,=j,劳斯表出现零行系统,一定,不稳定,第十六页，共29页s,5,+s,4,+3s,3,+3s,2,+2s+2=0,设系统(xtng)特征方程为：,s,5,1,3,2,1,3,s,4,s,3,s,2,s,1,2,2/3,4,6,0,3/2,第三行全部(qunb)为零！,由上一行构造辅助(fzh)方程Q(s)=s,4,+3s,2,+2=0,求导得：,4s,3,+6s=0,由此方程得到,s,3,行的各项系数,2,s,0,2,劳斯表第一列元素符号没有改变，系统没有正实部的根，但该系统是不稳定的。

原方程中关于原点对称的根可以通过解辅助方程,Q(s)=s,4,+3s,2,+2=0,求出第十七页，共29页利用劳斯判据判断系统的稳定性的结论为：系统稳定的充分必要条件是系统的特征方程没有缺项，全部系数(xsh)大于0，且劳斯表第一列所有元素也大于02分析系统(xtng)参数对稳定性的影响,已知系统(xtng)的开环传递函数为,确定稳定的开环放大倍数的取值范围，和临界放大系数,K,P,特征方程为：,第十八页，共29页一阶系统(xtng),若变号系统(xtng)不稳定!,上述(shngsh)稳定是“渐近稳定”的,a10,a20(全部(qunb)系数数同号),稳定(wndng)的充要条件,赫尔(h r)维茨(Hurwitz)判据,若变号系统(xtng)不稳定!,控制系统稳定(wndng)的充分必要条件：,劳斯表出现(chxin)零行,a10(全部(qunb)系数数同号),稳定(wndng)的充要条件,6 一行可同乘以或同除以某正数,a10,a20(全部(qunb)系数数同号),a10,a20,a30,a40,Q(s)=s4+3s2+2=0,求导得：4s3+6s=0,s,3,s,2,s,1,1440,40K,1,40,0,14,40K,s,0,40K,稳定(wndng)条件为,K,0,1440,40K,0,解得使系统(xtng)稳定的K值范围,0,K,14,3.确定系统(xtng)的相对稳定性,具体做法是：,s,z-a,代入原系统的特征方程，得出以,z,为变量的方程。

应用劳斯判据于新的方程若满足稳定的充要条件则该系统的特征根都落在,s,平面中,s,-a,直线的左半部分，即只有,a,以上的稳定裕度a,j,S,平面,0,第十九页，共29页第二十页，共29页第二十一页，共29页赫尔(h r)维茨行列式,系统(xtng)的n阶赫尔维茨行列式,取各阶主子(zh zi)行列式作为1阶（n-1）阶赫尔维兹行列式,第二十二页，共29页赫尔(h r)维茨(Hurwitz)判据,控制系统(kn zh x tn)稳定的充分必要条件是：当a00时，各阶赫尔维茨行列式1、2、n均大于零一阶系统(xtng),二阶系统,a,0,0,时,a,1,0,(,全部系数数同号,),a,0,0,时,a,1,0,a,2,0,(,全部系数数同号,),a,0,0,时,a,0,0,时,第二十三页，共29页三阶(sn ji)系统,a00时,a10,a20,a30(全部(qunb)系数数同号),a,0,0,时,a,1,a,2,a,0,a,3,第二十四页，共29页四阶系统(xtng),a00时,a10,a20,a30,a40(全部(qunb)系数数同号),a,0,0,时,第二十五页，共29页一阶系统(xtng),a10(全部(qunb)系数数同号),a10,a20(全部(qunb)系数数同号),a,1,0,a,2,0,a,3,0,(,全部系数数同号,),a,1,a,2,a,0,a,3,a,1,0,a,2,0,a,3,0,a,4,0,(,全部系数数同号,),归纳：,a,0,0,时,二阶系统,三阶系统,四阶系统,第二十六页，共29页。

例,a,1,0,a,2,0,a,3,0,a,4,0,K值的稳定(wndng)范围,各项系数(xsh)均为正数,a,0,0,时,第二十七页，共29页单位反馈系统(xtng),已知系统(xtng)开环传递函数如下：,判断上述系统开环增益K的稳定域，并说明开环积分环节(hunji)数目对系统稳定性的影响第二十八页，共29页系统(xtng)1的闭环特征方程为：,系统(xtng)3的闭环特征方程为：,系统(xtng)2的闭环特征方程为：,K,的稳定域为：,K,的稳定域为：,结论：,增加系统开环积分环节的数目对系统稳定性不利由于特征方程缺项，不存在,K,的稳定域第二十九页，共29页。