论文题目：意大利数学家求解三、四次方程的思想方法.doc

第 1 页 共 8 页 第 2 页 共 8 页 论文题目：意大利数学家求解三、四次方程的思想方法 论文要求： 教师评语：教师签字：年 月 日 意大利数学家求解三、四次方程的思想方法 16世纪以前，数学家们一直未能找到三次方程的一般求根公式，但在这之前人 们已经得出了一元一次和二次方程的求根公式在一部14世纪的意大利数学手稿中， 作者类比一元二次方程的求根公式，给出了方程 的错误求根公式15世 c bx ax   3 纪意大利数学家帕西沃里（L.paccioli,1445—1509）在其《算术，几何，比例和比 例性概率》中称，求解三，四次方程 ， 和 在当 c bx ax   3 c bx ax   2 3 c bx ax   3 4 时和“画圆为方”问题一样是不可能的这种对以前失败的悲叹声，却成为16世纪 意大利数学家迎接挑战的号角以此为序曲引出了我们要讲述的关于三，四次方程 求解的故事 1. 费罗对三次方程的求解 在帕西沃里做出悲观结论不久，大约1500年左右，波仑大学的算术与几何学教 授费罗（Ferro,1465—1562）用代数方法得到了 这样一类缺项三次方程 n mx x   3 的求解公式，据说他的工作是以更早的阿拉伯资料为基础的。

但他并没有马上发表 自己的成果，这在现在我们看来是不太可能的，但在当时社会，一个人要想保住自 己的大学职位，必须在与他人的学术论争中不落败因此一个重要的新发现就成了 一件在论争中保持不败之地的有力武器直到费罗去世前才把三次方程的求法传给 了他的学生菲奥 费罗对缺项三次方程的求法并没有公布于世，但后来的数学家们并没有停止对 三次方程根的探求 2.塔塔利亚对三次方程的探求 2.1 塔塔利亚生平塔塔利亚1499年出生于意大利的布雷西亚城，小时因头部受伤留下口吃的后遗 症，14岁因交不起学费而辍学，但他很早就表现出惊人的数学才能1543年，他去 了威尼斯，当上了数学教授 第 3 页 共 8 页 第 4 页 共 8 页 图1塔塔利亚 2.2 塔塔利亚对三次方程的求解1530年，科伊（T.da Coi）向塔塔利亚请教了两个问题： (1)一数的平方根加3，乘以该数，积为5，求该数； (2)求三数，其中第二数比第一数大2，第三数又比第二数大2，三数乘积为1000。

用今天的代数符号可以表示成求解两个三次方程： 5 3 2 3   x x 1000 8 6 2 3    x x x 塔塔利亚说他知道求解三次方程 的一般解法，对第二个问题，他承认不 q px x   2 3 会解，但他认为一定是可解的 当费奥知道塔塔利亚会解三次方程时，向塔塔利亚提出了挑战费奥是费罗的 学生二十年前费罗成功解决了三次方程 ，并把解法传授给了费奥 q px x   3 塔塔利亚全心投入三次方程的研究，终于发现了方程 ， q px x   3 和 的解法并在威尼斯和费奥进行比赛费奥给塔塔利亚 q px x   2 3 2 3 px q x   出的三次方程都是形如 的方程，塔塔利亚不到两个小时就劝解出来了， q px x   3 而费奥却一个都没解出塔塔利亚提出的方程 但塔塔利亚由于种种原因未能把自己关于对三次方程解法的研究发表出来科 伊曾经多次向塔塔利亚请教三次方程的解法，但塔塔利亚都没有告诉他 下面我们看看塔塔利亚对三次方程的求解：[1] 三次方程的一般形式为： ，但对任意一个三次方程可经过减 0 2 3     u tx sx x 根运算变换成缺项方程： ， q px x   3 在此令 ，即 3 3 n m x   ，   x mn n m n n m n m m x 3 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 3 3 3        于是方程变为 .   q px x mn n m      3 1 3 当 ， 或 时，可满足方程，故有 q n m     p mn  3 1 3 27 3 p mn  . 27 4 4 , 2 3 2 2 2 p mn q n mn m     两式相加得 ， 27 4 2 3 2 2 2 p q n mn m     由此得 ， 27 4 3 2 p q n m    又因为 ，从而有 ，于是 q n m   27 4 2 , 27 4 2 3 2 3 2 p q q n p q q m        。

3 3 2 3 3 2 27 4 2 27 4 2 p q q p q q x       但塔塔利亚发现的三次方程后不仅没有告诉别人，也没有马上发表出来他想 把这个方法发表在筹划已久的著作《数量通论》中最后却被卡当先发表在了《大 术》中，而这也成了塔塔利亚一生的遗憾 后来卡当发现在解方程的过程出现了一个他难以理解的问题即：当 时，就会出现负数开平方的问题例如他在解方程 时，得 3 2 3 2 1              p q 4 15 3   x x 到 这使卡当感到不解，形式迫使他不得不正视虚数 3 3 121 2 121 2       x 我们就是在解决问题中发现新的问题，然后再去寻找解决新问题的方法善于 观察，善于发现，善于思考，这样才能推动科学的进步，社会的发展 2.3 卡当的背信弃义第 5 页 共 8 页 第 6 页 共 8 页当时研究三次方程求解的数学家还有卡当，卡当1501年出生于帕维亚，并在帕 多瓦获得医学博士，但他又精通数学。

