19排列组合和概率典型例题.doc

资料来源： 　第一节：分类计数原理与分步计数原理 　第二节：排列 　第三节：组合 　第四节：二项式定理 　第五节：随机事件的概率 　第六节：互斥事件有一个发生的概率 　第七节：相互独立事件同时发生的概率　第一节：分类计数原理与分步计数原理 例1 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ 　　分析与解：分析个位数字，可分以下几类．　　个位是9，则十位可以是1，2，3…，8中的一个，故有8个；　　个位是8，则十位可以是1，2，3…，7中的一个，故有7个；　　与上同样：　　个位是7的有6个；　　个位是6的有5个；　　……　　个位是2的只有1个．　　由分类计数原理知，满足条件的两位数有（个）．　　说明：本题是用分类计数原理解答的，结合本题可加深对“做一件事，完成之可以有n类办法”的理解，所谓“做一件事，完成它可以有n类办法”，这里是指对完成这件事情的所有办法的一个分类．分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类计数原理． 　　例2 在由电键组A与B所组成的并联电路中，如图，要接通电源，使电灯发光的方法有多少种？　　解：因为只要合上图中的任一电键，电灯即发光，由于在电键组A中有2个电键，电键组B中有3个电键，应用分类计数原理，所以共有：2+3=5种接通电源使灯发亮的方法。

　　例3 二年级一班有学生56人，其中男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．　　分析与解：男生38人，女生18人，　　由分步计数原理共有 （种）　　答：选取代表的方法有684种．　　说明：本题是用分步计数原理解答的，结合本题可以加深对“做一件事，完成之需要分成n个步骤”的理解，所谓“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，分析时，首先要根据问题的特点，确定一个分步的可行标准；其次，分步时还要注意满足完成这件事情必须并且只需连续完成这对 个步骤后，这件事情才算圆满完成，这时，才能使用来法原理．　　例4 在电键组A、B组成的串联电路中，如图，要接通电源使灯发光的方法有几种？　　解：只要在合上A组中两个电键之后，再合上B组中3个电键中的任意一个，才能使电灯的电源接通，电灯才能发光，根据分步计数原理共有：　　2×3=6种不同的方法接通电源，使电灯发光　　例5 有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，有多少种不同取法？　　分析：任取两本不同类的书，有三类：一、取数学、语文各一本；二、取语文、英语各一本；三、取数学、英语各一本．然后求出每类取法，利用分类计数原理即可得解．　　解：取出两本书中，一本数学一本语文有 种不同取法，一本语文一本英语有 种不同取法，一本数学，一本英语有 种不同取法．　　由分类计数原理知：共有 种不同取法．　　说明：本例是一个综合应用分步计数原理和分类计数原理的题目，在处理这类问题时，一定要搞清哪里是分类，哪里是分步，以确定利用加法或分步计数原理．　　例6（1993年全国高考题）同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（  ）　　A．6种           B．9种           C．11种             D．23种　　分析：本题完成的具体事情是四个人，每人抽取一张贺卡，问题是按照一定要求，抽取结果有多少种不同情况．我们可以把抽卡片的过程分成四步，先是第一人抽，然后第二人，以此类推，但存在的问题是，我们把四个人记为 、 、 、 ，他们的卡片依次记为 、 、 、 ，如果第一步 抽取 ，接着 可抽 、 、 ，有三种方法，而 抽 或 ， 仅有两种抽法，这样两步之间产生影响，这样必须就 抽的结果进行分类．　　解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法．同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式．由分类计数原理，四张贺年卡共有3＋3＋3=9种分配方式．　　解法2：让四人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡．如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法．接下来，剩下的两个人都各只有一种取法．由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有 种．　　∴ 应选B．　　注意：（1）本题从不同的角度去思考，从而得到不同的解答方法，解法1是用分类计数原理解答的，解法2是用分步计数原理解答的．在此有必要再进一步对两个原理加以理解：　　如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．　　如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．　　（2）分类计数原理、来法原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．　　（3）如果把四个人依次抽取的结果用一个图表体现出来，就显得更加清楚．　　共有9种不同结果．　　这个图表我们称之为“树形图”，在解决此类问题往往很有效，通过它可以把各种不同结果直观地表现出来．　第二节：排列 例1 用0到9这个个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 　　分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下：　　如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二．　　如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三．　　如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四．　　解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有 个；　　当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有 （个）．　　∴ 没有重复数字的四位偶数有个．　　解法2：当个位数上排“0”时，同解一有 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得： 个　　∴  没有重复数字的四位偶数有个．　　解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有个　　干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有个　　∴ 没有重复数字的四位偶数有个．　　解法4：将没有重复数字的四位数字划分为两类：四位奇数和四位偶数．　　没有重复数字的四位数有 个．　　其中四位奇数有 个　　∴ 没有重复数字的四位偶数有个　　说明；这是典型的简单具有限制条件的排列问题，上述四种解法是基本、常见的解法、要认真体会每种解法的实质，掌握其解答方法，以期灵活运用．　　例2 三个女生和五个男生排成一排　　（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？　　（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？　　（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？　　（4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？　　解：（1）（捆绑法）因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合一起共有六个元素，然成一排有 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有 对种不同的排法，因此共有 种不同的排法．　　（2）（插空法）要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空档．这样共有4个空档，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有 种方法，因此共有 种不同的排法．　　（3）解法1：（位置分析法）因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余六位都有 种排法，所以共有 种不同的排法．　　解法2：（间接法）3个女生和5个男生排成一排共有 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的 种排法和女生排在末位的 种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次，所以还需加一次回来，由于两端都是女生有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法．　　解法3：（元素分析法）从中间6个位置中挑选出3个来让3个女生排入，有 种不同的排法，对于其中的任意一种排活，其余5个位置又都有 种不同的排法，所以共有 种不同的排法，　　（4）解法1：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，则未位就不再受条件限制了，这样可有 种不同的排法；如果首位排女生，有 种排法，这时末位就只能排男生，有 种排法，首末两端任意排定一种情况后，其余6位都有 种不同的排法，这样可有 种不同排法．因此共有 种不同的排法．　　解法2：3个女生和5个男生排成一排有 种排法，从中扣去两端都是女生排法 种，就能得到两端不都是女生的排法种数．　　因此共有 种不同的排法．　　说明：解决排列、组合（下面将学到，由于规律相同，顺便提及，以下遇到也同样处理）应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法．　　若以位置为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其它位置，有两个以上约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件．　　若以元素为主，需先满足特殊元素要求再处理其它的元素．　　间接法有的也称做排除法或排异法，有时用这种方法解决问题来得简单、明快．　　捆绑法、插入法对于有的问题确是适用的好方法，要认真搞清在什么条件下使用．　　例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。

　　（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？　　（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？　　解：（1）先排歌唱节目有 种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有 中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有： ＝43200.　　（2）先排舞蹈节目有 中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有： ＝2880种方法　　说明：对于“间隔”排列问题，我们往往先排个数较少的元素，再让其余元素插空排列否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排时，往往个数较多的元素有相邻情况如本题（2）中，若先排歌唱节目有 ，再排舞蹈节目有 ，这样排完之后，其中含有歌唱节目相邻的情况，不符合间隔排列的要求　　例4 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课。