中考数学圆中常作哪些辅助线.doc

三人行教育培训中心 陈老师 15065709880 圆中常做的辅助线中考数学圆中常作哪些辅助线通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连.直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦.遇到相切圆，作条公切线.“有点连圆心，无点作垂线.”切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例1.如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO²，即证明PM•=PO²，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理=PC，只需证明PM•PC=PO²，由，“三点定型”法可判断需证明Rt△POC∽Rt△PMO.证明: 过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴，即∴PO2= PM•PC.∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例2．已知：△ABC中，∠B=900，O是AB上一点，以O为圆心，以OB为半径的圆切AC与D点，交AB与E点，AD=2，AE=1.ABCDEO求证:CD的长.分析：D为切点，连结DO，∠ODA=900.根据切线长定理CD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO ∴OD⊥AC于D, ∴∠OCP=900. ∵AB过O点, ∠B=900.∴BC为⊙O的切线, ∴CD=CB设CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=1∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=在Rt△ABC中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1++)2+x2, ∴x=3∴CD=3.三、连结公共弦在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。

例3．已知：如图，⊙O1和⊙O2相交于点A和B，O2O1的延长线交⊙O1于点C，CA、CB的延长线分 别和⊙O2相交于点D、E，求证：AD=BE. 分析：⊙O1和⊙O2是相交的两圆，作公共弦AB为辅助线.证明：连结AB交O2O1于P点 ，∵O1 O2⊥A B且O1 O2的平分AB∴CA=CB∴∠ACP=∠BCP∴点O2到线段AD、CE的距离相等∴AD=BE. 四、作连心线 两圆相交，连心线垂直平分两圆的公共弦；两圆相切，连心线必过切点.通过作两圆的连心线，可沟通圆心距、公共弦、两圆半径之间的关系.因此，“已知有两圆，常画连心线.”.例4．已知：如图，⊙A和⊙B外切于P点，⊙A的半径为r和⊙B的半径为3r, CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，求：（1）CD的长；（2）CD与弧PD及弧PC所围成的阴影部分的面积.解：连结AB、AC、BD∵⊙A和⊙B外切于P点，∴AB过P点∵CD为⊙A、⊙B的外公切线，C、D为切点，∴AC⊥CD，BD⊥CD过A点作AE⊥BD于E，则四边形ACDE为矩形.∴DE=AC= r，BE=BD-DE=3r-r=2r在Rt△AEB中，AB=AP+PB=r+3r=4r，BE=2r∴AE=.∴CD=2 r .∴COSB=，∴∠B=600.∴∠CAB=∠CAE+∠BAE=900+300=1200.∴S阴影=S梯形ABDC-S扇形BPD-S扇形ACP=4r2－πr2－πr2=（4－π）r 2.五、作公切线分析：相切两圆过切点有一条公切线，这条公切线在解题时起着非常重要的作用，如本题中，所作的内公切线MN起到沟通两圆的作用.因此，相切两圆过切点的公切线是常用辅助线.例５．已知：⊙O1和⊙O2外切于点A，ＢＣ是⊙O1和⊙O2外公切线，Ｂ、Ｃ为切点.求证：ＡＢ⊥AＣ证明：过切点Ａ作公切线ＭＮ交ＢＣ于Ｐ点，∵ＢＣ是⊙O1和⊙O2外公切线，∴ＰＢ＝ＰＡ＝ＰＣ∴∠PBA=∠PAB，∠PAC=∠PCA∵∠PBA+∠PAB+∠PAC+∠PCA= 180 0.∴∠BAC= 90 0.∴ＡＢ⊥AＣ.六、切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时, 往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1．无点作垂线.需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例6．已知：如图，AB是半圆的直径，AD⊥AB于A， BC⊥AB于B，若∠DOC= 90 0.求证：DC是半圆的切线.分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，如何证明△DEO≌△DAO呢？证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.又∵∠DOC= 90 0.∴ FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.∴OF∥AD .∴ ∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圆的半径.∴ DC是半圆的切线.2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例7．AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.分析：D在⊙O上，“有点连圆心”，连结DO，证明DO⊥DC即可. 证明：连结DO，∵OC∥AD ∴∠DAO=∠COB，∠DAO=∠DOC∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC ∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B∴∠OBC=900，∴∠ODC=900，又D 在⊙O上，∴CD是⊙O的切线. 1 。