勾股定理（简答题专练）（解析版）.pdf

专题07：勾股定理(简答题专练)一、解答题1 .某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4 9 = 4m，C D = 3 m , A D 1 D C ，A B = 1 3 m ,B C = 1 2 m ,求这块地的面积.【 答案】24 cm2 -【 分析】连接A C ,勾股定理计算AC=JA/)2 + C D2 =0 3 2 +4 2，应用勾股定理的逆定理判定三角形A B C是直角三角形，计算两个直角三角形的面积差即可.【 解答】解：连接A C, / A D 1 D C： .Z A D C =9 0 °,在Rt ^ A D C中，根据勾股定理，得A C = yjAD2 + C D2 = 7 32+42=5 ,在a A B C中，, AC2 + B C2 =52 +1 22 =1 32 = AB2,△ A B C是直角三角形，S四 边 形 A B C —S ABC ACD5 x 1 2 3 x 4= ----- -----2 2=2 4 (m2) .1【 点评】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到AABC是直角三角形是解题的关键.同时考查了直角三角形的面积公式.2 . 如图，在四边形 ABCD 中，已知 AB=5, BC=3, CD=6, AD=2右 ，若 AC_LBC,求证：AD〃BC.【 答案】证明见解析.【 解析】试题分析：在□ A 3 c 中，根据勾股定理求出AC?的值，再在△A C D 中根据勾股定理的逆定理,判断出A C 1 C D ,再根据平行线的判定即可求解.试题解析：证明：在CIABC中A C _ L 8 C ,根据勾股定理：AC2 = AB2-B C2 =52 - 32 =16,: 在 AA C 。

中，AC2+AZ)2 =16+20 = 36, CD2 =36,AC2 + AD2 = CD2,根据勾股定理的逆定理，A A C D 为直角三角形，:.AC±CD,J.AD//BC.3 . 一块木板如图所示， 已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,/B=90 , 木板的面积是多少？【 分析】连接A C ,利用勾股定理解出直角三角形ABC的斜边，通过三角形ACD的三边关系可确定它为直角三角形，木板面积为这两三角形面积之差.【 解答】连接AC,2A4-- ----,在AABC 中，AB=4, BC=3, NB=90 ，r.AC=5,,在AACD 中 ,AC=5, DC=12, AD=13,.\DC2+AC2= 122+5?= 169, AD?= 132=169,.-.DC2+AC2=AD2, Z\ACD为直角三角形，AD为斜边，，木板的面积为:SAACD-SAABC= - x5xl2- — x3x4=24.2 2【 点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键.4 . 图 1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2 , 请你根据图2 所标注的尺寸,求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管多少米（ 焊接部分忽略不计） .rwwq可诙--------------------------------------- B ...........图1图2【 答案】等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管3.6米.【 分析】苜先根据等腰三角形的性质可得D O =L cD =0.8m ,再在RtZ\BDO中利用勾股定理计算出B D 的2长，即可算出答案.【 解答】由题意得：BO1CD,「△BCD是等腰三角形，二 D 0= — CD=0.8nr ,2在 RtABDO 中，VBD2=DO2+BO2,.*.BD=7O.82+O.62 （ 米） ，； .BC=1 米，. •.等腰三角形栅栏外框BCD至少需要不锈钢管：1 + 1+1.6=36 （ 米） .【 点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理计算出BD 的长.35 . 中国机器人创意大赛于2014年 7 月 15日在哈尔滨开幕.如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4 m ,又往北走1.5m ,遇到障碍后又往西走2 m ,再转向北走4.5m处往东一拐，仅走0.5m就到达了 B . 问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？【 解析】试题分析：过点B 作 BC1.AD 丁 - C , 可以计算出AC、BC的长度，在直角AABC中根据勾股定理即可计算AB.试题解析：过点B 作 BCJ_AD于 C,所以 AC=4-2+0. 5=2. 5m, BC=4. 5+1. 5=6m,在直角△ ABC 中，AB 为斜边，则 A B = yjBC2 + A C2 = ^ 62 + (1)2 = y m,13答：机器人从点A 到点B 之间的距离是一 m.2考点：勾股定理.6 . 如图所示，在四边形ABCD中，AB=2石 ，BC=2, CD=1, A D =5,且NC=90。

