信号与线性系统信号与系统讲稿8-3章节.pps

1,五、离散时间系统的 Z 域分析,连续系统 ：,时域,微分方程,复频域,代数方程,（微分性质）,离散系统 ：,时域,差分方程,Z 域,代数方程,（移序性质）,（一） 系统的零输入响应与零状态响应的求解法,1 零输入响应,考虑一个二阶系统：,2,零输入时：,取z变换：,由零输入初始值 决定,2 零状态响应,二阶系统：,,用ZT求系统零输入响应的步骤： （1）对系统的齐次方程进行ZT； （2）代入初始条件，求出 z 域内的零输入响应yzi(z)； （3）对yzi(z)进行反ZT即可得到零输入响应yzi(k)3,取z 变换：,零状态：,这里：,其中 仅由 引起，与系统的初始状态 无关,令,令,4,于是,那么,讨论：,① 在离散系统中可定义,——转移函数,转移函数可直接由差分方程写出：,② 转移函数与移序算子的形式相同,③ 是一个算符没有相消问题，而 是代数量可相消,④,⑤,——特征方程,确定系统的自然响应,用ZT求 yzs(k) 的步骤如下： （1）用移序算子将系统的差分方程写成算子形式； （2）写出转移算子H( S)，以z代替S即得系统的系统函数； （3）以e(k)的ZT E(z)与H(z)相乘，得到yzs(z)； （4）对yzs(z)进行反ZT 即得yzs(k)。

5,（二） 系统响应直接z变换求解法,直接对方程取 z 变换（消去有关激励信号初始值 e(0)、e(1) 的诸项）：,是与所加的激励无关的零输入初始值,系统响应总的初始值为：,一般给定的初始值 是指,例1 已知 ， , ,,求全响应,解 ：【方法一】,(1) 求,6,（2）求,或,7,(3)全响应,【方法二】,例2 求延迟器的H(z),x(k) y(k),解：,8,即,X(z) Y(z),例3 一线性时不变系统，设激励为单位阶跃序列时，已知其零状态响应为 a(k) , 试求系统的单位函数响应解 ：,9,例4 描述某线性移不变离散系统的差分方程为： y(k)+3y(k-1)+2y(k-2)=e(k)， y(-1)=0,y(-2)=0.5,e(k)=ε(k),求系统的响应y(k)解：先检验初始条件，令k=-1，代入差分方程得：,y(-1)+3y(-2)+2y(-3)=0 ，,可见y(-1),y(-2),y(-3)与激励无关，故为初始条件,再对差分方程（包括初始条件）进行z变换（激励函数边不考虑初始条件）：,代入y(-1)=0,y(-2)=0.5，得：,∴,10,（三） 离散时间系统系统函数对系统特性的影响,1.由系统函数的零极点分布确定单位函数响应,n 阶系统：（ ）,H(z) 为有理函数，则,（zi —零点， pj —极点,an=1）,11,若pj为一阶极点p1 , p2 ,… ,pn,则,单位函数响应 h(k) 的特性取决于 H(z) 的极点，其幅值由系数 Aj 决定，而 Aj 与 H(z) 的零点分布有关。

与拉氏变换类似，H(z) 的极点决定h(k) 的波形特征，而零点只影响h(k) 的幅度与相位2.离散时间系统的稳定性和因果性,离散时间系统稳定的充要条件是单位函数响应h(k) 绝对可和，即,12,（M 为有限值）,或,由 z 变换和系统函数定义可知：,当 z=1 （在 z 平面单位圆上）,系统稳定必须满足:,表明：稳定系统的 H(z) 收敛域应包含单位圆在内对于因果系统：,z 变换的收敛域为 （包含 点）,稳定的因果系统，应同时满足上述两个条件：,即对于稳定的因果系统其全部极点应在单位圆内13,例 某离散系统的差分方程为,（1）求系统函数H(z); （2）讨论此因果系统的收敛域和稳定性； （3）求单位函数响应h(k); （4）当激励为单位阶跃序列时，求零状态响应解：,（1）对差分方程两边取z变换，得,于是,（2）由于该系统为因果系统，故其收敛域为：,14,又因为H(z)的两个极点分别位于0.4和-0.6,它们都在单位圆内，所以该系统是一个稳定的因果系统3）,（4） 时,15,3.离散时间系统的稳定性判定,令,----双线性变换,则z平面和 平面之间是一种单值映射关系:,z平面的单位圆外映射到 平面为虚轴以右的半平面,z平面的单位圆内映射到 平面为虚轴以左的半平面,z平面的单位圆映射到 平面为虚轴,因此，根据特征方程 的根是否位于z平面中单位圆内来判定离散时间系统的稳定性问题，可归结为判定 域中的方程 的根是否位于 平面的左半平面,由此，对不易直接求出特征根的离散时间系统的稳定性问题可通过上述双线性变换后，再利用罗斯-霍维茨（R-H）准则来判定。

16,例 判定下列特征方程对应的系统是否稳定,解：（1）令,代入D(z)，并化简得,可见， R-H数列没变号，说明 的根都在 平面的左半平面，即 的根都在单位圆内，故其对应的系统稳定2）令,代入D(z)，并化简得,此系统不稳定,17,作业 四版: 8.15 [7.18中的(1)(3)(5)(7)] 8.18(1)(2) 8.20 三版: 8.16 [7.17中的(1)(3)(5)(7)] 8.18(1)(2) 8.20,。