张丘建算经-高文秀.doc

 张丘建算经 卷上        本资料是根据文渊阁本四库全书第七百九十七册录入的；在抄录时，由于原书中刘孝孙撰写的细草是用筹算解释其解法的，所以只选其中的一部分抄入一)以九乘二十一五分之三，问得几何答曰：一百九十四五分之二草曰：置二十一以分母五乘之内子三得一百八，然以九乘之得九百七十二，却以分母五而一，得合所问注】原文没有标点，全文之标点是注释者加上去的置二十一以分母五乘之内子三得一百八”的意思是：21×5＋3若按照书中的解法是：(21×5＋3)×9÷5 (二)以二十一、七分之三乘三十七九分之五，问得几何答曰：八百四、十二分之十六草曰：置二十一以分母七乘之内子三得一百五十，又置三十七以分母九乘之内子五得三百三十八，二位相乘得五万七百为实，以二分母七九相乘，得六十三而一，得八百四余六十三分之四十八，各以三约之，得二十一分之一十六，合前问注】若按照书中的解法是：(21×7＋3)＝150，(37×9＋5)＝338，二数相乘150×338＝50700为被除数，以二分母7×9＝63为除数，得三)以三十七三分之二乘四十九五分之三、七分之四，问得几何答曰：一千八百八十九、一百五分之八十三草曰：置三十七以分母三乘之内子二得一百一十三。

又置四十九于下别置五分于下右之三在左又于五分之下别置七分三分之下置四维乘之以右上五乘下左四得二十以右下七乘左上三得二十一并之得四十一以分母相乘得三十五以三十五除四十一得一余六以一加上四十九得五十又以分母三十五乘之内子六得一千七百五十六以乘上位一百一十三得一十九万八千四百二十八为实又以分母三母相乘，得一百五为法除实得一千八百八十九余一百五分之八十三臣淳风等谨按：以前三条虽有设问而无成术可憑，宜云：分母乘全内子令相乘为实，分母相乘为法若两有分母，各乘其全内子，令相乘为实，分母相乘为法，实如法而得一 (四)以十二除二百五十六九分之八，问得几何答曰：二十一、二十七分之十一草曰：置二百五十六以分母九乘之内子八得二千三百一十二为实又置除数十二以九乘之得一百八为法除实得二十一法与实俱半之，得二十七分之十一 (五)以二十七五分之三除一千七百六十八七分之四，问得几何答曰：六十四、四百八十三分之三十八草曰：置一千七百六十八以分母七乘之内子四得一万二千三百八十又以除分母五乘之得六万一千九百为实又置除数二十七以分母五乘之内子三得一百三十八又以分母七乘之得九百六十六为法除之得六十四法与实各折半得四百八十三分之三十八。

得合所问 (六)以五十八二分之一除六千五百八十七三分之二四分之三，问得几何答曰：一百一十二七百二分之四百三十七草曰：置六千五百八十七于上又别置三分于下右之二于左又置四分于三下之三于左维乘之分母得十二子得一十七以分母除子得一余五加一上位，得六千五百八十八以分母十二乘之内子五得七万九千六十一又以除数分母二因之，得一十五万八千一百二十二又置除数五十八于下，以二因之内子一，得一百一十七又以乘数分母十二乘之，得一千四百四为法以除实，得一百一十二法与余俱半之，得七百二分之四百三十七臣淳风等谨按：此术以前三条亦有问无术，宜云：置所有之数通分内子为实置所除之数以三分乘之为法，实如法得一若法实俱有分及重有分者同而通之 (七)今有官猎得鹿赐围兵初围三人中赐鹿五头次围五人中赐鹿七头次围七人中赐鹿九头并三围赐鹿一十五万二千三百三十三头少半头问围兵几何答曰：三万五千人术曰：以三赐人数互乘三赐鹿数并以为法，三赐人数相乘并赐鹿数为实，实如法而得一注】古代围猎曾是训练军队的重要手段此题的意思是：由官方组织的围猎，将所得之鹿赐给围兵最里面的一围，每三人赐给鹿五头；中间的一围，每五人赐给鹿七头；最外面的一围，每七人赐给鹿九头。

