数学竞赛考试大纲与历年考题.doc

数学竞赛考试大纲与历年考题 - 中国大学生数学竞赛〔非数学专业类〕竞赛大纲 一、函数、极限、连续 1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立. 2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性. 3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、根本初等函数的性质及其图形、初等函数. 4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限. 5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比拟. 6． 极限的四那么运算、极限存在的单调有界准那么和夹逼准那么、两个重要极限. 7． 函数的连续性〔含左连续与右连续〕、函数连续点的类型. 8． 连续函数的性质和初等函数的连续性. 9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理). 二、一元函数微分学 1. 导数和微分的概念、导数的几何和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线. 2. 根本初等函数的导数、导数和微分的四那么运算、一阶微分形式的不变性. 3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法. 4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数. 5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理. 6. 洛必达(L’Hospital)法那么与求未定式极限. 7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(程度、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘. 8. 函数最大值和最小值及其简单应用. 9. 弧微分、曲率、曲率半径. 三、一元函数积分学 1. 原函数和不定积分的概念. 2. 不定积分的根本性质、根本积分公式. 3. 定积分的概念和根本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式. 4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法. 5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分. 6. 广义积分. 7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值． 四.常微分方程 1. 常微分方程的根本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等. 2. 变量可别离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程. 3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y(n)?f(x), y-?f(x,y?), y-?f(y,y?). 4. 线性微分方程解的性质及解的构造定理. 5. 二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程. 6. 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正、余弦函数，以及它们的和与积 7. 欧拉(Euler)方程. 8. 微分方程的简单应用 五、向量代数和空间解析几何 1. 向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积. 2. 两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角. 3. 向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦. 4. 曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程. 5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的间隔 . 6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形. 7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程. 六、多元函数微分学 1. 多元函数的概念、二元函数的几何意义. 2. 二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质. 3. 多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件. 4. 多元复合函数、隐函数的求导法. 5. 二阶偏导数、方向导数和梯度. 6. 空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线. 7. 二元函数的二阶泰勒公式. 8. 多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用. 七、多元函数积分学 1. 二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标). 2. 两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系. 3. 格林(Green)公式、平面曲线积分与途径无关的条件、二元函数全微分求原函数. 4. 两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系. 5. 高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算. 6. 重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等) 八、无穷级数 1. 常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的根本性质与收敛的必要条件. 2. 