2022年全国高考文科数学（甲卷）试题及答案解析.docx

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷）文科数学1. 设集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<52}，则A⋂B=( )A. {0,1,2} B. {−2,−1,0} C. {0,1} D. {1,2}2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则( )A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3. 若z=1+i，则|iz+3z−|=( )A. 45 B. 42 C. 25 D. 224. 如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )A. 8 B. 12 C. 16 D. 205. 将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是( )A. 16 B. 14 C. 13 D. 126. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( )A. 15 B. 13 C. 25 D. 237. 函数f(x)=(3x−3−x)cosx在区间[−π2,π2]的图像大致为( )A. B. C. D. 8. 当x=1时，函数f(x)=alnx+bx取得最大值−2，则f′(2)=( )A. −1 B. −12 C. 12 D. 19. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30∘，则( )A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30∘C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45∘10. 甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为和，体积分别为和若，则A. 5 B. 22 C. 10 D. 510411. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1⋅BA2=−1，则C的方程为( )A. x218+y216=1 B. x29+y28=1 C. x23+y22=1 D. x22+y2=112. 已知9m=10，a=10m−11，b=8m−9，则( )A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a13. 已知向量a=(m,3)，b=(1,m+1).若a⊥b，则m=______.14. 设点M在直线2x+y−1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方程为______.15. 记双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值______.16. 已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120∘，AD=2，CD=2BD.当ACAB取得最小值时，BD=______.17. 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518. 记Sn为数列{an}的前n项和．已知2Snn+n=2an+1.(1)证明：{an}是等差数列；(2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．19. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示：底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直．(1)证明：EF//平面ABCD；(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).20. 已知函数f(x)=x3−x，g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线．(1)若x1=−1，求a；(2)求a的取值范围．21. 设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(p,0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|=3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α−β取得最大值时，求直线AB的方程．22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+t6,y=t(t为参数)，曲线C2的参数方程为x=−2+s6,y=−s(s为参数).(1)写出C1的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．23. 已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2=3，证明：(1)a+b+2c≤3；(2)若b=2c，则1a+1c≥3.答案解析1.【答案】A【解析】解：集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|0≤x<52}，则A⋂B={0,1,2}.故选：A.利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：(70%+75%)=72.5%，故A错误；对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：110(80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%)=89.5%>85%，故B正确；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故D错误；对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%−80%=20%，讲座前正确率的极差为：95%−60%=35%，∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．故选：B.对于A，求出讲座前问卷答题的正确率的中位数进行判断；对于B，求出讲座后问卷答题的正确率的平均数进行判断；对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，进行判断；对于D，求出讲座后问卷答题的正确率的极差和讲座前正确率的极差，由此判断D.本题考查命题真假的判断，考查散点图、中位数、平均数、标准差、极差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：z=1+i，∴iz+3z−=i+i2+3(1−i)=i−1+3−3i=2−2i，则|iz+3z−|=22+(−2)2=22.故选：D.先求出iz+3z−=i+i2+3(1−i)=2−2i，由此能求出|iz+3z−|.本题考查复数的运算，考查复数的运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，如图，AB=4，AD=2，AA1=2，AA1⊥平面ABCD，∴该多面体的体积为：V=12(4+2)×2×2=12.故选：B.由多面体的三视图得该多面体是一正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，四棱柱的底面是直角梯形ABCD，AB=4，AD=2，AA1=2，AA1⊥平面ABCD，由此能求出该多面体的体积．本题考查多面体的体积的求法，考查多面体的三视图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.【答案】C【解析】解：将函数f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，则C对应函数为y=sin(ωx+ωπ2+π3)，∵C的图象关于y轴对称，∴ωπ2+π3=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+13，k∈Z，则令k=0，可得ω的最小值是13，故选：C.由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得ω的最小值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种取法，其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，(4,5)，(4,6)，共6种情况，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P=615=25；故选：C.根据题意，用列举法分析“从6张卡片中无放回随机抽取2张”和“抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，注意古典概型的计算公式，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：f(x)=(3x−3−x)cosx，可知f(−x)=(3−x−3x)cos(−x)=−(3x−3−x)cosx=−f(x)，函数是奇函数，排除BD；当x=1时，f(1)=(3−3−1)cos1>0，排除C.故选：A.判断函数的奇偶性，结合函数的特殊值判断点的位置，推出选项即可．本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断，是中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意f(1)=b=−2，则f(x)=alnx−2x，则f′(x)=ax+2x2=ax+2x2，∵当x=1时函数取得最值，可得x=1也是函数的一个极值点，∴f′(1)=a+2=0，即a=−2.∴f′(x)=−2x+2x2，易得函数在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故x=1处，函数取得极大值，也是最大值，则f′(2)=−2×2+222=−12.故选：B.由已知求得b，再由题意可得f′(1)=0求得a，得到函数解析式，求其导函数，即可求得f′(2).本题考查导数的应用，考查导数最值与极值的关系，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】D【解析】解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1=1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，即∠B1DB=∠DB1A=30∘，所以在Rt△BDB1中，BB1=AA1=1，BD=3,B1D=2，在Rt△ADB1中，DB1=2，AD=1,AB1=3，所以AB=2，CB1=2，AC=3，故选项A，C错误，由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，所以∠B1AB为AB与平面。