这三围的人数相等，共赐给围兵之鹿为152333 头；求每一围的围兵数 (八)今有猎围，周四百五十二里一百八十步布围兵十步一人今欲缩，令通身得地四尺问围内缩几何答曰：三十里五十二步术曰：置围里步数一退以四因之为尺以步法除之即得缩数注】猎围：打猎时形成的包围圈北周文学家庾信(513—581)《和宇文内史春日游山》：“戍楼侵岭路，山村落猎围”通身”是指人的身高为古代的6尺，1尺约为30厘米得地四尺”是指人坐在地上为四尺通身得地四尺”意思是六分之四尺此题的意思是：围猎的士兵形成的包围圈长度是452里180步，每隔十步有士兵一人现在要缩小包围圈，变为每隔六分之四尺有士兵一人问包围圈的长度缩成多少按照里步法，1里＝300步；按照步尺法1步＝6尺452里180步＝135780步，以四因之就是乘以4解 135780÷10×4÷6＝9052(步)＝30里52步九)今有围兵二万三千四百人以布围周，各相去五步今围内缩除一十九里一百五十步而止问兵相去几何答曰：四步四分之三术曰：置人数以五乘之，又以十九里一百五十步减之余，以人数除之，不尽平约之注】“相去”就是相距，这里是士兵的间隔题目的意思是：围猎的士兵有23400人，原来士兵的间隔为5步。

现在要把包围圈缩减19里150步，求缩围之后士兵的间隔解包围圈原来为5×23400步＝117000步，19里150步＝(300×19＋150)步＝5850步117000－5850＝111500步，111500÷23400＝4 (步)十)今有封山周栈三百二十五里，甲乙丙三人同绕周栈行甲日行一百五十里，乙日行一百二十里，丙日行九十里问周行几何日会答曰：十日六分日之五术曰：置甲乙丙行里数求等数为法，以周栈里数为实，实如法而得一草曰：置甲乙丙行里数甲行一百五十，乙行一百二十，丙行九十各求等数得六余得五，各以三十约之甲乙丙行数，乃甲得五周，乙得四周，丙得三周，合前问注】此题的意思是：在绕山一周325里的栈道上，甲、乙、丙三人同时同地同向出发，绕山而行三人的速度分别为：甲日行150里，乙日行120里，丙日行90里问三人经过几日才能相会？“等数”即最大公约数按照给出的解法150里，120里，90里的最大公约数是30，325÷30等于十又六分之五 (日) (十一)今有内营周七百二十步，中营周九百六十步，外营周步一千二百步甲乙丙三人值夜，甲行内营，乙行中营，丙行外营；俱发南门甲行九，乙行七，丙行五问各行几何周俱到南门。

答曰：甲行十二周，乙行七周，丙行四周术曰：以内中外周步数互乘甲乙丙行率，求等数约之各得行周注】此题的意思如图所示，有内中外三层营防，内营周长为720步，中营周长为960步，外营周长为周步1200步甲乙丙三人值夜，甲乙丙各自从南门按照同一方向出发，沿着各自的防线巡逻甲、乙、丙三人速度之比为3:4:5问各行几周才能同时到达南门按：此下今有津、今有葭、今有木、今有城四问，俱各有形式高下进退、俯仰、线法、视法，毫不可紊非依问绘图无以阐其立意之妙将转疑其字句舛讹(错乱)谨准测量法義，为补四图，各冠原问之右，庶图问参观，不至失其本义云说明】题中的附图，是参照原书之图重新绘制的十二)今有津不知其广，东岸高一丈，坐岸东去岸五十步，遥望岸上及津西畔，适与人目参合人目去地二尺四寸问广几何答曰：二百八步三分之一术曰：以岸高乘人去岸为实，以人目去地为法，实如法而一注】此题的意思如图所示，有一条河的渡口AB＝x，东岸D处高DB＝1丈，有人从D处东去50步至C点，R是此人眼睛的位置，此人遥望D点及河的西畔A，恰好使R、D、A三点在一条直线上此人的眼睛到地面的距离是2尺4寸求此渡口的宽由△ABD∽△DCR得：x:DC＝DB:RC，∵DC＝6×5尺，∴x:6×5＝10:2.4，x＝3000÷2.4＝1250尺。

