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非可积方程理论非可积方程理论 物理工程中的非线性波动现象大多由非可积方程描述对于非可积方程，反散射理论不 再适用，孤立子摄动理论一般也不怎么有效在此，我们讨论非可积方程的数学理论 非可积方程的研究在最近 20 年来有了长足的发展人们发现，在非可积方程中孤立波可以不 稳定稳定的孤立波可以有 internal modes这些 modes 引起孤立波形状的长时间的振动孤 立波的碰撞可以非常复杂（远非弹性碰撞） 孤立波还可以嵌入在波动方程的连续谱内 （embedded solitons） 在 2+1 位情形，孤立波可以在横向（transverse direction）出现不稳定 性，并且可以出现 critical collapse 现象最近兴起的光波在周期介质中的传播行为也由非可 积方程刻画，并且其解（如孤立波稳定性等）也出现了很多新的有趣的现象 下面我们用模型方程 2()0(1)zxxiuuF uu++= 来发展非可积方程理论（这里(0)0F=） 此方程描述光孤立波在非 Kerr 介质里的传播行为在一般情形下，此方程不可积它有三个守恒量：质量 P，动量 M，和 Hamiltonian H： 2**22(2)()()(4xxxPu dxMiu uu u dxHuG udx≡≡−⎡⎤≡−⎣⎦∫ ∫ ∫(3))这里。

( )( )G yF y′=1．． 孤立波的解析表达式孤立波的解析表达式 对于一个非线性波动方程，我们常常从它的孤立波入手对于方程(1)，它的静止的孤立 波形式为 ( , )( ; )(5)i zu x zxeββ=Φ 这里( ; )xβΦ为一实函数，0 as xΦ →→ ∞，β为传播常数 注意方程(1)具有 Galilean（伽利略）不变形，即从它的静止的孤立波通过 Galilean 变换我们可以得到运动的孤立波： 211vv24( , )(v ;)(6)i xiz i zmovingux zxzeββ−+= Φ− 在一些具体情形下，解( ; )xβΦ有显式的解析表达式比如，考虑函数 22()(7F uuuσσαγ=+) 在此情形下，当把方程(5)和(7)代入(1)中并积分一次，我们得到 1 2222(1)2(8)21d dxσσαγβσσ++Φ⎡⎤=Φ −Φ−Φ⎢⎥++⎣⎦这里积分常数已由条件0x xd dx=∞ =∞ΦΦ==消掉方程(8)可以由变量代换yσ=Φ求解其解为： 1( ;)(9)coshAxBDxσβ⎡⎤Φ=⎢⎥+⎣⎦这里(2)BAσβ α+=，Dσβ=，1 222(2)sgn( ) 1(1)Bσγασ αβ−⎡⎤+=+⎢⎥+⎣⎦，而β为自由参数。

当1α=，0γ=和2σ=时，解(9)退化为一般代数孤立波（algebraic solitons） ： 122222(2)(1)/( )(11)(1)(2)/aluxxσσσα σσσγ α⎡⎤−++=⎢⎥+++⎣⎦此孤立波在x = ∞处以 power law 衰减：2 ( )aluxxσ−∼ 2．． 孤立波的线性稳定性和孤立波的线性稳定性和 internal modes 在可积方程里，孤立子一般是稳定的实际上，它们不光稳定，连碰撞后也保持形状不 变但在非可积方程中，孤立波不见得稳定，更不用提弹性碰撞了即使非可积方程中的孤 立波是稳定的， 其线性化算子的谱中往往也有离散的纯实数特征值 （即所谓的 internal modes） 而这些 internal modes，在可积方程是没有的Internal modes 的存在对孤立波在扰动下的发展 及孤立波的碰撞都有重大影响这里我们讨论模型(1)中孤立波的线性稳定性及 internal modes 的产生机制 为讨论孤立波的线性稳定性，我们对孤立波(5)做微小扰动， {}***( , )( ;)[v( )w( )][v ( )w ( )](12)i zizi zu x zxxx exx eeλλββ−= Φ+−++ 这里v(。

当把此扰动解代入到方程(1)中并线性化，我们得到特征值问题 ), w( )1xx?(13)LYYλ= 这里 012 2 022 222 12v(14)w0(15)0()(16)()2()(17)YLLLdLFdx dLFFdxββ⎛⎞≡⎜⎟⎝⎠⎡⎤=⎢⎥⎣⎦= −+−Φ′= −+−Φ− ΦΦ算子 L 的特征值具有一个简单对称性：如果λ为一特征值，则*,,*λλλ−−也都为特征值因此 L 的特征值总是成对或者成四出现的另外，0λ=总是 L 的离散特征值，并且此 零特征值的几何重数为 2，代数重数为 4其对应的两个特征函数为： 210,, 0ddYYx∂Φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==∂⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦⎢⎥⎣⎦(18) 两个广义特征函数为： 1201,(19)102aaxYYβ−⎛⎞⎛⎞∂Φ=Φ=⎜⎟⎜⎟−∂⎝⎠⎝⎠并且 1122,(20)adadLYYLYY== 这些特征函数及广义特征函数与解(6)的位置，相位，振幅和速度的任意性有必然的关系 算子 L 的连续谱很容易从x → ∞的极限下得到其连续谱为{},λλβ∈≥? L 的离散谱一般包括如下三类特征值 ? λ为非零实数（internal modes） ? λ为纯虚数（指数不稳定性） ? λ为复数（实部与虚部均非零） （振动不稳定性） 但对于方程(1)来说，我们实际上可以证明λ只能为实数或纯虚数。

