2021年全国高中数学联合竞赛一试试题(A 卷).pdf

全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)一、选取题(本题满分3 6 分，每 小 题 6分)1 .函 数 力=上 士 二 在(-8,2)上最小值是()2-xA.0 B.1 C.2 D.32 .设 4 =2,4),8=任卜2-a x-4 W 0 ,若则实数取值范畴为()A.-1,2)B.-1,2 C.0,3 D.0,3)3 .甲乙两人进行乒乓球比赛，商定每局胜者得1分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方 多 2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜概率为,乙在每局中获胜概率为工，3()D.6 7 02 4 3c m 2,则这三个正方体体积之()3且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数自盼望石自为A 2 4 1 口 2 6 6 r 2 7 481 81 814.若三个棱长均为整数(单位：c m)正方体表面积之和为5 6 4和为A.7 6 4 c m 3 或 5 86 c m S B.7 6 4 c m 3C.5 86 c m 或 5 6 4 c m D.5 86 c m?(x+y+z=0,xyz+z =0,有理数解(x,y,z)个数为xy+yz+xz+y=0A.1 B.2 C.3D.46 .设 A A B C 内角4,8,C所对边a/,c成等比数列，则 吧 竺 巴竺d 取值范畴是sin 8 cot C+cos BA.(0,+o o)B.(0,6+1)2二、填空题(本题满分5 4 分，每 小 题 9分)7 .设/(x)=a r +b,其中 a,b 为实数，f(x)=f(x),f(x)=f(f(x),“=1,2,3,若1M+1 nx)=1 2 8x +3 81 ,则a+6=78.设/(x)=C O S 2 x _ 2 a(1 +C O S x)最小值为-_ 1 ,贝.29 .将 2 4 个志愿者名额分派给3个学校，则每校至少有一种名额且各校名额互不相似分派办法共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _种.10 _.设数列 4 前项和S满足：S +4 =1,=1,2,则通项“=_ _ _ _ _ _ n(n+1)1 1 .设/(x)是定义在R上函数，若/(0)=2 0 0 8,且对任意xeR,满足f(x+2)-/(x)6 3 -2,，贝 U /(2 0081 2.一种半径为1小球在一种内壁棱长为4 而正四周体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不也许接触到容器内壁面积是三、解答题(本题满分60 分，每 小 题 20 分)1 3.已知函数/(x)=|s i n x|图像与直线丫=依 仪 0)有且仅有三个交点，交点横坐标最大值为a，求证：c o s a _ 1+a 2s i n a+s i n 3 a 4 a答 1 3 图1 4 .解不等式l o g(X 1 2 +3 x 1 0+5尤8+3 x 6 +1)1 8 0 ,尸 是 平 面 上 动 点，令f(P)=PA-B C+P D -CA+PC-AB.(I )求证：当f(P)达到最小值时，P,A,B,C四点共圆；(I I )设：是A 4 8 C 外接圆。

A B上一点，满足：竺=点,B C_/Q-1，N E C B =Z E C A，AB 2 E C 2又DA,OC是O切线，A C =&,求/(P)最小值.答 一 图 1二、(本题满分5 0 分)设/(M 是周期函数，7和 1是/(x)周期且0 7 aa 0nn+1(=1,2,),且每个a (=1,2,)都是/(x)周期.n三（本题满分5 0 分）设a 0,)1 =1,2,2 0 0 8 .证明：当且仅当替3 i 时，存在数列*满足如下条件:kknk=l(i )0 =x x x ,n=1,2,3,;0 n w+1(i i)l i m x 存在；TOO(i i i)x-x x 一艺a x，=1,2,3,n n-l ak n+k k+n+kk=*=0全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)阐明:1 .评阅试卷时，请根据本评分原则.选取题只设6 分 和 0分两档，填空题只设9分 和 0分两档；其她各题评阅，请严格按照本评分原则评分档次给分，不要增长其她中间档次.2 .如果考生解答办法和本解答不同，只要思路合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则恰当划分档次评分，解答题中5分为一种档次,不要增长其她中间档次.一、选取题(本题满分3 6 分，每 小 题 6 分)1,函数f(x)=5TX+X2 在(_8,2)上最小值是2-x(C)A.0 B.1 C.2 D.3 解 当 x 0,因而 f(x)=1+(4-4 x+x2)2x12x+(2 7)2 2.(2-x)=2,当且仅当二一=2-x 时上式取等号.而此方程有解x=1 e(-oo,2),因而f(x)在(-8,2)2-x上最小值为2.2.设 4=-2,4),B=x|x2-a x-4 0,若则实数a取值范畴为(D)A.-1,2)B.-1,2C.0,3D.0,3)解法一因ax-4 =0有两个实根X一代,/+1 2 V 4 2 2故B=A等价于x z-2且x 4,即1 2解之得0 4 a 3.解 法 二 （特 殊 值 验 证 法）令a=3,8 =-1,4,B z A ,排除c,令a=+J万 ，排除A、B,故选D。