即208 步十三)今有葭生于池中，出水三尺；去岸一丈，引葭趋岸，不及一尺问葭长及水深各几何？答曰：葭长一丈五尺，水深一丈二尺术曰：置葭去岸尺数以不及尺数减之余自相乘；以出水尺数而一所得，加出水，而半之，得葭长；减出水尺数即得水深注】“葭”即芦苇此题的意思如图所示，有芦苇生长在池塘的中央，露出水面的部分HB＝3尺；芦苇和池岸的水平距离HD＝10尺；将芦苇拉向池岸至AC，CD＝1尺；求葭长x及水深 (十四)今有木不知远近高下立一表高七尺，人去表九步，立望表头，适与木端邪平；人目去地七尺二寸；又去表三十步，薄地遥望表头，亦与木端邪平问木去表及高几何？答曰：去表三百一十五步；木高八丈五步术曰：以表高乘人立去表为实，以表高减人目去地为法而一得木去表注】“邪”即斜邪平”即在同一直线上目去地七尺二寸” 即眼睛离地面的距离7尺2寸由此推算此人高约8尺；当时的1尺是23.1厘米，人高七尺多是正常现象此题的意思如图所示，有人为测量木杆AB的高，在C处立一根标杆CF＝7尺此人站在和标杆的距离CD＝9步的D处，他的眼睛离地面的距离RD＝7尺2寸，此时R、F、B三点在同一直线上；然后他又后退30步，躺在地面上，E是他的眼睛的位置，CE＝30步，此时E、F、A三点也在同一直线上。

求木去表的距离BC及木高AB (十五)今有城，不知大小，去人远近于城西北隅而立四表，相去各六丈令左两表与城西北隅南北望，参相直从右后表望城西北隅入右前表一尺二寸；又望西南隅亦入右前表四寸；又望东北隅亦入左后表二丈四尺问城去左后表及大小各几何答曰：城去左后表一里二百步；东西四里四十步；南北三里一百步术曰：置表相去自乘，以望城西北隅入数而一，得城去表又以望城西南隅入数而一，所得减城去表，余为城之南北以望城东北隅入左后表数减城去表，余以乘表相去，又以入左后表数而一，即得城之东西注】此题的意思是：有一座城ABCD在它的西北角立四根标杆E、F、G、H，这四根标杆形构成边长为6丈的正方形，左边两根标杆与城西北角南北方向形成一条直线DF从右后标杆G望城的西北角A，入右前表HN＝12寸；又望西南角D入右前标杆HM＝4四寸；又望东北角B入左后标杆FK＝24尺求城离左后表多远，以及城的长和宽十六)今有甲日行疾于乙日行二十五里，而甲发洛阳七日至邺；乙发邺九日至洛阳问邺洛阳相去几何答曰：七百八十七里半术曰：以甲乙所至日数相乘，又以甲日行疾里数乘之为实，以甲至日减乙至日数余为法，实如法而一注】邺城在今安阳市是六朝古都。

此题的意思是：已知甲每日行的里数比乙多25里，而甲自洛阳出发7日至邺城；乙自邺城出发9日至洛阳问邺城至洛阳多远　　书中给出的解法是：邺城至洛阳的距离为(7×9×25)÷(9－2)＝787.5 (里)十七)今有官，出库金五十九斤一两，赐王九人、公十二人、侯十五人、子十八人、男二十一人；王得金各多公五两，公得金各多侯四两，侯得金各多子三两，子得金各多男二两问王公侯子男各得金几何答曰：王一斤六两，公一斤一两，侯十三两，子十两，男八两术曰：置王公侯子男数，王位十四之，公位九之，侯位五之，子位二之，并之以减出金两数，余以凡人数而一，所得各以本差之数加之，得王公侯子男各所得金之数，不加即男之得金注】按照解题术，王的人数9乘以14，公的人数12乘以9，侯的人数15乘以5，子的人数18乘以2，相加得9×14＋12×9＋15×5＋18×2＝126＋108＋75＋36＝345；出金两数为16×59＋1＝945，相减945－345＝600为被除数；王公侯子男人数之和75为除数，相除等于8，所得各以本差之数加之，就是说王得8＋14＝22(两)，即一斤六两，公得8＋9＝17(两)，即一斤一两，侯得8＋5＝。