线性代数各章知识点及脉络图(含例题)-预习必备.pdf

一、行列式一、行列式知识结构网络图不同行、不同列的 n n 个元素之积的代数和概念性质经转置行列式的值不变；某行有公因数 k k，可把 k k 提到行列式外；某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和；两行互换行列式变号；某行的 k k 倍加至另一行行列式的值不变；nDnaikAik（按 i i 行展开）k1n余子式、 代数余子式展开式DnakjAkj（按 j j 行展开）k1行行列列式式给定（i i,j j）元的值化三角形加边法、爪型行列式；公式法特殊行列式、范德蒙德行列式；递推、数学归纳法；等计算未给定（i i,j j）元的值用行列式性质计算；用矩阵性质计算；用方阵的特征值；等应用克拉默法则；判断方阵的可逆，利用伴随几种求逆矩阵；线性相关性的判定；求矩阵的秩，并判断线性方程组的解存在情况；求方阵的特征值RA Ann n；证明A 00 0 是方阵 A A 的特征值；A A A A- 1 -行列式是线性代数中的重要工具，在求解线性方程组、求逆矩阵、判断向量组的线性相关性、求矩阵的特征值、判断二次型的正定性等方面都要用到本章的重点是应用行列式的性质和展开定理计算行列式行列式的计算除了利用性质及展开定理外，还有三角化法、升阶法、递推法和数学归纳法等，计算方法多，技巧性强，这是难点所在要掌握好这些方法，首先必须具体分析所求行列式元素分布的规律，针对其特点采取适当的方法；其次是要注意总结、积累经验，不断提高运算能力行列式的性质行列式的性质522【例】 ：已知 531，252，234 都是 9 的倍数，利用行列式的性质（而不是展开） ，证明39 的倍数。

53也是124522解答：352219352253r3102r1,r310r2353124531252234r9 353582726【例】 ：如果除最后一行外，从每一行减去后面的一行，而从最后一行减去原先的第一行，问行列式值如何变化？112，则新的行列式为解答：设原行列式为det A23detB n，n1nn10122233r ri 2,3,n0detB 1in1nn1nn1n1特殊行列式特殊行列式1 1、 （主）对角行列式、上（下）三角行列式（主）对角行列式、上（下）三角行列式a11a22anna11a11a22a11a11anna11a11a22a11a11annnaiii12 2、 （次）对角行列式、上（下）三角行列式（次）对角行列式、上（下）三角行列式a1na2,n1an1an1a2,n1an,n1a1na2,nanna11a21an1a1na1na2,n1nn121ai1nii3 3、分块三角行列式、分块三角行列式形式简记为：A AO OB BA AO OB B A A B B，O OB BA AA AB BO O1knA A B B- 2 -4 4、范德蒙德行列式、范德蒙德行列式fx1,x2,1x1,xn x12x1n11x2x22x2n1ij1xn1xn12xn1n111xn1xn2xnn1x1x2x12x22xn12xn2x1n1x2n11xn11xnxn1n1xnn1fx1,x2,fx1,x2,xn,xnni j1x xxn xjn1 j1n2 j1xn1 xj2 j1x3 xjx2 xj1 j1xnx2xnx1xn1 xn2xn1 xn3 xn1 x2xn1 x1x3 x2x3 x1x2 x1认识范德蒙德行列式认识范德蒙德行列式可以将n阶范德蒙德行列式看成式关于n个变量x1,x2,种类型行列式具有如下三个特点：1从列的角度看：第j列元素从上到下依次为同一个变量x的零次幂、1 次幂、n1 次幂，jxnxn1xnxn2,xn的函数，即Dn fx1,x2,xn。

此j 1,2,n；,xn的i1 次幂，i 1,2,122从行的角度看：第i行元素是从左往右依次为x ,x ,123从结果看：fx ,x ,12,n,xnni j1x x是关于变量x ,x ,ij1,xn的nn1次齐次函数；而21nn1个一次因式xi xj之积，其中n i j 1，即脚标大者与脚2标小者之差 （说明：i可以取值为1,2,n，例当i取值为 4 时，j只可以取值为 3、2、1，即区间且该齐次函数可以分解为i1,1中的每一个整数）当给定具体的范德蒙德行列式时，可能变量采用不同的名称，或者是已经赋予具体的值参见“范德蒙德行列式专辑”认识余子式（认识余子式（MinorMinor）和代数余子式（）和代数余子式（Algebraic MinorAlgebraic Minor） ，及其之间的关系，及其之间的关系detaij的i, j元aij的余子式MMij和代数余子式A Aij，仅与位置i, j有关，aij的取值如何并不影响其余子式MMij和代数余子式A Aij的取值A Aij1i jMMij，代数余子式即为带符号的余子式利用教材 P21 例 13 深入理解余子式和代数余子式及其关系例】 ：已知 4 阶行列式D D中，第一行元素分别为 1，2，0，-4；第三行的 4 个元素的余子式分别为：M31 6,M32 x,M3319,M34 2。