，求四边形ABCD的面【 答案】四边形A8CD的面积是6.4【 分析】 连接B D , 根据勾股定理可计算出8 的长度， 再由勾股定理逆定理可判断出△ A 5 O 为直角三角形,分别计算出△A 8 和△ 8 C O 的面积，求和即可..•.△8 C 为直角三角形,BD2^BC2+CI>2^22+12= ( 7 5 ) 2, BD>0,BD= -^ 5 ,在△ A B C 中，V A B2+B Z >2=2 0 +5 =2 5 , AD2=52=25,J.AB^B ^A D2,为直角三角形，且NA B D =9 0 ，5 i q i i i i ；A S C D-SA A B D+SA B C D= — x 2 .y / 5 x .\ / 5 + ~ x 2 x l = 6 .四边形A B C 的面积是6 .【 点评】本题关键在于利用勾股定理逆定理判定出直角三角形，从而求出三角形的面积.7 . 在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A , B,其中AB=AC,由于种种原因，由C到 A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （ A , H , B在一条直线上） ,并新修一条路CH,测得C B = 3 千米，C H = 2 . 4千米，HB=L8千米.（ 1 ）问 CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（ 2 ）求原来的路线AC的长.【 答案】（ 1 ）是，理由见解析；（ 2 ） 2 . 5 米.5【 分析】(1)先根据勾股定理逆定理证得RtZ\CHB是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；( 2 )设A C = A B = x ,则A H = x—1 .8 ,在RtZ\ACH中，根据勾股定理列方程求得x即可.【 解答】⑴••• 1.8? + 2,42 = 32.即 B H2+ C H2 = B C2>.♦.RtACHB是直角三角形，即CH_LBH,A C H是从村庄C到河边的最近路(点到直线的距离中，垂线段最短) ；( 2 )设 AC = AB = x ,则 AH = x—1.8,V ltR tA A C H ,C H2 + A H2 = A C2 •即 2.42+(x —1 . 8 ) 2 = / ,解得 *=2.5,, 原来的路线A C的长为2.5米.【 点评】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解答本题的关键.8 .观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;...,a,b,c.根据你发现的规律， 请写出：⑴ 当 。

=19时， 求b,c的值;⑵当〃=2〃+ 1时， 求b,c的值；(3)用(2)的结论判断15,111,112,是否为一组勾股数, 并说明理由.【 答案】⑴ b=180.c=181； (2) h=2〃2+2〃,c=2"2+2” +l ； (3 )不是， 理由见解析【 解析】试题分析：(1)仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1 ,根据此规律及勾股定理公式不难求得江c的值.(2 )根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得氏c的值.(3 )将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是.试题解析：解：(1 )观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1 ,即c -b = LV t7=19, a2+h2=c-, 192+b2= (h + \) 2, .,./>= 180, .".c=181 ；( 2 )通过观察知 c - 8=1, ,: (2n+l) 2+b2=c2, c2 - b2= (2n+1) 2, (6+c) (c -b ) = (2n+l ) 2, b+c=(2n+l) 2,又 c=fe+l, ...26+1= (2n+l) 2, ".b=2n1+2n, c=2n2+2n+1 ：(3 )由(2 )知，2〃+1,2n2+2n, 2n2+2n+1 为一组勾股数， 当 n=7 时，2n+1 = 15, 112 - 111=1,但 2n1+2n= 112/111,.♦.15, 111, 112不是一组勾股数.点睛：此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力.69 . 已知：如图，一块RtZiABC的绿地，量得两直角边AC=8cm, 8c=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰^ABD,且扩充部分(△AO C )是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△43。

