北师大版数学必修四：平面向量的基本定理导学案含解析.doc

第4课时　平面向量的基本定理1.掌握平面向量的基本定理及其意义,理解基底的含义,会运用基底表示任意向量.2.能应用平面向量基本定理解决一些几何问题.3.通过对平面向量基本定理的运用,增强学生向量的应用意识,让学生进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一.北京时间2007年10月24日18时05分左右,嫦娥一号探测器从西昌卫星发射中心由长征三号甲运载火箭成功发射.卫星发射后,将有8天至9天时间完成调相轨道段、地月转移轨道段和环月轨道段飞行.经过8次变轨后,于11月7日正式进入工作轨道.11月18日卫星转为对月定向姿态,11月20日开始传回探测数据.假设火箭在飞行过程沿仰角为α的方向起飞时的速度大小为v,在某一时刻速度可以分解成竖直向上和水平方向的两个速度.问题1:向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个　　　　　,使　　　　　　. 问题2:如图,已知向量e1、e2是平面内的两个不共线的向量,a是平面内任一向量,在平面内任取一点O,作=e1,=e2,=a,过点C分别作平行于OB,OA的直线,交直线OA于点M,交直线OB于点N,则　　　　　实数λ1,λ2,使得=λ1e1,=λ2e2.因为=+,所以a=　　　　　　　　　. 问题3:平面向量的基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对于这一平面内的任一向量a,存在　　　一对实数λ1,λ2,使得a=λ1e1+λ2e2. 问题4:平面向量的基底(1)只有不共线的两个向量e1,e2才能当基底,在同一个向量平面内的基底　　　　,有无穷多组,即可选择不同的基底来表示这个向量在平面内的同一向量. (2)选定基底后,这个平面内的任何向量都可以用这组基底来表示,并且a=λ1e1+λ2e2中的实数对(λ1,λ2)是　　　　确定的. (3)若向量e1,e2不共线,且a=λ1e1+λ2e2,b=λ1'e1+λ2'e2,如果a=b,那么(4)e1,e2是一组基底,若λ1e1+λ2e2=0,则　　　　=　　　　=　　　. 1.设e1,e2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是(　　).A.e1+e2和e1-e2　　　 B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+2e2和e2+2e1 D.e2和e1+e22.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于(　　).A.-+B.--C.-D.+3.如图,已知M、N分别是矩形ABCD的边BC、CD的三等分点,MN与AC相交于点G,若=a,=b,则=　　　　. 4.如图,▱ABCD的两条对角线交于点M,且=a,=b,用a,b表示,,和.平面向量的几何表示如图,设BO是△ABC中AC边上的中线,=a,=b,试用a、b表示、.向量共线的性质定理的应用已知△OAB,若=x+y,且点P在直线AB上,则x,y应满足什么条件?平面向量基本定理的综合应用已知A、B、C三点共线,且=,用表示.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,设=a,=b,试以a、b为基底表示、、.如图,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,求实数m的值.已知向量a=-e1+3e2+2e3,b=4e1-6e2+2e3,c=-3e1+12e2+11e3,问:a能否表示成a=λb+μc的形式?若能,写出表达式;若不能,说明理由.1.已知a、b不共线,=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,下列说法错误的是(　　).A.、可以作为一组基底 B.、可以作为一组基底C.、可以作为一组基底 D.、可以作为一组基底2.设O为▱ABCD的对称中心,=4e1,=6e2,则2e1-3e2等于(　　).A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.3.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=　　　　a+　　　　b. 4.如图,已知=3a,=3b,若C,D是AB的三等分点,求,.(2010年·全国Ⅱ卷)△ABC中,点D在AB上,CD平分∠ACB.若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则等于(　　).A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b　　考题变式(我来改编):  答案第4课时　平面向量的基本定理知识体系梳理问题1:非零实数λ　b=λa问题2:有且只有一对　λ1e1+λ2e2问题3:不共线　唯一问题4:(1)不唯一　(2)唯一　(3)λ1'　λ2'　(4)λ1　λ2　0基础学习交流1.B　在B中,3e1-2e2=-(4e2-6e1),则3e1-2e2与4e2-6e1共线,故不能作为基底.2.A　=+=-+.3.(a+b)　连接BD交AC交于点O,∵M、N分别是边BC、CD的三等分点,∴MN∥BD,且=,∴==,可知=,又=+=a+b,∴=(a+b).4.解:在▱ABCD中,=+=a+b,=-=a-b,所以=-=-(a+b)=-a-b,==(a-b)=a-b,==a+b,=-=-=-a+b.重点难点探究探究一:【解析】(法一)由=-=b-a.如图,作▱ABCD,则=+=a+b.∵点O是AC的中点,∴与共线,且||=||,∴==(a+b).(法二)如图,=-=b-a.∵BO是△ABC边AC上的中线,∴=,又=+=2,∴==(b-a).=+=a+(b-a)=a+b-a=(a+b).【小结】在用基底向量表示其他向量时,要充分利用图形中的三角形,找到所求向量与基底向量的关系,共线向量可根据方向及模的比值来确定实数λ.　　探究二:【解析】由=x+y,且点P在直线AB上,知存在实数λ使得=λ=λ(-),而=-,故=(1-λ)+λ.在△OAB中,,不共线,所以x=1-λ,y=λ,故有x+y=(1-λ)+λ=1.【小结】如果A,B,C三点共线,点O在直线外,则有=λ+μ,其中λ+μ=1.反之也成立,这一结论应记住并灵活运用.　　探究三:【解析】由已知A、B、C三点共线,且=,∴==,∴AB=BC,∴=.[问题]B、C两点一定在点A的同侧吗?[结论]B、C两点不一定在点A的同侧,还可能在点A的异侧.于是,正确解答如下:(1)当B、C两点在点A的同侧时,如图,有==,∴AB=BC,又∵与同向,∴=.(2)当B、C两点在点A的异侧时,如图,有==,∴AB=BC,又∵与反向,∴=-.综上所述,当B、C两点在点A的同侧时,=;当B、C两点在点A的异侧时,=-.思维拓展应用应用一:连接DN,∵DC∥AB,AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,∴DC=NB,∴四边形DCBN为平行四边形,∴===b,==-=a-b,=-=--=-(a-b)-×b=b-a.　　应用二:由图可知=m+μ=m+,所以=,所以μ=.又B,P,N三点共线,所以m+μ=m+=1,即m=.　　应用三:假设a=λb+μc,将a、b、c代入a=λb+μc中得,-e1+3e2+2e3=(4λ-3μ)e1-(6λ-12μ)e2+(2λ+11μ)e3,则解得即能,且a=-b+c.基础智能检测1.A　∵=+=-2a+8b+(3a-3b)=a+5b=,∴、不可以作为一组基底.2.B　2e1-3e2=(4e1-6e2)=(-)=(-)==.3.　-　由题意得,设e1+e2=ma+nb.又∵a=e1+2e2,b=-e1+e2,∴e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)=(m-n)e1+(2m+n)e2.由平面向量基本定理得, 所以4.解:∵C,D是AB的三等分点,∴====(-)=(3b-3a)=b-a.∴=+=3a+b-a=2a+b;=+=3a+2=3a+2b-2a=a+2b.全新视角拓展B　因为CD平分∠ACB,由角平分线定理得,==,所以D为AB的三等分点,且==(-),所以=+=+=a+b,故选B.思维导图构建不共线　唯一的　a=λ1e1+λ2e2。