2 2 解法三（根分布）由题意知 2 a x-4 =0两根在A =-2 A）内，令f（x）=%2-ax 4则-2 a 42,八 2）2 0解之得：0 4 a 03.甲乙两人进行乒乓球比赛，商定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方 多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜概率为乙，乙在每局中获胜概率为L,3 3且各局胜负互相独立，则比赛停止时已打局数自盼望艮为（B）A 241 口 266 274 n 67081 81 81 243 解法一依题意知，匕所有也许值为2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止概率为53 若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛成果对下轮比赛与否停止没有影响.从而有5尸（g=2）=，9p(&=4)=(f)(3=改，9 9 81年=6)=台2=，9 81故 艮=2*5+4、2+6乂16=2669 81 81 81 解法二依题意知，自所有也许值为2,4,6.令A,表达甲在第k局比赛中获胜，则4表达乙在第k局比赛中获胜.k k由独立性与互不相容性得5P也=2)=P(AA)+P(rA-A)=，1 2 1 2 9P(=4)=P(AA AA)+P(AAA)+P(AA AA)+P(AAAA)1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4P=6)=P(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)+P(AAAA)1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4故&=2 2+4义差+6义 艺=空.9 81 81 814.若三个棱长均为整数(单位：c m)正方体表面积之和为564 c m?,则这三个正方体体积之和为(A )A.7 64 c m：=或 58 6 c m B.7 64 c m?C.58 6 c m：；或 564 c m?D.58 6 c n p 解设这三个正方体棱长分别为a,h e,则有6(32+82+02)=564,孕+巾+02=94,不妨设 1wa4b4c 3 1.故64c10.c只能取 9,8,7,6.若c=9,则a2+b2=94-92=i 3,易知a=2,b=3,得一组解(a,b,c)=(2,3,9).若c=8,则az+也=94-64=30,b=5.但2b2 2 3 0,岳4,从而b=4或5.若 b=5,则会=5无解，若匕=4,则a2=14无解.此时无解.若c=7,则a2+bz=94-49=45,有唯一解a=3,b=6.若c=6,贝 ij必+加=94-36=5 8,此时2段 之 成+枕=58,枕之2 9.故 8 2 6,但b 2+孙 一 y=0.(3)由 W 工=，代入化简得(一1)(户一 一1)=0 y易知户-y-1=0 无有理数根，故 y=1,由得X=-1，由得Z=0,与 ZW。

矛盾,故该方程组共有两组有理数解或 卜;二1z=0 z=0.II6.设 A4BC内角A,8,C 所对边a/,c 成等比数列，则Sin AcotC+COS A 取值范畴是sin Scot C+cos B(C)A.(0,+a)B.(0,+1)_ 2r,押-1 n-1.C.(2)D.(2,+oo)2 2 2解 设a,4 c 公比为g,则方=q,c=ag2,而sindcot C+cos4 sin Acos C+cos Asin Csin BcoiC+cosB sinBcosC+cosBsinC_ sin(A+C)_ sin(n-B)_sin B _b=q.sin(B+C)sin(兀 一 A)sin A a因而，只需求4 取值范畴.因凡仇C成等比数列，最大边只能是或C,因 而 要 构 成 三 角 形 三 边，必须且只需/?c 且+c即有不等式组a+aq aq2,aq+aq2 a0 _q_1 0,即 彳夕 2 +q-1 0.1 -押 V q W +1,l 2 2解得 m m LX 或H +1I 2 2从 而 痣-1 2 时，/当 cosx=1时取最小值1一4；(2)2 时，/当COSx=-1 时取最小值1；(3)一 2 4。

二2 时，f(x)当cosx=2 时取最小值一122 一 1.2 2又a2或a -2 时，f(x)最 小 值 不 能 为,2故-L a 2 -2 a-1 =,解得 a =-2 +,a =-2-6(舍去).2 29 .将 2 4 个志愿者名额分派给3个学校，则每校至少有一种名额且各校名额互不相似分派办法共有 2 2 2 种.解法一用 4条棍子间空隙代表3个学校，而用*表达名额.如|*|*|*|表达第一、二、三个学校分别有4,1 8,2个名额.若把每个“*”与每个“|”都视为一种位置，由于左右两端必要是“I”，故不同分派办法相称于2 4 +2 =2 6 个位置(两端不在内)被2个“I”占领一种“占位法”.“每校至少有一种名额分法”相称于在2 4 个“*”之 间 2 3 个空隙中选出2个空隙插入 I ，故有C2 =2 5 3 种.23又 在“每校至少有一种名额分法”中“至少有两个学校名额数相似”分派办法有 3 1种.综上知，满足条件分派办法共有2 5 3 3 1 =2 2 2 种.解法二 设分派给3个学校名额数分别为x ,x ,x ,则每校至少有一种名额分法数为不定1 2 3方程x +x +x =2 4 .I 2 3正整数解个数，即方程X +X +X =2 1 非负整数解个数，它 等 于 3个不同元素中取2 1 个元1 2 3素可重组合：H2 1 =C2 1 =C?=2 5 3 .3 23 23又 在“每校至少有一种名额分法”中“至少有两个学校名额数相似”分派办法有 3 1种.综上知，满足条件分派办法共有2 5 3 3 1 =2 2 2 种.一 110-.设数列 前项和S 满足：S +Q =-，=1,2,则通项 J 1n n n n(n+1)n 2 (+l)解a=S -S=-a-+a,n+l n(n +1)(/1 +2)+i n(+1)”即 2a-+2-2 1 1 +4”+1 (“+1)(+2)n+1 nn+1)_-2 14 C l+，(+1)(+2)n(n+1)由此得 2(+-)=a H-a (7 7 +1 )(/?4-2)n n(n+1)令b=a+，匕=+=1(=0)，(+1)i 1 2 2 1有b=-h，故 匕=J _.因此a=1 _11+i 2 2 n 2,n(n+1)11.设/(x)是定义在R 上函数，若/(0)=2 0 0 8,且对任意x e R,满足f(x+2)-f(x)6 3.2 x,则2008)=2200&2007 解法一由题设条件知f(x +2)-f(x)=-(f(x +4)-f(x +2)-(/(%+6)-f(x +4)+(f(x +6)-f(x)3,212-3,2V+4+63,2v=3,2,x,因 而 有+2)-/(%)=32一 故/(2008)=/(2008)-/(2006)。