的周长.(1)在 图 1中，当AB=A£>= 10cm时，△ABC的周长为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -( 2 ) 在图2 中，当 BA=B£)=10cm时，△ABC的周长为- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ,( 3 ) 在图3 中，当 D4=OB时，求△ABO的周长♦【 答案】(1) 32m； (2) (20+46) m； (3) — m【 分析】(1)利用勾股定理得出DC的长，进而求出A A B D 的周长；( 2 ) 利用勾股定理得出A D 的长，进而求出4A B D 的周长；( 3 ) 首先利用勾股定理得出DC、A B 的长，进而求出4A B D 的周长.【 解答】 ：( 1 ) 如图 1, ：AB=AD=10m, AC_LBD, AC=8m,••• DC = ^A D r-A C2 = 6(m)则4ABD 的周长为：10+10+6+6=32 (m).故答案为32m；( 2 ) 如图 2 , 当 BA=BD=10m 时,则 DC=BD-BC=10-6=4 (m),故 AD = yjAC2+DC2 = 4 右 (m)则4ABD 的周长为：AD+AB+BD=10+4 石 + 10= (20+475)m；故答案为(20+46) in；( 3 ) 如图 3, ：DA=DB,:•设 DC=xm,则 AD= (6+x) m,A DC2+AC2=AD2,7即 x2+ 82= (6 + x ) 2,7解得：x = -3V A C = 8 m , B C = 6 m ,，A B = 1 0 m ,(7 、 80y + 6 l + 10 = y (m )【 点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意熟练应用勾股定理是解题关键.1 0 . 阅读：已知a 、b 、c为AABC的三边长，且满足a 2 c 2 - b 2 c 2 = a 4- b 、 试判断AABC的形状.解：因为 a 2 c 2 - b 2 c 2 = a 4 - b 3 ①所以 c ? (a2 - b2) = (a2 - b2) (a2+ b2) .②所以c 2 = a ? + b 2 . ③所以AABC是直角三角形. ④请据上述解题回答下列问题：( 1 ) 上述解题过程，从第 步(该步的序号)开始出现错误，错的原因为；(2 )请你将正确的解答过程写下来.【 答案】(1 )③，忽略「 a 2 - b 2 =0 的可能；( 2 ) 见解析【 分析】( 1 ) 上述解题过程，从第三步出现错误，错误原因为在等式两边除以a 2 - b ? , 没有考虑a J b 2 是否为0 ；( 2 ) 正确的做法为：将等式右边的移项到方程左边，然后提取公因式将方程左边分解因式，根据两数相乘积为0 , 两因式中至少有一个数为0转化为两个等式；根据等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形或等腰三角形.【 解答】解：( 1 )上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略「a 2 - b 2 =0 的可能；( 2 ) 正确的写法为：c2 (a2 - b2) = (a2+ b2) (a2 - b2),移项得：c2 (a2 - b2) - (a2+ b2) (a2 - b2) =0 ,因式分解得：(a2 - b2) [ c2 - (a2+ b2) ] =0 ,则当 a 2 - b 2 =0 时 , a = b ；当 a Z - b2# ) 时 , a2+ b2=c2；所以AABC 是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形.故答案为：③，忽略了 a 2 - b 2 =0 的可能.【 点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论. 判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边8的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.I I . 如图所示， 在AABC 中， AC = 8cm, BC=6cm；在4ABE 中，DE 为 AB 边上的高，DE=12cm, AABE的面积S=60cm2.⑴求出A B边的长；(2)你能求出N C 的度数吗？请试一试.【 分析】(1)由 SAABE= 6 0 ,求得AB = 10；(2)根据勾股定理的逆定理得出4A B C 为直角三角形，从而得到N C 的度数.【 解答】⑴：DE=12, SAABE=； DE・AB=60,，AB =10；(2)VAC=8, BC=6 , 62+82=102,AAC2+BC2=AB2,由勾股定理逆定理得/C = 9 0 。

.【 点评】本题考查了利用三角形的面积公式和勾股定理的逆定理求解，解题关键在于掌握运算法则1 2 .己知：如图，在AA8C中，NC = 9 0 °,为AB的中点，E、尸分别在AC、3C上，且 团_LfD于 求证：AE2+BF2 -E F2-【 分析】通过倍长线段OE，将AE、BF、所 转化到A8GE中，再证A8GF为直角三角形.【 解答】延 长 至G ,使OG = O E ,连结BG、FG ,•.•AD = BD，ZADE^ZBDG,:.△ADEwABDG，9，AE = BG，ZA = /DBG ,:.ACDBG,.-.ZC+ /FBG = 180°. :.ZFBG = 90°,BGr +BF2 =GF2^又•： ED 工 FD，ED = GD,：.EF = GF,【 点评】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键 .1 3 .由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C处,已知A 8 = 4米，BC=13米，两棵树的株距（ 两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度.【 分析】首先构造直角三角形，进而求怨8。

