Gold序列与m序列仿真应用.doc

. 1. 绪论m序列具有优良的双值自相关特性，但互相关特性不是很好作为CDMA通信地址码时，由于互相关特性不理想，使得系统多址干扰影响增大，且可用地址码数量较少在某些应用场合，利用狭义伪随机序列复合而成复合序列更为有利这是因为通过适当方法构造的复合序列具有某些特殊性质Gold序列就是一种复合序列，而且具有良好的自相关与互相关特性，地址码数量远大于m序列，且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛应用表1是m序列和Gold序列的主要性能比较，表中为m序列的自相关峰值，为自相关主峰；为Gold序列的互相关峰值，为其自相关主峰从表1中可以看出：当级数n一定时，Gold序列中可用序列个数明显多于m序列数，且Gold序列的互相关峰值和主瓣与旁瓣之比都比m序列小得多，这一特性在实现码分多址时非常有用表1. m序列和Gold序列性能比较 在引入Gold序列概念之前先介绍一下m序列优选对m序列优选对，是指在m序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)最接近或达到互相关值下限(最小值)的一对m序列设{ai}是对应于r次本原多项式F1(x)所产生的m序列， {bi} 是另一r次本原多项式F2(x)产生的m序列，峰值互相关函数满足 （1）则m序列{ai}与{bi}构成m序列优选对。

例如：的本原多项式与所产生的m序列与，其峰值互相关函数满足式（1），故与构成m序列优选对而本原多项式所产生的m序列，与m序列的峰值互相关函数，不满足上式，故与不是m序列优选对2. Gold序列1967年，R·Gold指出：“给定移位寄存器级数r时，总可找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加方法构成新码组，其互相关旁瓣都很小，且自相关函数和互相关函数均有界”这样生成的序列称为Gold码（Gold序列）Gold序列是m序列的复合序列，由两个码长相等、码时钟速率相同的m序列优选对的模2和序列构成每改变两个m序列相对位移就可得到一个新的Gold序列当相对位移1，2，…，2r-1个比特时，就可得到一族2r-1个Gold序列，加上原来的两个m序列，共有2r+1个Gold序列，即 （2）产生Gold序列的移位寄存器结构有两种形式一种是乘积型，将m序列优选对的特征多项式乘积作为新的特征多项式，根据此2r次特征多项式构成新的线性移位寄存器，参见图（1），图中特征多项式为，，其乘积多项式为另一种结构是模2和型，直接求两m序列优选对输出序列的模2和序列，参见图（2）。

图1. 码长2为N=63的乘积型Gold码发生器图2. 码长2为N=63的模2和型Gold码发生器理论上可以证明，这两种结构是完全等效的它们产生的Gold序列周期都是N=2r-1可以证明：复码的周期是组成复码的子码周期的最小公倍数由于组成复码Gold序列的子码的周期都是N=2r-1，故Gold序列的周期是N=2r-1由m序列优选对模2和产生的Gold序列族中2r-1个序列不再是m序列，不再具有m序列的特性任意两序列之间的互相关函数满足 （3）由于Gold序列的这一特性，使得码族中任一码序列都可作为地址码，这样采用Gold码族作地址码，其地址数大大超过了用m序列作地址码的数量，所以Gold序列在多址技术中得到了广泛的应用表2. Gold序列的三值互相关函数特性Gold码序列具有三值互相关函数的特性：当r为奇数时，码族中约有50%的码序列有很低的互相关函数值(-1)（非归一化）；当r为偶数但不是4的整倍数时，码族中约有75%的码序列有很低的互相关函数值(-1) （非归一化）其三值互相关函数特性见表（2）Gold序列自相关函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出现的位置不同。

Gold码族同族（周期长度相同的序列）互相关函数取值已有理论结果，但不同族之间互相关函数的取值尚无理论结果不同Gold码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，且互相关值已大大超过同族的互相关值3. m序列优选对的寻找前面在介绍Gold码序列的构造时已指出，Gold序列可由m序列的优选对来构成，即要想构造出或求出Gold码序列，首先要找到m序列的优选对下面介绍一种寻找m序列优选对的方法3.1优选对寻找方法1若a是2r 阶有限域GF(2)的一个本原元，f1(x)与ft(x)是2r阶有限域GF(2)上的r次本原多项式，a是f1(x)的首根，取 （4）使at为r次本原多项式ft(x)的一个根，则以r次本原多项式f1(x)与ft(x)为特征多项式的m序列就构成m序列优选对例：对于r＝7，N=2r-1=127，设a是27阶有限域GF(2)的一个本原元，以a为首根的本原多项式为(附录1 r＝7 1 211E)由式（4）可求出则以a17为根的本原多项式ft(x)所产生的m序列和f1(x)所产生的m序列构成m序列优选对a17是本原多项式ft(x)的一个根，但可能不是首根。