几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交织级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法. 3. 任意项级数的绝对收敛与条件收敛. 4. 函数项级数的收敛域与和函数的概念. 5. 幂级数及其收敛半径、收敛区间〔指开区间〕、收敛域与和函数. 6. 幂级数在其收敛区间内的根本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法. 7. 初等函数的幂级数展开式. 8. 函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数 首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷〔非数学类 2023〕 一、计算〔共20分，每题各5分〕. n?1(1) 求极限limn-?(1?n)sink?1kk?n2. (2) 计算-?axdydz?(z?a)dxdyx?y?z2222，其中?：z-a2?y2?x2的上侧，a?0. (3) 现要设计一个容积为V的一个圆柱体的容器. 上下两底的材料费为单位面积a元，而侧面的材料费为单位面积b元.试给出最节省的设计方案：即高与上下底的直径之比为何值时所需费用最少？ (4) f(x)在?1?11?,?内满足f?(x)?，求f(x). 33sinx?cosx?42?n11?1?nnn?a?b?c?； (2) lim, 其中a?0,b?0,c?0. ?n-?3--n二、〔10分〕求极限 (1) limn-1-n---?1-e-?n-三、〔10分〕设f(x)在x?1点附近有定义，且在x?1点可导， f(1)?0,f?(1)?2. 求lim四、〔10分〕设f(x)在[0,-)上连续，无穷积分-0f(sinx?cosx)x?xtanx22x?0. f(x)dx收敛. 求 lim1yy--y0xf(x)dx. 五、〔12分〕设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可微，且f(0)?f(1)?0,f?使得f(?)-；(2) 存在-(0,?)使得f?(?)?f(?)-?1. 六、〔14分〕设n?1为整数， F(x)-1-1-1-. 证明：(1) 存在-,1-2-2-x0e?t2nn?ttt-n?F(x)?1-?...?dt在?,n?内至少有一个根. -.证明: 方程21!2!n!?2-?2435七、〔12分〕是否存在R中的可微函数f(x)使得 f(f(x))?1?x?x?x?x？假设存在，请给出一个例子；假设不11存在，请给出证明. 八、(12分)设f(x)在[0,?)上一致连续，且对于固定的x?[0,?)，当自然数n-时f(x?n)?0. 证明: 函数序列{f(x?n):n?1,2,...}在[0,1]上一致收敛于0. 第二届中国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类，2023〕 一〔每题5分，共25分〕 〔1〕设xn〔3〕设s求?g?x222n?(1+a)?(1?a)?(1?a),其中a?1,求limxnn-.〔2〕求lime?xx-1-1-?x-x2.?0,求In?2-?0e?sx2xdx(n?1,2,?).〔4〕设f(t)有二阶连续的导数，r?122x?y,g(x,y)?f,r-g?y2.〔5〕求直线l1:-x?y?0?z?0与直线l2:x?24?y?1?2''?z?3?1的间隔 . '二〔15分〕设函数f(x)在(-,-)上具有二阶导数，并且limf(x)-?0f(x)?0，x-?，limx-?f(x)-?0'，且存在一点x0，使得f(x0)?0.证明：方程f(x)?0在(-,-)恰有两个实根. 三〔15分〕设函数?x?2t?t2(t-1)y?f(x)由参数方程?y-(t)?所确定.且dydx22?34(1?t)，其中?(t)具有二阶导数，曲线y-(t)与y四〔15分〕、设an?0，Sn--t21e?u2du?32e在t?1处相切.求函数?(t). -n-k?1ak，证明：〔1〕当?级数-1时，n?1anSn?收敛；〔2〕当?且Sn-(n-)?1，时，级数?n?1anSn?发散. 2五〔15分〕设l是过原点，方向为(?,?,?)〔其中?中0?c?b?a--22的直线，均匀椭球?1〕xa22?yb22?zc22?1〔其，密度为1〕绕l旋转.求其转动惯量；〔2〕求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值. 六〔15分〕设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分-2xydx-(x)dyx?y42C的值为常数.〔1〕设L为正想闭曲线(x?2)2?y?1.证明：-22xydx-(x)dyx?y42C?0；〔2〕求函数?(x)；〔3〕设C是围绕原点的光滑简单闭曲线，求-C2xydx-(x)dyx?y42. 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷〔非数学类，2023〕 2一、 〔每题 6分，共24 分〕1. lim(1?x)x?e(1?ln(1?x))x2x?0. 2. 设an?cos?2?cos?22---cos?2n,求liman. n-3. 求-sgn(xy?1)dxdy，其中D?{(x,y)|0?x?2,0?y?2}D ?4. 求幂函数?n?12n?12n?x2n?2的和函数，并求级数?n?12n?12n的和. ?a二、 〔每问8 分，共16分〕设{an}?为数列，a,?为有限数，求证：〔1〕假如limann?0n-，那么n-lima1?a2--ann〔2〕假如存在正整数p，使得lim(an?p?an)-，那么lim?a；n-annn--p. 三、 〔15 分〕设函数f(x)在闭区间[-1,1]上具有连续的三阶导数，且f(?1)?0,f(1)?1,f'(0)?0. 求证：在开区间(-1,1) 内至少存在一点x0，使得f'''(x0)?3. 四、 〔15 分〕在平面上, 有一条从一点〔a,0〕向右的射线,线密度为? . 在点〔0,h〕处〔其中 h > 0〕有一质 量为m的质点. 求射线对该质点的引力. 五、 〔15 分〕设z?z(x,y)是由方程F(z?x21x,z?231y2)?0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导数.求证： ?z?x?y2?z?y?0和x3?z?x22?xy(x?y)?z?x?y2?y?z?y?0. 六、 〔15 分〕设函数f(x)连续，a,b,c为常数,?是单位球面x2?y2?z2?1.记第一型曲面积分1I--f(ax?by?cz)dS.求证：I?2-?1f(a?b?cu)du 222第 页 共 页。