为证明这一点，我们 首先将其线性化方程(13)写为如下形式： 2 01vv(2L Lλ=1) 注意到算子有如下分解 0L0(22)LL L+−= ( )(23)( )dxLdxx±′Φ= ±+Φ因此特征值问题(21)可以用变量代换vL v+=?表述为 2 1vv(2L L Lλ−+=??4) 显然L−与L+互为 Hermitian，即因此†()LL−+=1L L L−+为 Hermitian 算子，从而其特征值2λ必须为实数，也就是说λ必须为纯实数或纯虚数 下面我们先考虑λ为纯实数（internal modes）的情形容易知道，可积的 NLS 方程中孤 立子的线性化算子是没有 internal modes 的那么不可积的方程(1)的孤立波会不会有 internal modes 呢？如果会，这些 modes 是从哪里来的呢？ 为回答这些问题，我们考虑扰动的 NLS 方程并令 222()()(18F uuf uε=+) 这里1ε?为一小参数扰动后的孤立波为： 2 01( ;)( ;)( ;)()(19)xxxoββεβεΦ= Φ+ Φ+ 其中0( ;)2sech(20)xxβββΦ=，为 NLS 孤立子。

校正项1( ; )xβΦ有以下方程得到： 22 1101003()xxfβΦ− Φ + Φ Φ = −Φ Φ(21) 特征值问题(13)至( )Oε可展开为： (0)(1)()(22)LLYYελ+= 这里(0)L为 NLS 孤立子的线性化算子，(1)L为一阶矫正项， (0)(1) (0)(1)00 (0)(1) 1100,(00LLLLLL⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠23) 2 (0)2 0022 (0)2 102(1)2 0001(1)222 100001(24)3(()2(26)()2()6(27)dLdx dLdx LfLffββ= −+−Φ= −+− Φ= −Φ− Φ Φ′= −Φ− ΦΦ− Φ Φ25) 当0ε=时，特征值问题(22)为 NLS 孤立子线性化算子(0)L的谱问题，因此是完全可以求解的其谱结构为： 离散特征值：0λ= 离散特征函数： 12000,, 0ddYYx∂Φ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==∂⎢⎥⎢⎥Φ⎣⎦⎢⎥⎣⎦(28) 广义离散特征函数： 120 001,,(29)102aaxYYβ−⎛⎞⎛⎞∂Φ=Φ=⎜⎟⎜⎟−∂⎝⎠⎝⎠本征关系： 121122(0)(0)(0)(0)0(30),(ddadadL YL YL YYL YY====31)连续特征值： 2(),kkλβ= ±+−∞ 0ε=时，λβ=， ( ;0)( ),( ;0)(0)(0)0(45)nnkkkαδααβ+−==== 若0ε≠?1，从方程(39)可以看出 1 222( ,0)( ; ),( ; )( ),( )( ),( )( )(46)nnKkkkOOOkhεαεαεεα εεβ εεε+ +− +∼∼∼∼ 注意方程(43)中积分的第一项在ki hε′= ±处有简单奇点。

利用复积分方法，我们发现在 0ε→的极限下，方程(43)变为 1( )(0)( ,0)(47)4akaKkhε ε±+±= − 为了使此公式自相容，参数 h 必须为 (1) 111sgn( )(0,0)sgn( )( ;0),( ,0)(48)44hKYxL Yxεε+++= −= − 并且以上公式表明，internal modes 产生的条件是公式(48)的右端量为正数在此 条件下，internal modes 特征值由公式(44)及(48)给出 0h >0ββ−iλiλ−λ−λ0ε=0ε≠时 internal modes 的产生 internal modes 碰撞产 生的指数不稳定性 时 L 的谱结构 下面我们考虑一个例子，即三阶与五阶非线性的情形这时 24()f uu= 经过简单计算，我们得到： 3 2 13cosh(2)2 2( ;)(50)3cosh ()xxxββββΦ= −⋅ 而 21 2sech ()( ,0)(51)1xYxβ+⎡⎤−=⎢⎥ ⎣⎦因而公式(48)给出 h 为 3 28sgn( )(52)9hβε= 这说明当0ε>时，internal modes 存在，其公式为 223641()81Oλβε βε⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦(53) 附图 1. Internal modes 数值与解析公式的比较。

（待做） Internal-modes 的存在与否对摄动解演化的影响的存在与否对摄动解演化的影响： (a)0.2,1:εβ==internal modes 存在 (b) 0.1,1:εβ= −=internal modes 不存在 初始扰动： ( ,0)1.2( ;)u xxβ=Φ, i.e., 20% 扰动 。