工程数学第2章 矩阵代数 习题答案.ppt

第2章 矩阵代数 习题参考答案（2） 能表示成 和 的线性组合么？2. 设解：假设 能表示成 和 的线性组合，即：代入 的值可得：解方程组可得：可见，一个向量可否表示为一组向量的线性组合，可转化为线性方程组求解的问题假设 可表示为其余 n-1 个向量的线性组合，即3. 设 n 阶方阵 A 的某个行(列)向量是其余 n-1 个行(列)向量的线性组合，证明 |A| = 0 证明：将方阵A表示为 其中 均为A的列则4. 计算下列矩阵乘积4）5. 设 ，求解：6. 求 1）解：根据以上规律，假设计算 ：所以假设成立2）解：所以假设成立计算 ：根据以上规律，假设（3）解：根据以上规律，假设计算 ：其中：所以假设成立7. 已知 ，证明证明：∴∴8. 证明两个n阶上三角阵的乘积仍为n阶上三角阵证明：设两个上三角阵为A、B：设它们的乘积为C，根据矩阵乘法的定义，C中的元为：根据上三角阵的定义，的前 个元为0， 的后 个元为0 ，∴当 时，∴ C=AB 是个上三角阵。

9. 若 AB=BA，AC=CA，证明：A,B,C为同阶矩阵，且 A(B+C)=(B+C)A，A(BC)=BCA 证明：设即 A,B 为同阶矩阵同理可证，A,C 也为同阶矩阵10. 已知 n 阶矩阵 A、B 满足 AB=BA，证明：证明：用数学归纳法，当 m=1 时，上式满足；当 m=2 时，上式满足；上式满足因此该命题成立11. 已知 ，其中 两两互不相等且 AB=BA ，证明B是对角阵 证明：已知 两两互不相等，要使得 AB=BA，则必有：，即 B 是对角阵12. 设 ， ，若以 记A的列向量， 记B的行向量，证明AB的第 i 个行向量=AB的第 j 个列向量=证明：根据矩阵乘法的定义，AB的第 i 行、j 列的元为则AB的第 i 行为：AB的第 j 列为：13. 利用 求行列式解：14. 利用 |AB| = |A|*|B| 求行列式。

1）（2）注：（3）解：根据将该行列式中的每一个元均化为 的 n-1次多项式15. 求 1）（2）（3）16. 解下列矩阵方程，求 1）（2）（3）（5）17. 若A，B是同阶可逆矩阵，且AB=BA，证明证明：18. 若 n 阶矩阵 A 满足条件 则证明：19. 用克莱姆法则解下列方程组5）20. 求一个二次多项式 ，使得解：令代入21. 用适当的方法解下列方程组（1）（2）23. 为三种初等矩阵，（1）求它们的转置矩阵（2）下式分别对 A 实施了什么变换24. 证明满秩对称矩阵的逆矩阵也是对称矩阵证明：设 A 是一个满秩对称矩阵，则有则即 也是对称矩阵25. 若 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，试证：（1） 都是对称矩阵；证明：25. 若 A 是 n 阶对称矩阵，B 是 n 阶反对称矩阵，试证：（1） 都是对称矩阵；证明：（2）AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA证明：（必要性）即：AB是反对称矩阵的必要条件是 AB=BA 。

2）AB是反对称矩阵的充要条件是AB=BA证明：（充分性）即：AB是反对称矩阵的充分条件是 AB=BA 26. 设 A 为 n 阶对称矩阵，且对任意的 n×1 矩阵 X 有 X‘AX=0 ，则必有 A=0 证明：根据题意，对任意 n×1 矩阵 X 有 X‘AX=0 则令 中，只有 不为0，其余均为0则 以此类推： 再令 中，只有 不为0，其余均为0 则 则矩阵 A=0 27. 设 A 为 n 阶实矩阵，且|A|=1，则A为正交矩阵的充要条件是它的每一个元等于自己的代数余子式证明：（必要性）（充分性）28. 设 B 为 n 阶可逆矩阵，又令证明：当 时，证明：29. 设 ，其中A、C可逆，已知 ， ，求 解：设30. 设 n 阶矩阵 A 满足方程 ，证明 A 为可逆矩阵，且 。

证明：即 A 可逆且31. 将下列各题矩阵分块后再运算（3）求。