高考数学第二轮复习 三角函数教学案.doc

2011年高考第二轮专题复习（教学案）：三角函数第1课时 三角函数与三角变换考纲指要：主要考察三角函数的图象与性质，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明等三角变换的基本问题考点扫描：1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；2．函数y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象；3．两角和与差的三角函数，二倍角公式考题先知：例1.不查表求sin220+cos280+cos20cos80的值 分析：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会 解法一 sin220+cos280+sin220cos80= (1－cos40)+ (1+cos160)+ sin20cos80=1－cos40+cos160+sin20cos(60+20)=1－cos40+ (cos120cos40－sin120sin40)+sin20(cos60cos20－sin60sin20)=1－cos40－cos40－sin40+sin40－sin220=1－cos40－(1－cos40)= 解法二 设x=sin220+cos280+sin20cos80y=cos220+sin280－cos20sin80，则x+y=1+1－sin60=，x－y=－cos40+cos160+sin100=－2sin100sin60+sin100=0∴x=y=，即x=sin220+cos280+sin20cos80= 点评：题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高 例2．某市环保部门对该市每天环境污染情况进行调查研究后，得出一天中环境污染指数与时间x（小时）的函数关系为，其中a为与气象有关的参数，且。

若函数的最大值为当天的综合污染指数，并记作1）求函数的表达式； （2）市政府规定，每天的综合污染指数不得超过2，试问该市目前的综合污染指数是否超标？解：（1）设，则原函数可化为，当时，，，由于的图象为线段或折线，故的最大值在端点或折点处取得，又当的图象为折线时，在折点处的t值为，而，所以的最大值为=，而,,由方程组得，从而（2）由（1）知：在上是增函数，故，因此该市目前的综合污染指数没有超标复习智略：例3.设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f(a)，试确定满足f(a)=的a值，并对此时的a值求y的最大值 分析：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等 解 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得 f(a)＝∵f(a)=,∴1－4a=a=［2,+∞或　－－2a－1=，解得a=－1，此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 点评：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力 学生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 检测评估：1 已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根均tanα、tanβ，且α，β∈(－)，则tan的值是( )A B －2 C D 或－22．给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任一个自变量x0，都有函数值f(x0)，则称函数y=f(x)在D上封闭。

若定义域D1=（0，1），则下列函数：f1(x)=2x-1，f2(x)=，f3(x)=2x-1，f4(x)=cosx.；其中在D1上封闭的有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．43 函数y=－xcosx的部分图像是( )4 函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( )A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数C 仅有最大值的偶函数 D 既有最大值又有最小值的偶函数5、函数的最大值为M，最小值为N，则（ ）A、； B、； C、； D、6．函数y=sin（2x+）的图象通过如下变换： 得到y=sinx的图象7 函数f(x)=()｜cosx｜在［－π，π］上的单调减区间为_________ 8 设ω＞0，若函数f(x)=2sinωx在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是_________ 9．已知函数f(x)=2cosxsin(x+)－sin2x+sinxcosx，则函数f(x)的最小正周期是 。

当x = 时，f(x)取得最小值 ；10．已知＜β＜α＜,cos(α－β)=,sin(α+β)=－,求sin2α的值_________ 为锐角，且，函数，数列{an}的首项. ⑴ 求函数的表达式；⑵ 求证：；⑶ 求证：，，已知函数（1）求函数的最值与最小正周期；（2）求使不等式 成立的 的取值范围点拨与全解：1 解析 ∵a＞1，tanα+tanβ=－4a＜0 tanα+tanβ=3a+1＞0,又α、β∈(－,)∴α、β∈(－,θ),则∈(－,0),又tan(α+β)=,整理得2tan2=0 解得tan=－2 答案 B2．解：（1）∵f1()=0(0,1)，∴f(x)在D1上不封闭； ∵f2(x)=-(x+)2+在(0,1)上是减函数，∴0＜f2(1)＜f2(x)＜f2(0)=1， ∴f2(x)(0,1)f2(x)在D1上封闭； ∵f3(x)=2x-1在(0,1)上是增函数，∴0=f3(0)＜f3(x)＜f3(1)=1， ∴f3(x)(0,1)f3(x)在D1上封闭； ∵f4(x)=cosx在(0,1)上是减函数，∴cos1=f4(1)＜f4(x)＜f4(0)=1， ∴f4(x)(cos1,1)(0,1)f4(x)在D1上封闭； 综上所述，选C。

