奥赛学案：平面几何选讲反演变换(一).doc

奥赛学案：平面几何选讲 反演变换（一）基础知识一. 定义1. 设是平面上的一个定点，是一个非零常数．如果平面的一个变换，使得对于平面上任意异于的点与其对应点之间，恒有（1）三点共线；（2），则这个变换称为平面的一个反演变换，记做．其中，定点称为反演中心，常数称为反演幂，点称为点的反点．2. 在反演变换下，如果平面的图形变为图形，则称图形是图形关于反演变换的反形．反演变换的不动点称为自反点，而反演变换的不变图形则称为自反图形．3. 设两条曲线相交于点，、分别是曲线在点处的切线（如果存在），则与的交角称为曲线在点处的交角；如果两切线重合，则曲线在点处的交角为．特别地，如果两圆交于点，那么过点作两圆的切线，则切线的交角称为两圆的交角．当两圆的交角为时，称为两圆正交；如果直线与圆相交，那么过交点作圆的切线，则切线与直线的交角就是直线与圆的交角．当这个交角为时，称为直线与圆正交．二. 定理定理1. 在反演变换下，不共线的两对互反点是共圆的四点．定理2. 在反演变换下，设两点（均不同于反演中心）的反点分别为，则有=．定理3. 在反演变换下，过反演中心的直线不变．定理4. 在反演变换下，不过反演中心的直线的反形是过反演中心的圆；过反演中心的圆的反形是不过反演中心的直线．典型例题一. 证明点共线例1. 的内切圆与边、、分别相切于点、、，设、、分别是、、的中点．求证：的外心、内心与的外心三点共线．证明：如图，设的内心为，内切圆半径为．以内心为反演中心，内切圆为反演圆作反演变换，则、、的反点分别为、、，因而的反形是的外接圆．故的外心、内心和的外心三点共线．二. 证明线共点 例2. 四边形内接于，对角线与相交于，设、、、的外心分别为、、、．求证：、、三直线共点．证明：作反演变换，则、互为反点，、互为反点，不变，直线不变，的外接圆的反形是直线．由于直线与的外接圆正交，因而与正交，即有．又，所以；同理，所以四边形为平行四边形，从而过的中点；同理也过的中点．故、、三线共点．。