江苏省金湖县实验中学八年级数学《特殊的平行四边形、梯形》教案（华东师大版）.doc

学 科数学版 本华东师大版期 数3405年 级初二编稿老师蒲海均审稿教师李欣生二. 重点、难点： 1. 学习重点： （1）理解矩形、菱形、正方形的特性 （2）理解等腰梯形的特性 2. 学习难点： （1）理解几种特殊平行四边形与普通平行四边形的区别与联系 （2）理解等腰梯形与平行四边形、等腰三角形之间的关系典型例题】一. 矩形： 1. 矩形的概念： 有一个内角是直角的特殊的平行四边形，就是矩形，也就是以前常说的长方形如图1： 2. 矩形的特性： 矩形是平行四边形，因此平行四边形所有的性质，矩形都有，但矩形是特殊的平行四边形因此，它还有一些特性 （1）矩形是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，因此可知矩形有两条对称轴 （2）矩形的四个角都是直角 实际上，如图1所示，若∠BAD是直角，由AD//BC知∠ABC是直角，由AB//DC知∠ADC是直角同理可知，∠DCB是直角，故矩形四个角都是直角 （3）矩形的对角线相等且互相平分 矩形是平行四边形，故其对角线互相平分 在图中，矩形的四个角是直角，如果绕着对角线的交点O旋转，会发现将其旋转∠COD的度数，AC与BD将会重合，故其长度相等。

例1. 矩形ABCD的两条对角线交于点O，且∠AOD＝120°，证明：AC＝2AB 证明：在△AOD中，∠AOD＝120°，故其补角∠AOB＝60° 即有OA＝OB 而∠AOB＝60° 故△AOB是等边三角形 有OA＝OB＝AB 故AC＝2AO＝2AB 3. 矩形的识别方法： （1）如果在一个平行四边形中，能找到一个角是直角，则其是矩形 如图3，先判定四边形ABCD是平行四边形，再判定其中有一个角是直角 （2）如果在一个平行四边形中，其对角线相等，则此平行四边形是矩形 如图3，如果在平行四边形ABCD中，有AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形 （3）如果在一个四边形中，有三个角是直角，则此四边形是矩形 如图3，如果在四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC，∠CBA，∠CBA，∠CDA中有三个角是直角，则四边形ABCD是矩形 例2. 说明：平行四边形的四个内角的平分线围成的四边形是矩形 分析：此题应先作图，再写已知，最后说明 已知：如图4所示，在平行四边形ABCD中，AE、BF、CN、DM分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线。

说明：四边形HGOK是矩形 解：在平行四边形ABCD中，AB//CD 所以∠DAB＋∠ADC＝180° 因为AE、DM是∠DAB、∠ADC的平分线 所以∠1＋∠2＝90°，所以∠AKD＝90° 所以∠OKH＝90° 同理，∠AOG＝∠CHD＝90° 故四边形HGOK是矩形二. 菱形： 1. 菱形的概念： 四条边都相等的平行四边形就是菱形，如图5所示，四边形ABCD就是菱形 菱形即是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线，共有两条对称轴 2. 菱形的性质： （1）菱形的对角线互相垂直平分 如图5所示，在菱形ABCD中，AO＝OC，OB＝OD，且AC⊥BD （2）菱形的两条对角线将其分成四个完全相等的三角形 如图5所示：在菱形ABCD中，△ABO、△BCO、△CDO、△ADO是全等的，故四个小三角形的面积也相等 例3. 如图6所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝2∠B，试说明△ABC是等边三角形 解：因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC 又∠B＋∠BAD＝180° 而∠BAD＝2∠B 故∠B＝60° 在等腰△ABC中，∠B＝60° 故△ABC是等边三角形 3. 菱形的识别方法： （1）用定义识别：四条边都相等的四边形是菱形。

如图5，如果在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，则四边形ABCD是菱形 （2）对角线识别： 如果平行四边形的对角线互相垂直平分，则四边形ABCD是菱形 如图5，在平行四边形ABCD中，如果AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 （3）有一组邻边相等的平行四边形是菱形 如图5，在平行四边形ABCD中，如果AB＝AD，或AD＝DC，或DC＝CB，或CB＝AB，则四边形ABCD是菱形 例4. 如图7，AD是△ABC的角平分线，DE//CA交AB于E，DF//BA交AC于F 求证：四边形AEDF是菱形 证明：在四边形AEDF中， 因DE//AC，故DE//AF 因DF//AB，故DF//AE 所以四边形AEDF是平行四边形 又AD平分∠BAC，∠1＝∠2 而AB//DF，知∠1＝∠ADF 故∠2＝∠ADF △AFD是等腰三角形，AF＝DF 由识别方法3知，四边形AEDF是菱形三. 正方形： 正方形是以前早就认识的特殊图形，在正方形中，四条边都相等，四个角都是直角，所以正方形可以看作： 有一角是直角的菱形。