的长，进而求出4 C的长，即可得出答案.【 解答】解：如图所示：延长A B ,过点C作CQ LAB延长线于点由题意可得：BC=13m, DC= 12m,故 BD= J13? - 12? = 5（6） ，即 AD=9mf则 AC = ^AD2+CD2 = V92 +122 = 15（ m） ,故AC+AB=15+4=19 (〃]),10答：树原来的高度1 9 米.【 点评】此题主要考查了勾股定理的应用，得出8 的长是解题关键.1 4 . 如图，在 R t Z X A B C 中，/ B C 4 = 9 0 ，A C = 1 2 , A B = 1 3 , 点 是 外一点，连接 Q C, D B ,且8= 4, 8 0 =3 .( 1 ) 求 BC 的长；( 2 )求证：A B C D 是直角三角形.【 答案】(1 ) 5 ； ( 2 ) 详见解析.【 分析】( 1 ) 在 R t z^ A B C中，根据勾股定理即可求得BC 的长；( 2 ) 利用勾股定理逆定理即可证明4BC D是直角三角形.【 解答】( 1 ) 解：♦ : 心△A B C 中，Z B CA =9 0 °, A C=1 2 , A B =I 3 ,• • • B C = y/AB2- A C2 = V 1 32 - 1 22 = 5 ；( 2 ) 证明：• . •在4 B C D 中，CD =4 , B D =3 , B C=5 ,. , . CD2+ B D2= B C2,. , . △B CD 是直角三角形.【 点评】本题考查勾股定理及其逆定理. 勾股定理：在任何一个宜角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a , b , c 满足a 2 + b 2 = c ? , 那么这个三角形就是直角三角形. 掌握定理是解题关键.1 5. 如图，公路PQ和公路MN交于点P,且N N P Q = 4 5 。

，公路PQ上有一所学校A , A P = 8 ( ) Q 米，现有一 拖 拉 机 在 公 路 上 以 1 0 米秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围1 0 0 米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间.11Q【 答案】受影响的时间为12秒 .【 解析】试题分析：过点A 作 ABLDP 丁点B , 则 AB是点A 到道路M N的最短距离，结合己知条件求出A B的长度为80米,由 80<100可知，学校要受影响；再以点A 为圆心，100米为半径作圆A 交 M N于点C 和点D , 连接AD、C D ,利用己知条件求出C D 的长，用 C D 的长度除以1 0 ,可得受影响的时间.试题解析：作 A B ±D P于 B , 则 AB为 A 到道路的最短距离，在 RtAAPB 中，\: /NPQ=45 ，.♦.NPAB=/NPQ=45 ，.♦.BA=BP,二 BA?+BP2=AP2=( 8 0 a )2,.♦.BA=BP=80,：80 小于 100 ,, 有影响；以点A 为圆心，10()米为半径作圆A 交 M N于点C 和点D , 连接AD、CD,. •. 在 RtaABD 中，BD=71002 - 802 - 6 0 (米) ，VAC=AD, ABXCD,...CB=BD=60,受影响的时间为:(60x2) +10=12秒 .1 6 .到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心. 举例：如图，若 AD平分/C A B ,则 AD上的点E 为aA B C 的准内12心.应用：(1)如图AD 为等边三角形ABC的高， 准内心P在高A D 上， 且 P D =』 A B ,则NBPC的度数为 度.( 2 ) 如图已知直角AA BC 中斜边AB=5, BC = 3 , 准内心P在 BC边上，求 CP的长.4【 答案】(1) 90； ( 2 ) -3【 分析】(1)根据等边三角形性质和已知推出PD = BD = D C ,即可得出答案;( 2 ) 过 P作 PD_LAB,在 Rt^BDP中根据勾股定理得出方程，求出即可.【 解答】解：(1) T A D 为等边三角形ABC的高，ABD= — AB, CD = BD,21・.・PD= — AB,2・ ・ ・BD=DP=CD,・ ・ ・NBPC=90。