求x的值解答：a11A31a12A32a13A33a14A34 0，所以有M312M32 4M34 0，62x42 0，所以x 7例】 ：- 3 -1、设行列式det A的元素为aij，行列式试证：detD det A xAijn，其中Aij为aij在det A中的代数余子式i,j1证明：把detD升阶得到 det A xnAnn1j xAnj det A xj1j1iAij,j12、设A aij，Aij是aij在det A中的代数余子式，求证ccnc1n1cnc2c3按第一行展开- 4 -a11a1,n11a21a2,n11an1an.n11na1na2nan1.nanna12a22a1,n1a2,n111a1na2na11a21a1,n2a2,n211 011nan1,2an1,n1an2an,n1n1 1an1.n1nannan1,1an1,n2an1an,n2n1A1n A2n Ann1 A A21 An1111A1,n1 A2,n1 An,n1计算技巧：计算技巧： 1 1 利用特殊行列式计算，利用公式利用特殊行列式计算，利用公式【例】 ：计算行列式AB A B求行列式值求行列式值令Dn C C AB，10011100b1b200100 10000100bn11 bn0 0a2a2C a2a2,n 30Dn A B a1b1,n 1a ab b,n 212122 2 加边法专辑加边法专辑加边法的应用：通过升阶获得一些特殊的元素值，从而消去某些元素，使得行列式形式更加简单且特殊，从而实现计算的简化。

此种方法其实是反向利用Laplace 展开定理， 看似复杂化， 其实阶数的增加反倒可以将行列式简单化，更易发现规律同时应当注意加边的类型及加边后行列式值不能改变例】 ：11a1111a211111an，其中ai 0,i 1,2,n.解答：1 a1111 a21111加边1000111a1111a2111111an 1 ann1- 5 -r1rii 2,n111a1101010a20100an1i1n1ai1a10010a20100ann1 n1aii1aii1c1a1jcj1j 1,n1000,nn121a1b1a1b2a2b11a2b2anb1anb2a1bna2bn1anbn1b1b201a1b1a1b2解答：n加边 0a2b11a2b20anb1anb2bna1a21an1bn00an1ni1bna1bna2bn1anbn10a1a2ann1rir1i 2,n11b1b21 1a11a11a21a211000b2a11a2an1b1111b20bna1a2n1an1bn加边1b111a11110a2ann1bii1nan01an1b20n1n2cjc1j 3,0a1,n2 a21b1111100nni1c2cjj 3,n2,n2a1a2an00001b1111b211n21bnnnn1ak1bknakbkk1k1k1aibi1bic1aj2cjj 3,n20000001n23 3 爪型行列式专辑爪型行列式专辑爪型行列式形如：- 6 -方法：将D D的第i i+1 列乘以cii 1,2,ai,n都加到第 1 列，得有些行列式经过适当的变化可以化为行列式，再采用上述方法计算。

a1x【例】 ：Dn xxxa2xxxxa3xxxx化为爪型行列式的方法：anx000an x1Dni 2,3,rir1,na1xxxa1a2 x0 xa10a3 xxa10nnna1xxn1xai1a x1i i1i1xa1i2xaii1ai xn2 先采用加边法- 7 -1xxxa2xxxxxa3xnxxx rir1x i 2,an1xxx00a3 x0 x000an xn1Dn0a10 x00 xx1a1 x010a2 x,n1 110000 x 1xxxai1i0a1 x00c1a1jcj00a2 x0j 2,n1000a3 x0000 x000an xn1nxai x1i1i1ain加边法与爪型行列式结合可以计算如下行列式值：4 4 范德蒙德行列式专辑范德蒙德行列式专辑1aa21bb21cc21dd2，此 4 阶行列式并非范德蒙德行列式，并非4 个元素的零次至 3 次幂构成a41aa2a4b41bb2b4c41cc2c4d4110bab2a2b4a40cac2a2c4a40d ad2a2d4a4解法一：采用降阶法，即利用行列式展开定理，逐步展开行列式dc2c1ad2c3c1a2d4c4c1a4- 8 -或者1aa2a41bb2b41cc2c41211ba1cac2a2c4a41d ad2a2d4a4dr2ar10d4d2r3a r10b2a2r4a4r10b4a4bacac2a2c4a41d ad2a2d4a41ca1d a按第1行展开b2a2b4a4bacad ababab2a2cac2a2dad2a21c2c1c3c10 x0yx cba2b2c2acbcaby d ba2b2d2ad bd abbacad abacbd bbab2a2cbd bxybacad abacad acbd b11a2b2c2acbcaba2b2d2ad bd abbacad acbd bd cabcd解法二：利用范德蒙德行列式。

但是首先对原行列式增加一行一列，使之成为 5 阶范德蒙德行列式fa,b,c,d,x1a2fa,b,c,d,xaa31bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，其中（4，5）元素x3的余子式即是所求D4x3x4234a4按第 5 列展开fa,b,c,d,x A15 xA25 x A35 x A45 x A55根据范德蒙德行列式得(1)，即D4 A45fa,b,c,d,xxaxbxcxdfa,b,c,d其中(2)xaxbxcxd x4abcdx3abacbcad bd cdx2abcabd acd bcdxabcd33(1)式与(2)式是x的 4 次多项式fa,b,c,d,x的两种表示方式， 比较两者x的系数， 于是得到x的系数为A45 abcdfa,b,c,d所以D4 A45abcdfa,b,c,d- 9 -D4abcdd ad bd ccacbba【例】 ：计算行列式Dn1a1nna2a1n1b1n1a2b2a1b1n1nn1a2b2b1nnb2?nn1ana1n1bn1n1nan1bnb1n11nb1a1b2a2 b1a12 b1a12Dn1aini11 b2a22 b2a22bibja ajbiaibjaji11 jin1ai1 jin1n1nib1n1an1【例】 ：计算 bn1an12 bn1an12Dn1x11x12 x1x1n1 x1n21x21x22 x2x2n1 x2n21xn1xn2 xnxnn1 xnn2解答：将第 1 行的1 倍加到第 2 行，再将第 2 行的1 倍加到第 3 行，最后将第n1 行的1倍加。