高中数学试题巧解方法.pdf

数学具体解题方法有：代入法直接法定义法向量坐标法查字典法挡板模型法等差中项法 逆向化法极限化法整体化法参数法交轨法几何法弦中点轨迹求法比较法基本不等式法以题攻题法综合法分析法放缩法反证法换元法构造法数学归纳法配方法判别式法序轴标根法向量平行法向量垂直法同一法累加法累乘法倒序相加法分组法公式法错位相减法裂项法迭代法角的变换法公式的变形及逆用法降幂法升幂法“1”的代换法引入辅助角法三角函数线法构造对偶式法构造三角形法估算法待定系数法特殊优先法先选后排法捆绑法插空法间接法筛选法（排除法）数形结合法特殊值法回代法（验证法）特殊图形法分类法运算转换法结构转换法割补转换法导数法象限分析法补集法距离法变更主元法差异分析法反例法阅读理解法信息迁移法类比联想法抽象概括法逻辑推理法等价转化法根的分布法分离参数法抽签法随机数表法高中数学 活解方法一、代入法若动点),(yxP依赖于另一动点),(00yxQ而运动，而Q点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0xfx，)(0xgy，于是将这个Q点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

例1】 （广东高考题）已知曲线C：2xy与直线l：02yx交于两点),(AAyxA和),(BByxB，且BAxx，记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段L 与线段 AB 所围成的平面区域（含边界）为D.设点),(tsP是 L 上的任一点，且点P 与点 A 和点 B 均不重合.若点 Q 是线段 AB 的中点，试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程；【巧解 】联立2xy与2xy得2, 1BAxx，则AB中点)25,21(Q，设线段PQ的中点M坐标为),(yx，则 225,221t ys x，即252,212ytxs，又点P在曲线C上，∴2)212(252xy化简可得8112xxy，又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，则2 2121x，即4541x，∴中点M的轨迹方程为（ 4541x）. 【例 2】 （江西高考题）设),(00yxP在直线mx)10,(mmy上，过点P作双曲线122yx的两条切线PA、PB，切点为A、B，定点M)0 ,(1 m 过点A 作直线0yx的垂线，垂足为N，试求AMN的重心 G 所在的曲线方程巧解 】 设1122(,),(,)A x yB xy，由已知得到120y y， 且22 111xy，22 221xy， （ 1）垂线AN的方程为：11yyxx，由11 0yyxxxy得垂足1111(,)22xyxyN，设重心( ,)G x y所以11 111 111()32 1(0)32xyxxm xyyy解得113934 1934xymxyxmy由22 111xy可得11(33)(33)2xyxymm即2212()39xym为重心G所在曲线方程巧练一： （江西高考题） 如图，设抛物线2:xyC的焦点为 F， 动点 P在直线02:yxl上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B 两点 .，求△APB 的重心 G 的轨迹方程 . 巧练二：（全国高考题）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3,0(1F和)3,0(2F为焦8112xxy点、离心率为 23的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点 P 在 C 上，C 在点 P 处的切线与x、y 轴的交点分别为A、B，且向量OBOAOM，求点 M 的轨迹方程二、直接法直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过 准确的运算、 严谨的推理、 合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法 叫直接法。

从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用 的是此法但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进 行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案例 1】 （全国高考题）已知双曲线)0, 0(1:2222 babyaxC的右焦点为F，过 F 且斜率为3的直线交 C 于 A、B 两点若FBAF4，则 C 的离心率为（）（A）56（B）57（C）58（D）59【巧解 】 设),(11yxA，),(22yxB，)0,(cF， 由FBAF4， 得),(4),(2211ycxyxc∴214yy，设过F点斜率为3的直线方程为cyx 3，由03 222222bayaxbcyx消去x得：0 32)3(42 222 bycbyab，∴224212222133)3(36abbyyabcbyy， 将214yy代入得224 2 22222334)3(363abbyabcby化简得)3(43)3(32224 2 22222abbyabcby，∴ )3(43 )3(3422422224abb abcb，化简得：)3(9)3(916222222acabac，∴223625ac，25362e，即56e。

故本题选（ A） 【例 2】 （四川高考题）设定义在R上的函数)(xf满足13)2()(xfxf，若2)1(f，则)99(f（）（A）13 （B）2 （C）213（D）132【巧解 】∵ )(13)2(xfxf，∴)()(1313)2(13)4(xfxfxfxf∴函数)(xf为周期函数，且4T，∴ 213)1 (13)3()3244()99(ffff故选（ C）巧练一：（湖北高考题）若), 1()2ln( 21)(2在xbxxf上是减函数，则b 的取值范围是（）A．), 1[B．), 1(C．] 1,(D．)1,(巧练二：（湖南高考题）长方体 ABCD—A1B1C1D1的 8 个顶点在同一个球面上，且AB= 2，AD=，3AA1=1，则顶点A、B 间的球面距离是（）A．22B．2C．22D．42三、定义法所谓定义法， 就是直接用数学定义解题选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略例 1】 （福建高考题）过抛物线)0(22ppxy的焦点 F 作倾斜角为450的直线交抛物线于 A、B 两点，线段AB 的长为 8，则p．【巧解 】依题意直线AB的方程为 2pxy，由 pxypxy22 2消去y得：0432 2ppxx，设),(11yxA，),(22yxB，∴pxx321，根据抛物线的定义。

