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第四章 动态系统的稳定性分析要点：李雅谱诺夫稳定性定义李雅谱诺夫间接法李雅谱诺夫直接法难点： 李雅谱诺夫直接法4-1李雅普诺夫稳定性定义定义4-1 对n阶自由系统=f(x,t)，若存在某一状态，对所有t都有，则称为系统的平衡状态或平衡点定义4-2 （李雅普诺夫意义下稳定）对任意ε>0，存在δ(ε,)>0当，有，（对t>）.则称平衡状态是李亚普诺夫意义下稳定，简称李氏稳定若δ(ε,)= δ（ε），与无关，则称一致李氏稳定定义4-3 （渐近稳定） 若系统不仅是李亚普诺夫意义下稳定，且有，则称平衡状态是渐近稳定若δ(,)= δ（ε），与无关，则称一致渐进稳定定义4-4 （大范围渐近稳定） 若对任意，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定定义4-5 （不稳定） 若对任意给定实数ε>0，不论δ怎么小，至少有一个，当，则有，则称平衡状态不稳定4-2李雅普诺夫间接法李雅普诺夫间接法是根据A的特征值卡判断系统的稳定性一、 线性定常系统的稳定性定理4-1（间接法稳定判断定理） n阶线性定常系统，平衡点为=0，有（1）是李雅普诺夫意义下稳定的，其充要条件是A的约当标准形J中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部。

2）是渐近稳定的充要条件是A的特征值均有负实部3）是不稳定的充要条件是A有，某特征值具有实部例4-1 x 判=0平衡点的稳定性解 A的特征值所对应约当块是二维的 =当有故=0是不平衡点二、 非线性系统的稳定性对线性系统=f（x，t），设为其平衡点首先将系统在附近线性化，在邻域内展成泰勒级数，即 令，则系统的线性方程为 在一次近似的基础上，李雅谱诺夫给出以下结论：（1） A的特征值均有负实部，则渐近稳定，与R（x）无关2） A的特征值至少有一个有正实部，则不稳定，与R（x）无关3） A的特征值至少有一个实部为0，A的特征值至少有一个的稳定性与R（x）有关，不能由A来决定4-3李雅谱诺夫直接法一、 稳定性的判别法定理4-2 社n阶系统为，平衡状态为=0，如果存在一个标量函数 V（x）它满足：（1） V（x）对所有x都有联系的一阶偏导数；（2） V（x）是正定的，即V（x）>0；（3） ，若有（a）是半负定，即0则是李氏稳定b）是负定的，即<0则是李氏稳定但不恒等于0，（使=0的解不是状态方程的非零解）是间接稳定d）对（b）和（c），当有，则是大范围渐近稳定。

e）正定，即>0，则不稳定例4-5 其中，a为常数，试确定平衡点的稳定性解 =0是唯一的平衡点试取 显然，V（x）>0，且有连续一阶偏导 = =当a>0时，有，根据定理4-2中（b），是渐进稳定的平衡点且当，，故有大范围渐进稳定；当a=0时，有，根据定理4-2中（a），是李氏稳定的平衡点；当a<0，有，根据定理4-2中（e），是不稳定的平衡点所选V（x）可判稳定性，故是李雅普诺夫函数二、 克拉索夫斯基方法对，是平均点，定理4-3 取若<0，则是渐近稳定的，是李氏函数，即当，有，则大范围是渐近稳定推论4-1 对线性定常系统，若A非奇异当，则=0是大范围渐近稳定例4-10 判断平衡点稳定性解 显然A非奇异，=0是唯一平衡点 其顺序主子式为，由推论4-1，有是大范围渐进稳定三、 李雅谱诺夫方程对线性定常系统，克拉索夫斯基并非都有效下面给出判别线性定常系统渐近稳定的充分必要条件： 取正定二次型做李氏函数；，P为正定对称镇阵，则=+=+= 式中：若Q是正定对称阵，则<0。

系统是渐近稳定的从而有；定理4-4 渐近稳定的条件是，给定一个对称阵Q，若存在一个对称正定的P阵，满足李氏方程：李氏函数为为了方便，常数Q=I>0，由（4-5）确定P，若P正定，则稳定例4-11 分析平衡点的稳定性解 取Q=I设 为对称矩阵，即由李雅普诺夫方程有 = =则有 解得 即 P= P的顺序主子式为 根据希尔维斯特判据，有P>0，即P是对称正定矩阵，再根据定理4-4可判系统是渐进稳定的系统的一个李雅普诺夫函数为 。