根据有限域的理论：若a t是r次不可约多项式ft(x)的一个根，那么是ft(x) 其余的r-1个根在计算时，需要注意由于a是2r阶有限域的本原元，则有据此，可以求出以a17为根的本原多项式ft(x)的所有根：按幂次大小排列为，其中a9为的首根由附录1得(附录1：r＝7 9 277 E)上面介绍的方法有一个最大的局限，这就是该方法只能求出附录1中第一个多项式对应的m序列优选对，事实上求解m序列优选对的方法很多，下面再介绍一种3.2 优选对寻找方法2若a是2r阶有限域GF(2)的一个本原元，与是2r阶有限域GF(2)上的r次本原多项式，ak是的首根，t按照式(4) 取值，令的共轭类首元[kt]r 为r次本原多项式首根的幂指数，即它的首根为，则以本原多项式和为特征多项式的m序列构成m序列优选对下面介绍的共轭类首元的求法对于任意的正整数，模（）运算后，可用 位二进制数来表示为将其循环移位得到的一组（r个）二进制数称为的共轭类，而其中最小者称为的共轭类首元，用符号来表示例：对于r=7，N=2r-1=127 ，设a是27阶有限域GF(2)的一个本原元，设k＝1，以ak＝a作为首根的本原多项式为 (附录1： r＝7 1 211 E)由式(4)得的共轭类为0010001，1001000，0100100，0010010，0001001，1000100，0100010共轭类首元，以a 9为首根的为4. 平衡Gold序列与其产生方法4.1 平衡Gold码 Gold码就其平衡性来讲，可以分为平衡码和非平衡码。

平衡码序列中一周期1码元和0码元的个数之差为1，非平衡码中1码元和0码元的个数之差多于1平衡Gold码和非平衡Gold码的数量关系如下表所示表3. 为奇数时的平衡Gold码和非平衡Gold码数量表表4.为偶数时的平衡Gold码和非平衡Gold码数量表例如，的Gold序列族，平衡码序列的数量为257个（包括2个m序列），非平衡码序列的数量为256个在扩频通信中，扩频码平衡性(序列中0与1的均匀性)影响系统质量，平衡码具有更好的频谱特性在DS-SS系统中，码的平衡性与载波抑制度有密切关系码不平衡时直接序列系统的载波泄漏增大，从而破坏扩频通信系统的性、抗干扰与抗侦破能力下表给出9~18级Gold码对载波抑制度的影响，从表中可以看出：平衡码使载波抑制性能下降一半(分贝数)，增加码长对载波抑制性能改善不是十分明显因此在DS-SS系统中选用Gold码作扩频码时，应选用平衡Gold码表5. 码的平衡性对载波抑制的影响4.2平衡Gold码的产生方法 为了寻找平衡码，R·Gold给出特征相位描述：每一个最大长度序列都具有特征相位（序列的初始状态），当序列处于特征相位时，具有每隔一位抽样与原序列一样的特性。

这就是序列处于特征相位的特性 设序列的特征多项式是一个次本原多项式，其特征相位由 之比来确定其中是生成函数，其次数等于或小于r，求取算法 （5）特征相位多项式定义为 （6）例：对于本原多项式，根据式（5），得根据式(6)得特征相位多项式为长除得因而得特征相位为111(r=3)在序列的初始状态为111时，序列的输出与抽样结果为可看出，每隔一位抽样后的序列仍是原序列此时，序列处于特征相位，其特征相位为111截止目前，我们得到了处于特征相位的m序列优选对为了得到平衡Gold码，还需要确定m序列优选对之间的相位关系若序列、处于特征相位上的m序列优选对当r为奇数时，其特征相位多项式只有取的形式，此时最高次幂为，的最高次幂，长除结果才会具有这种形式，即特征相位的序列第一个符号是1对于处于特征相位上的与序列的移位寄存器，当移动序列的第一个0对应于序列的第一个1时，两序列模2和就可得到平衡序列下面来研究两个例子，来说明如何寻找平衡码例1：设r＝5的优选对为 相应的生成函数特征相位由长除得到状态为 当以为基准，其特征相位为11101(r=5)。

移动序列，使第一个0对准序列的第一个1，则序列的初始状态为00001，此时符合相对相位要求，能产生平衡Gold码的状态为根据上面所求的的特征相位，每一个特征相位对应的序列与序列模2和可产生15个平衡Gold序列，加上m序列与，r=5 的平衡Gold序列共有17个例2：构造r＝11，码长211-1的Gold平衡码选优选对(4005)8与(7335)8来产生平衡码其本原多项式为以序列为参考序列，其生成函数与特征相位多项式为特征相位为(10000000000)，如图3寄存器中符号×表示状态任意，可以是0，也可以是1，但不能全部为0图3. Gold平衡码发生器电路5. Gold序列仿真分析与应用5.1 Gold序列与m序列仿真比较仿真时采用5阶移位寄存器,由本原多项式和本原多项式生成的m序列为m序列优选对，以此优选对为例来产生Gold序列仿真得到的Gold序列和m序列如图4所示，图中只显示序列的一个周期，周期长度为31，即25-1图4. 周期长度为31的Gold序列和m序列下面从序列的相关特性方面对m序列和Gold序列进行比较，图5是关于两种序列的自相关和互相关特性的仿真结果对比m序列和Gold序列的自相关特性仿真结果，可以看出：m序列严格满足自相关二值特性，完全满足扩频序列对自相关特性的要求，而Gold序列的自相关特性在时延不为零处不如m序列，在时延为零处具有与m序列相同的峰值特性，显然，m 序列自相关曲线要比Gold序列自相关曲线整体上平缓，由此也可以得出，m序列的自相关性比Gold序列的自相关性要好。

对比两种序列的互相关特性仿真结果，可以看出：Gold序列的互相关曲线与m序列相比要更小，具有更小的旁瓣值，更小的互相关峰值，Gold序列的互相关性比m序列的互相关性好比较Gold序列的自相关和互相关可以看出：Gold序列自相关函数值的旁瓣取三值，互相关函数值也取三值，只是出现的位置不同图5. m序列与Gold序列性能对比图5.2 平衡Gold码的频谱分析图6. 平衡码和非平衡码的频谱特性对比从图6频谱特性对。