2||2pxBF， 2||1pxAF，∴84||21ppxxAB，∴2p，故本题应填2例 2】 （山东高考题）设椭圆C1的离心率为 135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线 C2的标准方程为（）（A）1 342222yx（B）1 5132222yx（C）1 432222yx（D）1 12132222yx【 巧 解 】 由 题 意 椭 圆 的 半 焦 距 为5c， 双 曲 线2C上 的 点P满 足|,|8||||||2121FFPFPF∴点P的轨迹是双曲线，其中5c，4a，∴3b，故双曲线方程为1 342222yx，∴选（ A）巧练一：（陕西高考题）双曲线)0,0( 12222 babyax的左、右焦点分别是F1，F2，过 F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若 MF2垂直于 x 轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D． 33巧练二：（辽宁高考题）已知点P 是抛物线xy22上的一个动点，则点P到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）（A）217（B）3 （C）5（D）29四、向量坐标法向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系， 使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。

在解题实践中若能做到多用、 巧用和活用， 则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果例 1】 （广东高考题） 在平行四边形ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点， AE 的延长线与CD 交于点 F. 若AC=a，BD=b，则AF=（）A．41a +21bB．32a +31bC．21a +41bD．31a +32b【 巧解 】如图所示，选取边长为2 的正方形ABCDA x y O B D C E 则)0 ,2(B，)2,2(C，)2,0(D，)1 , 1 (O，) 23,21(E，∴直线AE的方程为xy3，联立 23yxy得)2, 32(F∴)2, 32(AF，设BDyACxAF，则)22,22()2 , 2()2,2(yxyxyxAF∴ 2223222yxyx解之得 32x，31y，∴baBDACAF31323132，故本题选B 【例 2】已知点O为ABC内一点，且OCOBOA320，则AOB、AOC、 BOC的面积之比等于（） A．9：4：1 B．1： 4：9 C．3：2： 1 D． 1：2：3 【巧解 】不妨设ABC为等腰三角形，090B3BCAB，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B)3, 0(A，)0, 3(C，设),(yxO，∵OCOBOA320，即)0 ,0(),3(3),(2)3,(yxyxyx∴ 3696yx解之得 23x，21y，即)21,23(O，又直线AC的方程为03yx，则点O到直线AC的距离 2211|32123|22h，∵23||AC，因此49||||21xABSAOB， 43||||21yBCSBOC， 23||21hACSAOC，故选 C巧练一：（湖南高考题）设D、E、F 分别是△ ABC的三边BC、CA 、AB 上的点，且,2,2EACEBDDCBCCFBEADFBAF与则,2（）A．反向平行B．同向平行C．互相垂直D．既不平行也不垂直巧练二： 设O是ABC内部一点，且OBOCOA2，则AOB与AOC面积之比是. 五、查字典法A B C x y O 查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。

利用“查字典法”解决数字比较大小的排列问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位） ，查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前 “２”位中第“ 2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3 的倍数和5 的倍数的特征，0 的特性等等以免考虑不全而出错 例 1】 （四川高考题）用数字0，1，2，3，4， 5 可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288 个（B）240 个（C）144 个（D）126 个【 巧解 】本题只需查首位，可分3 种情况，①个位为 0，即0型，首位是2，3，4，5 中的任一个，此时个数为3 41 4AA；②个位为2，即2， 此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为3 41 3AA；③个位为4，4型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能排2，3，5，所以个数为3 41 3AA；故共有24023 41 33 41 4AAAA个故选（ B）【 例 2】 （全国高考题）在由数字1，2， 3，4，5 组成的所有没有重复数字的5 位数中，大于 23145 且小于 43521 的数共有（）A．56 个B．57 个C．58 个D． 60 个【 巧解 】 （ 1）查首位 ：只考虑首位大于2 小于 4的数，仅有1 种情况：即3型，此特点只需其它数进行全排列即可。

有4 4A种，（2）查前２位 ：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4 种情况：24，25，41，42型，而每种情况均有3 3A种满足条件， 故共有3 34A种3）查前３位 ：只考虑前“3”位中既比１大又小于5 的数，有4 种情况：234，235，431，432型，而每种情况均有2 2A种满足条件， 故共有2 24A种3）查前 4 位：只考虑前。