，故答案为：90：( 2 ) 由勾股定理易知AC=4,过 P 作 PDJ_AB于 D,根据题意知PC=PD, AD=AC=4,4设 C P = x ,在直角4B D P 中 BP=3 - x, DP=x, BD= 1 由勾股定理得CP=x= — .3【 点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，读懂题意，弄清楚准外心的定义是解题的关键.1 7 .铁路上A,B两站(视为直线上的两点) 相距50km, C,D为两村庄(视为两个点) ，DA_LAB于点A,13C B 1A B 于点B （ 如图）. 己知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C.D两村庄到收购站E 的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E 到 A 站的距离.【 答案】收购站E 到 A 站的距离为22km【 解答】 分析： 连接C R 并作线段8 的垂直平分线， 垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求E A长 .点睛：如图， 连接CD,并作线段C D的垂直平分线， 与A B相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.连接 DE.CE ,设 AE=x k m ,则 BE=（ 50-x） km ,在 Rt^ADE 中,D E2 = D A2 + A E2-A DE2 =202 +A:2 ,在 RtABCE 中,CE? = CB? + B E ? ,••・ CE2 = 102+（ 5 0 -X）2,又 DE=CE, ： . 202+X2 =102+（ 5 0 -X）2 ,解得x=22 .二收购站E到A站的距离为22km.点睛：勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.1 8 .如 图 （ 1） , 是两个全等的直角三角形（ 直角边分别为a, b , 斜边为c ） . 用这样的两个三角形构造成如14图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2.【 答案】见解析【 分析】图（2）的面积由直接求与间接求两种方法求出，两者相等整理即可得证.【 解答】证明：由 图（2）可得：万3 +加（ 。

+/+万+万出? ’整理得:a2 + 2ab + b2 2ah + c22 - —2 -整理得：a2+b2=c2.【 点评】此题考查了勾股定理的证明，用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法.1 9 .如图，在AABC 中，ZC=90°, M 是 BC 的中点，M DLAB 于 D ,求证：A D2 = A C2 + B D2 .【 答案】见解析【 分析】连接A M得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD?、AM?、BM2进行代换就可以最后得到所要证明的结果.【 解答】证明：连接AM,.♦.A gA M -M /A , BW=BD2+MD2,15V Z C =9 0 °,J . A ^ A O + C M2•: M为B C中点"： .BM=MC..,.AD^A^+BD2【 点评】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素.2 0 .如图所示，ZB=ZOAF=9 0°, 8 0 =3 cm , AB=4 cm, 4尸=1 2 c m ,求图中半圆的面积.1 69 7 T【 答案】图中半圆的面积是 空 把cm 2 .8【 分析】先根据勾股定理求出A O , F O的长，再根据半圆面积计算公式计算半圆面积即可.【 解答】解：如图，；在直角a A B O中，Z B=9 0 °, BO=3 cm , AB=4 cm,-'-AO= ^BOr + A B1 =5 cm -则在直角△A F。

中，由勾股定理，得到FO= NAO? + A f 2 = 1 3 cm ,・・.图中半圆的面枳= —02FO169兀169兀( cm2) .1 69冗答：图中半圆的面积是8【 点评】此题重点考察学生对勾股定理的实际应用能力，熟练掌握勾股定理是解题的关键.2 1 .线段 a、b、c 且满足| a- V1 8 I+ （ b- 4 / ）2 + & -病= .求：（ 1 ） a、b、c 的值；（ 2 ）以线段 a、b、c能否围成直角三角形.【 答案】线段a、b、c能围成直角三角形【 解析】试题分析：（ 1 ）根据非负数的性质，让其分别等于0即可求出a、b、c的值；（ 2 ）根 据（ 1 ）的结果，分别求a?, b2, c2,然后根据勾股定理逆定理可证明.试题解析：（1）| a _ VTs 1 + （ b - 4 ） 2+ yjc - y[5 0 =0 >•* . a - V1 8 =0 , b- 4a =0 , c - 7 50 =0 ,即 a=3 y /2，b=4 72 > c=5 72 ；（ 2） Va2+b2= （ 3 ^/2）2+（4 7 2）2=50,c2= （ 572 > 2=50,a2+b2=c2,线段a、b、c能围成直角三角形.点睛：此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是求出a、b、c的关系式a?+b2=c2.2 2 .如图，在△ABC中，AB=30cm, BC= 35 cm, Z B = 6 0 °,有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动,动点N自B向C以2cm/s的速度运动，若M, N同时分别从A, B出发.（ 1）经过多少秒，△BMN为等边三角形；（ 2）经过多少秒，△BMN为直角三角形.【 答案】（1）出 发10s后，△BMN为等边三角形；（2）出发6s或15s后，△8M N为直角三角形.【 分析】（1）设时间为x ,表示出AM=x、BN=2x、BM =30-x,根据等边三角形的判定列出方程，解之可得；（2）分两种情况：①/BNM =90。

