概率论与数理统计第二章习题及答案.docx
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概率论与数理统计习题第二章随机变量及其分布5.在袋中同时取3只，以X表示取习题2-1一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,出的3只球中的最大号码，写出X随机变量的分布律.解：X可以取值3,4,5,分布律为P(X3)1C2P(一球为3号,两球为1,2号)一C3110P(X4)P(一球为4号，再在1,2,3中任取两球)P(X5)PL球为5号,再在1,2,3,4中任取两球)1C32C31C2C3310610也可列为下表X:3,4,5c136P:—,—,—101010习题2-2进行重复独立试验，设每次试验成功的概率为p,失败的概率为1p(0p1).(1)将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律.(此时称X服从以p为参数的几何分布.)(2)将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y的分布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布.)(3) 一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.解：(1)P(X=k)=qk1pk=1,2,……(2) Y=r+n={最后一次实验前r+n—1次有n次失败，且最后一次成功}P(Yrn)Cnn1qnpr1pCnn/pr,n0,1,2,，其中q=1—p,或记r+n=k，则P{Y=k}=C；1pr(1p)kr,kr,r1,(3) P(X=k)=(0.55)k10.45k=1,2•••2k111P(X取偶数尸P(X2k)(0.55)0.4511k1k131习题2-3一房间有同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各窗子是随机的1)以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律2)户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次以Y的分布律P {X=n}= P {前n-1次飞向了另= (|)n1 I* E(2) Y的可能取值为1, 2, 32扇窗子，第n次飞了出去}2,P {Y=1}=P {第1次飞了出去}=3Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求解：(1)X的可能取值为1,2,3,…，n,…P{Y=2}=P{第1次飞向另2扇窗子中的一扇，第2次飞了出去=_2 2"3 2P {Y=3}=P {第 12! 1=— —3! 3132次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去}习题2-4设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时，指示灯发出信号.(1)进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；(2)进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率.解《以X表示在5次试舱中事件A发生的次数,则X〜夙5,0.3).指示；灯发出信号这一事件可表为故所求的概率为55>3>=(Jo.TU+(J。
3Y1=0.163.(2)以丫记在7次试验中事件A发生的次数.则Y〜*7*0.3).故指示灯发出信号的概率为P{Y》3)=1—=0)—尸比=1}-P{y=2)77=1-(1-0.3»—(J]】-0.3)*0,3-(2)(1-63y0.3?=0.353.习题2-5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7.今各投3次.求(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投中次数多的概率.记X表甲三次投篮中投中的次数Y表乙三次投篮中投中的次数由于甲、乙每次投篮独立，且彼此投篮也独立P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)=(0.4)3x(0.3)3+[C30.6(0.4)2][C30.7(0.3)2][C1(0.6)20.4][Cf(0.7)2.3](0.6)3_3一一一(0.7)30.321(2)甲比乙投中次数多的概率P(X>Y)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)+P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)=[C；0.6(0.4)2](0.3)3[C2(0.6)20.4](0.3)8[C:(0.6)20.4][C30.7(0.3)2](0.6)3(0.3)3(0.6)3[C30.7(0.3)2](0.6)3[C；(0.7)20.3]0.243习题2-6有甲、乙两种味道和颜色都极为相似的名酒各4杯.如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次.(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒.他连续试验10次，成功3次.试推断他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)^解：(1)P(一次成功)=4—C8470(2) P(连续试验10次，成功3次尸C130(—)3(-69)7」一。
此概率太小，按实际707010000推断原理，就认为他确有区分能力习题2-7一交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布，求：(1)某一分钟恰有8次呼唤的概率；(2)某一分钟的呼唤次数大于3的次数1)每分钟恰有8次呼唤的概率.48法一：P(X8)4re40.029770(直接计算)8!法二：P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查入=4泊松分布表)0.051134—0.021363=0.029771(2)每分钟的呼唤次数大于10的概率P(X>10)=P(X>11)=0.002840(查表计算)习题2-8以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达等待的时间(以分1e0.4x,x0,计)，X的分布函数是FX(x),,求下述概率：(1)P至多3分钟；(2)0,x0.P至少4分钟；(3) P3分钟至4分钟之间；(4)P至多3分钟或至少4分钟；(5)P恰好2.5分钟解：(1)(2)P｛至多 3 分钟｝= P ｛XW3｝ =Fx(3) 1 e 1.2P ｛至少 4 分钟｝ P (X >4) = 1 Fx(4) e 1.6(3)P｛3 分钟至 4 分钟之间｝= P ｛3< X< 4｝= Fx(4) Fx(3) e 1.2 e 1.6(4)P｛至多3分钟或至少4分钟｝= P｛至多3分钟｝+ P｛至少4分钟｝1.2 1.6=1 e e(5)P｛恰好 2.5 分钟｝= P (X=2.5)=0习题2-9 某种型号的电子管的寿命 X (以小时计)具有以下的概率密度1000f(x) x20,x 1000,其它现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立) 大于1500小时的概率是多少？,任取5只，问其中至少有2只寿命解：一个电子管寿命大于 1500小时的概率为P(X 1500) 1P(X 1500)1500 1 0001000 x2dx 11000( -1) 1500100022(12)-33令Y表示“任取 5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”2、B(5,-) ，3P(Y 2) 1P(Y2)1 P(Y 0) P(Y1)1(1)5 C52 1(3) (3)1 53511 2321 -243 243习题2-10设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X (以分计)服从指数分布，其概x 0,其它15xe5率密度为fx(x)50,某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示-个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求PY1.解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为xxP(X10)10fx(x)dx510e5dxe，°e2因此Y〜B(5,e2).即P(Yk)5e2k(1e2)5k,(k1,2,3,4,5kP(Y1)1P(Y1)1P(Y0)1(1e2)51(1y^)51(10.1353363)510.8677510.48330.5167.P 4 X 10习题2-11设X〜N(3,22)，求(1)P2X5PX3;⑵确定c,使得PXcPXc；(3)设d满足PXd0.9,问d至多为多少？解：•••若X〜N(科，b2),则P(“aw3汽J—())+―E(T(T5323P(2
9-ML282).因分布函数以工)是一个不减函数，故有因此,《3+2X〔一1.282)=6436.习题2-12某地区18岁的女青年的血压(收缩压，以mmHg计)服从N(110,122).在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X.(1)求PX105,P100X120;(2)确定最小的x,使PXx0.05.1)P(X<105)P(100
