初中圆的知识点归纳3.docx

名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -《圆》章节学问点复习圆的记忆口诀：常把半径直径连，有弦可做弦心距，它定垂直平分弦，直圆周角立上边； 圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆， 直角相对成共弦，试试加一个帮助圆，如是证题打转轴，四点共圆可解难，要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连直线与圆未给点，需证半径作垂线，四边形有内切圆，对边和等是条件，假如遇到圆与圆，弄清位置很关键，圆相切做公切，两圆想交连工弦； 一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线） ；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系r1、点在圆内 d r 点 C 在圆内； A d2、点在圆上 d r 点 B 在圆上； O Bd3、点在圆外 d r 点 A 在圆外；C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；1 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -r d d=r r d四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点dRr；外切（图 2）有一个交点dRr；相交（图 3）有两个交点RrdR r ；内切（图 4）有一个交点dRr；内含（图 5）无交点dRr；dddR r R r R r图 1 图2 图3d d rrR R图4 图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC 弧 AD2 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -中任意 2 个条件推出其他 3 个结论；推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等；即：在⊙ O 中，∵ AB ∥ CD∴弧 AC 弧 BDAC DO OA B EC DB六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对 E的弧相等，弦心距相等； 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，F只要知道其中的 1 个相等，就可以推出其它的 3 个结论， OD即：① AOB DOE ；② AB DE ； AC B③ OC OF ；④ 弧 BA 弧 BD七、圆周角定理1、圆周角定理： 同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半； C即：∵ AOB 和 ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角∴ AOB 2 ACB B OA2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中， 相等的圆 D C周角所对的弧是等弧；即：在⊙ O 中，∵ C 、 D 都是所对的圆周角 B O∴ C D A推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧C是半圆，所对的弦是直径；即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径 或∵ C 90 B O A∴ C 90 ∴ AB 是直径3 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形；即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB B O A∴△ ABC 是直角三角形或 C 90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论： 在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角；即：在⊙ O 中，C D∵四边形 ABCD 是内接四边形∴CBAD180BD180DAECBA E九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不行即：∵ MN OA 且 MN 过半径 OA 外端∴ MN 是⊙ O 的切线O（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点； M A N推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相 等 ，B4OP 第 4 页，共 7 页 A - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：∵ PA 、 PB 是的两条切线∴ PA PBPO 平分 BPA十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交， 交点分得的两条线段的乘积相等； D B O即：在⊙ O 中，∵弦 AB 、 CD 相交于点 P ， PC A∴ PA PB PC PD（ 2）推论：假如弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 C两条线段的比例中项； B即：在⊙ O 中，∵直径 AB CD ，O E AD∴ CE2AE BE（ 3） 切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切 A线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； E D即：在⊙ O 中，∵ PA 是切线， PB 是割线 P OC B∴ PA2PC PB（4） 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） ；即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线∴ PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的公共弦；A 的O1 O2如图：O1O2 垂直平分 AB ； B即：∵⊙O1 、⊙O2 相交于 A 、 B 两点∴ O1O2 垂直平分 AB5 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -十三、圆的公切线两圆公切线长的运算公式：ABC O1O2（ 1）公切线长：Rt O O C 中， AB2 CO 2 O O 2 CO 2 ；1 2 1 1 2 2（2）外公切线长：CO2 是半径之差； 内公切线长：CO2 是半径之和 ；十四、弦切角定理顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做 弦切角 ；弦切角等于它所夹的弧所对的 圆周角 ；十五、 圆内正多边形的运算C（1）正三角形在⊙ O 中△ ABC 是正三角形，有关运算在 Rt BOD 中进行： OOD : BD: OB1: 3 : 2 ；B D A（2）正四边形同理，四边形的有关运算在 Rt OAE 中进行， OE : AE : OAB C1:1: 2 ： OA E D（3）正六边形同理，六边形的有关运算在 Rt OAB 中进行，AB : OB : OA1: 3 : 2 . OBA6 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -名师归纳总结 精品word资料 - - - - - - - - - - - - - - -十六、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式 A1、扇形：（1）弧长公式： l（2）扇形面积公式：n R；180n R2 1S lR360 2O S lBn ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面绽开图DA D1S S 2S = 2 rh2 r 2母线长表 侧 底底面圆周长B C1（2）圆柱的体积：3、侧面绽开图CV r 2hB1（1） S S S =Rr r 2表 侧 底O（2）圆锥的体积： V1 r 2h3 RCA r B。