时，即可知NBMN=30°,依据BN=，B M列方程求解可得；②/BM N=902时，知NBNM=30 ，依据BM =L B N列方程求解可得.2【 解答】解（1）设经过x秒，4B N IN为等边三角形，则 AM = x, BN = 2x,.,.BM = A B -A M = 3 0 —x,根据题意得30—x=2x,解得X— 10,答：经 过10秒，aB N IN为等边三角形；（ 2）经过x秒，4 B M N是直角三角形，①当ZBNM =90 时，17VZB=60°,；.NBMN=30°,.\B N = -B M ,即 2X='（3 0 -X） ,2 2解得x=6；②当NBMN=90 时，VZB=60°,NBNM=30°,1 un 1.♦ .B M = -B N ,即 30—x = -x 2 x ,2 2解得x=15,答：经过6 秒 或 15秒，ABKIN是直角三角形.【 点评】本题考查勾股定理的逆定理，等边三角形的判定.2 3 .在 RtAABC中，NC = 9O°, AC = 6 , 点 是斜边A B 的中点，作 D E _LA 3,交直线A C 于点E.（ 1）若 NA = 3 0 ° ,求线段CE的长；（2）当点E 段A C 上时，设 6C = x, C E = y ,求 > 关于x 的函数解析式，并写出定义域;（ 3）若 CE = 1 ,求 8 C 的长.【 答案】（1） CE = 2； （ 2） y = 3- . （ O < xW 6 ）：（3）满 足 条 件 的 的 长 为 2 #，473 .【 分析】（1）连 接 B E ,点 D 是 A B 中点且DELAB, BE=AE,利用线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形即可求出线段CE的长；（2）连接B E ,则 AE=BE=6-y,由勾股定理得BC2+CE?=BE2, B R x2+y2= （ 6-y） 2, 整理即可得出y 关于x2的函数解析式y = 3- 菅（ 0< x W 6）；（ 3）此题有两种情况：①是当点E 段AC上时，由（2）得1 = 3-工 ，解得x 即可：②是当点E 在1218AC延长线上时，AE=BE=7,由勾股定理得BC2+CE2=BE2即X2+12=72.解得x 即可.【 解答】（ 1）如图，连接B E ，: 点 。

是A 3中 点 且JL钻 ，，BE=AE,V Z C = 90°, ZA = 30°，... ZABC=90°-ZA=60°, ZA B E = ZA = 30°Z.CBE = ZA B C - ZA B E = 30° ,C E ^ - B E = - A E ,2 2AC = 6 ，AC=AE+CE,，CE = 2,(2) 连接 BE ,则 A E = BE = 6 - y ,在 RtABCE 中，由勾股定理得 3 c 2 + C E 2 = 8 E 2 ,即 Y + 丁 = （ 6 —y j ,r2解得 y = 3 —= ( 0 < x < 6 )Y（ 3）①当点E 段A C 上时，由 （ 2）得 1 = 3 一二,12解得x = 2卡 （ 负值已舍）②当点E 在 A C 延长线上时，19AE = BE = 1,在R t A BC E中，由勾股定理得Be ? + CE? = BE?，即f +*= 7 2 .解得x = 4g （ 负值已舍）综上所述，满足条件的8C的长为2#，4 7 3 .【 点评】此题主要考查勾股定理、线段垂直平分线的性质和含3 0度角的直角三角形， 二次函数的应用.（ 1 ）中熟练掌握线段垂直平分线的性质和含3 0度角的直角三角形的性质是解题关键；（ 2 ）中能利用勾股定理建立x , y的等式是解题关键；（ 3 ）中能分类讨论是解题关键.2 4 .如图所示，在直线/上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1, 2 , 3 ,正放置的四个正方形的面积分别为加，邑，S3, S4,求¥ + 5 2 + 邑 + 5 4的值.【 答案】S , + 52 + S3 + 54= 4 .【 分析】先利用三角形的全等，得出中间斜放的正方形与相邻的两个正方形的边长刚好可以组成一个直角三角形，从而根据勾股定理可以得出，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答.【 解答】如图，因为四边形A C E尸是正方形，20所以 AC = CE，ZACE = 90°.所以 4 + N2 = 90。