3 解 函数y=－xcosx是奇函数，图像不可能是A和C，又当x∈(0, )时，y＜0 答案 D4 解 f(x)=cos2x+sin(+x)=2cos2x－1+cosx=2［(cosx+］－1 答案 D5．解：，其中是奇函数，所以M+N=2，故选Dsin（2x+）7 解 在［－π,π］上，y=｜cosx｜的单调递增区间是［－,0］及［,π］ 而f(x)依｜cosx｜取值的递增而递减,故［－,0］及［,π］为f(x)的递减区间 8 解 由－≤ωx≤，得f(x)的递增区间为［－,］，由题设得9．解：f(x)=2sinxcosx+cos2x=2sin(2x+)，∴f(x)的最小正周期T=π且当2x+=2kπ－，即x=kπ－ (k∈Z)时，f(x)取得最小值－2 10．解 ∵＜β＜α＜,∴0＜α－β＜ π＜α+β＜,∴∴sin2α=sin［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β)11．解：⑴ 又∵为锐角 ∴ ∴ ⑵ ∵ ∴都大于0 ∴ ∴ ⑶ ∴ ∴ ∵, , 又∵ ∴ ∴ ∴12、解： (1)∴的最大值是,的最小值是, 的最小正周期是 (2) 由解知 又∵ ∴的取值范围是 第2课时 解三角形考纲指要：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

考点扫描：1．直角三角形中各元素间的关系：（1）三边之间的关系；（2）锐角之间的关系；（3）边角之间的关系2．斜三角形中各元素间的关系：（1）三角形内角和；（2）正弦定理；（3）余弦定理；3．三角形的面积公式考题先知：例1在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北30东，俯角为30的B处，到11时10分又测得该船在岛北60西、俯角为60的C处1)求船的航行速度是每小时多少千米；(2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D处，问此时船距岛A有多远？分析： 主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题 解 (1)在Rt△PAB中，∠APB=60 PA=1，∴AB= (千米)在Rt△PAC中，∠APC=30，∴AC= (千米)在△ACB中，∠CAB=30+60=90(2)∠DAC=90－60=30sinDCA=sin(180－∠ACB)=sinACB=sinCDA=sin(∠ACB－30)=sinACBcos30－cosACBsin30 在△ACD中，据正弦定理得，∴答 此时船距岛A为千米 点评： 主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系 例2已知△ABC的三内角A、B、C满足A+C=2B，设x=cos，f(x)=cosB() (1)试求函数f(x)的解析式及其定义域；(2)判断其单调性，并加以证明；(3)求这个函数的值域 分析： 本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f(x)的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式 在求定义域时要注意||的范围 解 (1)∵A+C=2B，∴B=60，A+C=120∵0≤||＜60，∴x=cos∈(，1又4x2－3≠0，∴x≠，∴定义域为(，)∪(，1］ (2)设x1＜x2，∴f(x2)－f(x1)==，若x1，x2∈()，则4x12－3＜0，4x22－3＜0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0即f(x2)＜f(x1)，若x1，x2∈(，1］，则4x12－3＞0 4x22－3＞0，4x1x2+3＞0，x1－x2＜0，∴f(x2)－f(x1)＜0 即f(x2)＜f(x1)，∴f(x)在(,)和(，1上都是减函数 (3)由(2)知，f(x)＜f()=－或f(x)≥f(1)=2 故f(x)的值域为(－∞，－)∪［2，+∞ 点评：学生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题 复习智略：例3．已知△ABC中满足()2＝＋＋，a、b、c分别是△ABC的三边．（Ⅰ）试判断△ABC的。