材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算).pdf

1 §§9-1 挠曲线挠曲线 挠度和转角挠度和转角 §§9-2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 §§9-3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 §§9-4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 §§9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计 §§9-6 用变形比较法解简单超静定梁用变形比较法解简单超静定梁 2 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程） 3 §§9 9- -1 1 挠曲线挠曲线 挠度和转角挠度和转角 一、挠曲线：一、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线 其方程为： ω= =ω（（x) ) P x ω(x) C θ(x) C1 ω 1.1.挠度挠度：：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移用ω 表示 2.2.转角转角：：横截面绕其中性轴转动的角度用 表示，顺时针转动为正，反之为负 梁变形用两个量来描述梁变形用两个量来描述 4 A A B B a a b b M M A B B A a a b b d  M M 变形后变形后 5 二、转角与挠曲线的关系：二、转角与挠曲线的关系： (1) ddtgx小变形小变形 P x ω(x) C θ(x) C1 ω θ(x) 与ω轴正向一致为正，反之为负。

挠曲线上某点处的斜率为正， 则该处横截面的转角为正 单位 正负 挠度 mm 转角 rad 6 §§9 9- -2 2 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程 EI)x(M  1EI)x(M)x(     式（式（2 2）就是挠曲线近似微分方程就是挠曲线近似微分方程     1123 2)x()x(           小变形小变形 ω x M>0 0 ω x Mb时，时，x值将小于值将小于a，最大，最大 挠度将发生在挠度将发生在AC段中 322139)bl (EIlFb)xx(max          2122 112 1221 1366x)bl (lEIFbxbllEIFbx           20 讨论：讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角此梁的最大挠度和最大转角 lEI)bl (FabxAmaxmax6001111  左左 侧侧 段：段： 右右 侧侧 段：段： lEI)al (FablxBmaxmax602222  lEI)al (FabBmax6     322 1223932 30)bl (lEIFbax)ba(ablxxxmaxmax               最大挠度一定在左侧段最大挠度一定在左侧段 F C 1x ABab2xlFblFa当当 a＞＞b 时时—— 当当 a＞＞b 时时——最大挠度发生在最大挠度发生在AC段段 21 2、、a=b 时时此梁的最大挠度和最大转角。

此梁的最大挠度和最大转角 EIFl;EIFlLxCmaxBAmax4816322            F C ABab若b值很小， l.lx57703  EIFbl.lFblmax22 0642039   EIFbl.EIFbllx22210625016     可以用跨中截面的挠度代替 挠度最大值 22 §§9 9- -4 4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 一、一、前提条件：前提条件：线线弹性、小变形 二、二、叠加原理：叠加原理：各荷载同时作用下，梁任一截面的挠度或转角，等于各荷载分别单独作用下同一梁同一截面挠度或转角的代数和 )()()(),,,(221121nBnBBnBFFFFFF         )F()F()F()F,,F,F(nBnBBn       2211211、梁在简单载荷作用下挠度、转角应为已知或有变形表可查； 2、叠加法适用于求梁个别截面的挠度或转角值 三、三、叠加法的特征：叠加法的特征： 23 四、结构形式叠加（逐段刚化法）四、结构形式叠加（逐段刚化法） 在研究前一梁段的变形时，暂时将后各梁段视为刚体， 前一梁段的末端截面的位移为后一梁段提供了一个刚体位移； 在研究后一梁段的变形时，将已变形的前梁段的挠曲线刚化， 再将后梁段的变形叠加在前梁段所提供的刚体位移上，从而 得到后梁段的总位移。

24 结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明 = + F l1 l2 A B C B C F l2 ω1 ω2 等价 等价 x ω x ω 21 ω F l1 l2 A B C 刚化刚化AC段段 P l1 l2 A B C 刚化刚化BC段段 F l1 l2 A B C M x ω 25 [ [例例9 9- -4] 4] 按叠加原理求按叠加原理求A点转角点转角和和C点挠度 解：解：⑴荷荷载荷分解如图 ⑵由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形 EIFa)(FC63  EIFa)(FA42   EIqa)(qA33   q q F F = + A A A B B B C a a EIqa)(qC2454  26 q q F F = + A A A B B B C a a ⑶叠加 qAFAA)()(     )qaF(EIa43122   EIFa EIqaC624534   EIFa)(FC63  EIFa)(FA42   EIqa)(qA33   EIqa)(qC2454  27 l/2 l/2 q A A C C A = + [例例9-5] 求图示梁C截面的挠度 和两端截面的转角，梁的弯曲刚度 EI为常数。

解解：⑴载荷分解如图 ⑵查梁的简单载荷变形表    EIlqC3842541  l/2 A A C C A q/2 l/2 (a) l/2 l/2 A A C C A q/2 q/2 (b)    EIlqBA242311          EIllqBA242322    02 c 28 l/2 l/2 q A A C C A = + EIql EIl )/q(CCC7685 384254421       ⑶叠加 l/2 A A C C A q/2 l/2 (a) l/2 l/2 A A C C A q/2 q/2 (b) 21AAA             EIlq EIlq 2422 24233   EIql 12833  21BBB            EIql EIlq EIlq 3847 2422 242333      29 = + A A B B l a a C C q q qaqa A A B B l C C M=qa2/2   （（b）） [例例9-6]求图示梁B截面的 挠度（（EI 已知）。

已知） 解解：⑴ 结构分解如图 ⑵查梁的简单载荷变形表 B B C C   q q （（a）） ;EIqaB841  EIlqaaEIl )qa( aCB6321 3222       30 = + A A B B L L a a C C q q qaqa A A B B L L C C M=qa2/2   （（b）） ⑶叠加 B B C C   q q （（a）） ;EIqaB841  EI)la(qaEIlqa EIqaBBB24436833421         EIlqaaEIl )qa( aCB6321 3222       31 B B C C F F EI 2EI A A l/2 l/2 B B F F A A C C 0B1B0BF F B B′ A A Fl/2 C C C0BC求图示阶梯梁自由端 B的转角和挠度 EIFl EIlFl)EI(lFC163 222 22222                      EIFl )EI(lFl)EI(lFC965 2222 232323                      EIFlCB16320    EIFl EIFl EIFllCCB487 323 965 23330              32 B B C C F F EI 2EI A A B B′ F F A A B B F F A A l/2 l/2 Fl/2 C C C0BC C 0B1B0BCEIFlCB16320     EIFlB48730  EIFl EIlFB822221         EIFl EIlFB2432331         EIFl EIFl EIFlBBB165 816322210        EIFl EIFl EIFlBBB163 2448733310        1B33 ))~(lllmax 10001 2501:(              对土建工程一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 其中[]称为许用转角；[ω/l]称为许用挠跨比。

通常依此条件进行如下三种刚度计算： 校核刚度： 设计截面尺寸； 设计载荷 (但：对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位特殊构件例外）       max§§9 9- -5 5 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计 ))~(l001001 50001:(       工程机械械34 [例9-7]由No.40a工字钢制成的吊车大梁如图a所示跨度 l=10m，起吊的最大重量FP=300kN，材料的许用应力 [σ]=140MPa，弹性模量E=200GPa，梁的许用挠度 [ω/l]=l/500若考虑梁自重的影响，试校核梁的强度和刚度 35 解：⑴画校核强度和刚度 的计算简图 梁的自重用均布荷载q表 示起吊重物处于跨中时， 跨中截面的弯矩和挠度值均 为最大 由型钢表可知 4631010901090mcmWz47410217221720mcmIZm/N.q566236 ⑵校核梁的正应力强度 842qllFMP max8105662 410103023.)(mN.3102883由叠加法求得梁的。