.乂因为 N2+N3 = 90°，所以N1 = N3.在aA B C 与4C D E中，因为N1 = N3，Z A B C = N C D E ，A C = CE,所以 M B C = \ C D E （ A A S ） .所以B C = DE.在RrAABC中，根据勾股定理，得 A B2 + B C2 = A C2，所以 482 + 0^2 = 42，即 5 | + $2 = S正方形ACEF =1 .同理 S3 + S4 =3.所以 S] + §2 + S3 + S4 = 1 + 3 = 4.【 点评】本题考查勾股定理以及三角形全等的性质与判定，解决本题的关键是能利用三角形全等得出相邻两个三角形以及斜三角形之间的关系（ 它们的边长可以组成一个直角三角形）.25. （ 1）如 图 1 ,在 RIZXABC和 RtZXADE中，AB=AC, A D = A E ,且点在 8 c 边上滑动（ 点 不与点8,C 重合） ，连接EC,①则线段BC, DC, EC之 间 满 足 的 等 量 关 系 式 为 ；②求证：Biy+CD2=-2AD2；（ 2）如图 2 , 在四边形 ABC。

中，NABC=/ACB=NADC=45 .若 80=9, C D = 3 ,求 AO 的长.【 答案】（1） ①8c=D C +EC ,理由见解析；②证明见解析；（2） 6.【 解析】【 分析】（1） 证明aBAD丝A C A E ,根据全等三角形的性质解答;21(2)根据全等三角形的性质得到BD=CE, Z A C E = Z B ,得到NDCE=90 ，根据勾股定理计算即可；(3)作 A E L A D ,使 A E = A D ,连接CE, D E ,证明ABAD丝4 C A E ,得至B D = C E = 9 ,根据勾股定理计算即可.【 解答】G ) ①解：BC=DC+EC,理由如下：ZBAC=ZDAE=90°,：. ZBAC - /Q A C = NDAE - ADAC,即在△840 和△CAE 中， AB = AC ,ZBAD = ZCAEAD = AE.,.△BAO畛△ CAE (SAS),：.BD=EC,；.BC= DC+BD=DC+EC,；故答案为：BC=DC+EC；②证明：：RtZ\A8C 中，AB=^AC,.,.NB=NACB=45 ，由 (1 ) 得，△BADQXCAE,：.BD=CE, ZACE=ZB=45°,：. ZDCE= ZACB+ZACE=90°,.-.Ce+ CD ^ED2,在 RtAACE 中，A D lA S E D2,又 AD=AE,.•.»+C£>2=2心；( 2 ) 解：作 A E L A D ,使连接CE, D E ,如图2 所示：22图 2・ ・ ・ ZBAC+ZCAD= ZDAE+ZCAD,即/氏4O=NC4E,在△BAO 与△C4E 中， AB = AC ,△ BAD = ZCAEAD = AE：./\B A D ^/\C A E (SAS),:・BD=CE=9,V ZADC=45% NE£>A=45。

，J ZEDC=90°,' DE= 7CE2-CD2 =792-32= 6拒'VZDAE= 90°,.\AD=AE=^DE=6.2【 点评】本题是四边形综合题目，考查的是全等三角形的判定和性质、等直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识: 本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.23。