1534年在米兰当上了数学教师，同时继续行 医，并且是一个颇受欢迎的医生除了是一个极好的医生外，他还是哲学家和数学 家，同时是一个占星术家他行为有些怪异，性好赌博，人品看来也不太佳在他 去世后一百年，伟大的莱布尼兹概括了他的一生：“卡当是一个有许多缺点的伟人； 没有这些缺点，他将举世无双 ”但在我们故事中卡当却是一个将才能与人品不佳的 角色 当卡当听说塔塔利亚研究出了三次方程，就请求他交给自己解三次方程的方法， 当遭到塔塔利亚的拒绝，但卡当并没有放弃，他想了各种方法使塔塔利亚说出方程 的解法，并发誓不告诉别人也不会发表出去，并立下誓言最后卡当答应了，把解 法编成了诗歌的形式抄录给了卡当：[2] 一、立方共诸物，和为已知数，另寻数一双，差同已知数；二、根据题之需， 再定其乘积，物数三之一，立方算仔细；三、差积既了然，双数得不难，复算立方 边，相减是答案；四、诸物加定数，立方独一边，君且莫急躁，别有好箴言；五、 定数一拆二，物数三之一，两分相乘时，立方是其积；六、既知和与积，两分易得 手复算立方边，相加是所求；七、立方加定数，诸物成单独定数化为负，依样 画葫芦；八、一五三四年，水城勤钻研，诸物为我求，基础牢且坚。

” 正如现在咱们所知道的，三次的方程的求根公式又叫做卡当公式，因为得卡当 的背信弃义，将方程的解法发表在了自己的著作《大法》中 塔塔利亚非常愤怒，将卡当告上了法庭，卡当知道自己的行为有违道德，不敢 出席，派他的学生费拉里出庭，塔塔利亚本来就有口吃的毛病，在法庭上被能言善 辩的费拉里战胜塔塔利亚本来是受害者，最后却败诉卡当的行为在我们看来是 可耻的，剽窃别人的研究成果，污染了纯净的学术研究领域 在我们今天看来塔塔利亚是虽然是受害者，但他对自己的研究不公开的做法不 利于数学的发展，如果没有卡当的背信弃义，数学家对三次方程的探索不知道还要 经过多少时间只有大家相互交流，共同分享，才能推进科学研究的发展 3. 费拉里与四次方程 3.1 费拉里的简介 费拉里(Ferrari L.,1522-1565)出身贫苦，15岁时做了卡当的家仆，卡当的数 学研究引起了他对数学的热爱，并表现出了出众的数学才能，被卡当收做学生，曾 代替卡当出庭，费拉里能言善辩，让本来是受害人的塔塔利亚败诉费拉里掌握了 三次方程的求解后有研究出了四次方程的求解 3.2 费拉里对四次方程的求解 1540年，意大利数学家科伊向卡当提出了可以导致四次方程求解的问题： 把10分成三个数，使它们成连比，且前两个数的乘积为6。

下面我们理解费拉里对四次方程的求解： 四次方程都可以转化成最高次项的系数是1的方程形如(1) 0 2 3 4      e dx cx bx x 移项可得(2) e dx cx bx x      2 3 4 两边同时加上 ，可将(2)式左边配成完全平方，方程化为 2 2 1       bx(3) e dx x c b bx x                  2 2 2 2 4 1 2 1 在(3)式两边同时加上 可得 2 2 4 1 2 1 y y bx x        (4) e y x d by x y c b y bx x                                  2 2 2 2 2 4 1 2 1 4 1 2 1 2 1 (4)式中的 式一个参数当(4)式中的 为原方程的根时，不论y取什么值，（4） y x 式都应成立特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一 个完全平方式，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。

为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的 判别式变成0，即(5) 0 4 1 4 1 4 2 1 2 2 2                         e y y c b d by 这是关于y的一元三次方程，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值 把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边 开方，可以得到两个关于x的一元二次方程解这两个一元二次方程，就可以得出 原方程的四个根 费拉里对四次方程转化成已经发现求根公式的三次方程的方法来求解，就是我 们现在所说的“化未知为已知”“化复杂为简单”我们要不断发现，只有发现问 题才会想办法去解决它第 7 页 共 8 页 第 8 页 共 8 页 塔塔利亚的三次方程的解法和费拉里对四次方程的发现都收录在卡当的《大术》 中，《大术》是卡当在1545年在德国纽伦堡出版的一部关于代数学的拉丁文巨著。

正是因为三次方程首次出现在《大术》中，人们把塔塔利亚对三次方程的解法称为 卡当公式 参考文献 [1] 朱家生.数学史[M].北京：高等教育出版社，2004. [2] 汪晓勤郭学萍.三次方程求根公式的诞生 。