圆锥体积V锥等于三分之一圆柱体积的几何论证.doc

圆锥体积 V 锥 = πr²h 等于 圆柱体积的几何论证43 13广东省工业技术研究院（广州有色金属研究院） 510651 邵百成现在的中学生只知道圆锥体积等于同底同高的圆柱体积的 ，除了用容积法13和微积分法来测量证明以外，不知道用几何法可以证明，这是除了网上的用水容积法和微积分法外的第三种证明方法，这种方法更直白易懂，这个题目是个初等数学问题，中学课程中学了几何，所以也应该知道它也是几何学中的知识问题，可以用几何关系证明可是，网上也只有容积法和微积分法，并无几何法本文用几何法推导圆锥体积 V 锥 = πr²h 等于 圆柱体积的几何论证43 131 圆锥体积公式的几何推导图 1 是圆锥体纵向剖面图，是一个等腰三角形 ABO，与圆柱体是同底同高△ABO 被圆柱体的中心轴线 OO1 分割成对称相等的两部分△ AOO1和△BOO 1当△AOO 1绕 OO1旋转一周就形成圆锥体 ABO依据理论力学的一个定理，以本例来说，一个封闭的几何图形如△AOO 1绕着不与此图相交的轴 OO1旋转 360 度后就形成了一个圆锥体 ABO其体积等于△AOO 1的面积乘上△AOO 1之重心 F 至 OO1 轴的垂直距离 FG 为半径所走过的圆周之长度。

1）求△AOO 1之重心（形心）F：取 AO1边长之中点 E，连接 OE，同理连接 O1D 及 AC 线，三根中线的交点 F即为△AOO 1之重心由于中线交点 F 将每一中线分成 2：1 之比例又△OFG∽△OEO1，故有 = 所以 FG= ，由于 FG=rX，O 1E= r，即得交点 F 到 OO1轴的FGOF O1EOE O1E•OFOE垂直距离 rX = .2r3（2）求△AOO 1的面积 S1：S1= •h = •h = r•hR2 2r2（3）重心 F 绕 OO1旋转一周所走过的圆周长度为 L，则 L=2rX•π.（4）求 ABO 圆锥的体积 V 锥 （按理论力学之定理）：V 锥 =S1•2r X • π , 因为 r X= r ,所以23V 锥 =r•h • π•2• r= • r² (1)23 4πh32 证明圆锥体 ABO 与同底同高的圆柱体 ABNJ 之体积比值为 1：3图 2 圆柱体的纵向剖面（1）求环形锥体 AOBNJ 的体积 V 环锥 （圆柱体去除 ABO 圆锥体后的剩余部分） 取 OO1轴左边直角三角形△AOJ，做各边中点连线，得 K 点为重心（形心，几何中心） ，设△AOJ 面积为 S2：S2= =r•h2r•h2则环形锥体体积 V 环锥 等于：V 环锥 = S2•2PK•π= S 2•2ry•π=r•••h•2r y•π=2r y •π•h•r由于△AJI∽△AMK（因为 AK=2，AI=3 为中线比） ，所以 = =MKIJ AKAI 23（由于 IJ=OI=r） ，故 MK= = 2IJ3 2•r3因为 ry =2r-MK=2r- = ,故可求得2r34r3V 环锥 == • 2• r•π= r². (2)2r•h2 43 8π h3（2）环形锥体与正圆锥体之体积比：= = V锥V环 锥 12(3)圆柱体积 V 柱V 柱 = V 锥 + V 环锥 = 1 + 2 = 3(4)圆锥体为圆柱体积的三分之一即得到证明： = V锥V柱 133 用公式（1）验证圆锥体体积为同底同高圆柱体体积的三分之一由于 R=2r，将其代入式（1）中也可得到圆锥体积另一表达式（用 R 取代r 的表达式）V 锥 = • r² = •( )² = .4πh3 4πh3 R2 π R²h3因为圆柱体体积 V 柱 = πR²•h所以 V 锥 = πr²h = πR²•h43 13因此，V 锥 = V 柱 也得到证明。

134 按照本文的论证可以得出如下的推论任何两个封闭的几何平面图形的形状不同而面积相等，绕着不与该两个图形相交叉的共同旋转轴旋转一周后形成的两个体积之比值等于两个平面图形之各自的重心到共同旋转轴的垂直距离之比作者简介： 邵百成，男，1935 年生，教授高工全国机械协会旋压学会委员，1993 年获国家政府津贴，获国家发明四等奖，多项专利、省部级科技进步奖。