有一组邻边相等的矩形 它拥有菱形、矩形的一切特性 正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，它共有四条对称轴 在正方形中，对角线之间的夹角是90°，对角线与边的夹角是45° 例5. 如图8，四边形ABCD是正方形，延长BC到点E，使CE＝AC，连结AE，交CD于F，求∠AFC的度数 解：在正方形ABCD中，AC是对角线，故∠ACB＝45° 而AC＝CE，故∠CAE＝∠CEA，且∠CAE＋∠CEA＝∠BCA＝45° 故∠E＝22.5° 而∠AFC是△CEF的一个外角 故∠AFC＝∠E＋∠FCE＝22.5°＋90°＝112.5°四. 梯形： 1. 定义： 只有一组对边平行的四边形叫梯形，即梯形中有一组对边不平行，两腰相等的梯形是等腰梯形，有一个角是直角的梯形是直角梯形 实际上，梯形可以看作是由一个平行四边形和一个三角形组合而成 如图9所示，梯形ABCD可看作由平行四边形ABED和△DEC组合而成 另外，梯形也可看作是过三角形一边上一点作另一边平行而得到的，如图10在△ABC中，DE//BC，可知四边形BCED是梯形。

2. 等腰梯形的性质： （1）等腰梯形同一底边上的两个底角相等 如图11，在等腰梯形ABCD中，∠BAD＝∠ADC，∠ABC＝∠BCD （2）等腰梯形的两条对角线相等 在图11中，如果四边形ABCD是等腰梯形，则有AC＝BD 例6. 如图12，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E，试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形 解：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以∠B＝∠C 在△EBC中，有EB＝EC 因此，△EBC是等腰三角形 又AB＝DC 故EB－AB＝EC－DC 即EA＝ED 故△EAD是等腰三角形 例7. 如图13，在等腰梯形ABCD中，AB//DC，CE//DA，已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长 解：因为AB//DC，CE//DA，故四边形AECD是平行四边形 从而CE＝DA＝CB＝6，AE＝DC＝5 EB＝AB－AE＝8－5＝3 于是△CEB的周长为CE＋EB＋BC＝6＋3＋6＝15 例8. 如图14，梯形ABCD中，AD//BC，∠B＝50°，∠C＝80°，试说明BC－AD＝CD。

解：过点A作AE//DC交BC于E 所以，∠AEB＝∠C＝80° 又∠B＝50° 故∠BAE＝180°－50°－80°＝50° ∠BAE＝∠B，AE＝BE 又AD//BC，故AD//EC 四边形ADCE是平行四边形，AD＝EC，AE＝DC 故BC－AD＝BC－EC＝BE＝AE＝DC［本课小结］ 1. 本课主要讲解了矩形、菱形、正方形、梯形的特殊性质及矩形、菱形、正方形的识别方法，在整个过程中主要以基础知识为主，希望同学们掌握这些特殊图形的基础知识 2. 本课另外还研究了矩形、菱形、正方形及梯形之间的内在联系与区别，请同学们在学习时引起重视模拟试题】 1. 矩形ABCD中对角线AC、BD相交于O，过顶点C作BD的平行线与AD的延长线相交于点E，试说明△ACE是等腰三角形 2. 如图，菱形ABCD中，AE⊥BC于E，若∠BAE＝20°，试求∠EAC的度数 3. 在Rt△ABC中，CF是直角平分线，FD⊥CA于D，FE⊥CB于E，四边形CDFE是什么四边形？为什么？ 4. 在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝BC，延长AB至E，使BE＝DC。

求证：AC＝CE 5. 从菱形的两条对角线的交点分别向各边作垂线，说明：连结垂足的四边形是矩形试题答案】 1. 解：在矩形ABCD中，AC＝DB，故 即，有∠ODA＝∠OAD 同理，∠OCB＝∠OBC 又AD//CB，∠ADO＝∠OBC 故∠ADO＝∠DAO 而EC//DB，故∠E＝∠ADO 所以∠E＝∠DAO＝∠EAC △EAC是等腰三角形 2. 解：因AE⊥BC，而∠BAE＝20° 故在三角形BAE中，∠B＝70° 又四边形ABCD是菱形，故BA＝BC，∠BAC＝∠BCA 又∠BAE＝20° 故∠EAC＝35° 3. 解：在四边形CDFE中， FD⊥CA，故∠FDC＝90° FE⊥CB，故∠FEC＝90° 又∠ECD＝90° 故四边形FECD是矩形 又CF是∠ECD是角平分线，故 ∠ECF＝45°，∠CEF＝90° 故∠CFE＝45° △CEF是等腰三角形，EC＝EF 故四边形EFDC是正方形 4. 证：在四边形BEDC中，BE＝DC，又BE//DC 故四边形BEDC是平行四边形 有CE＝BD 而在梯形ABCD中，AD＝BC，故BD＝AC 所以CE＝AC 5. 解：在菱形ABCD中BD、AC是对角线，故AC平分∠BAD 即∠EAO＝∠NAO 又∠AEO＝∠ANO＝90° 故∠AOE＝∠AON 由上面三组角的关系知道，△AON和△AOE对称。

有ON＝OE，△EON是等腰三角形 而∠NOP＝∠EOP，由三线合一知，OP⊥EN，OA⊥EN 同理：OC⊥MF，MF//EN 。