2019年高考数学(理)一轮复习第5章数列第2节等差数列及其前n项和学案.doc

北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案1第二节第二节 等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和[考纲] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第 82 页)[基础知识填充]1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N N＋，d为常数)．(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A＝.a＋b 22．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.n(n－1)d 2n(a1＋an) 23．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N N＋)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N N＋)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为 2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N N＋)是公差为md的等差数列．4．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.d 2(a1－d 2)5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．[知识拓展] {an}为等差数列，Sn是{an}前n项和(1)若an＝m，am＝n，则am＋n＝0，(2)若Sm＝n，Sn＝m，则Sm＋n＝－(m＋n)，(3)若Sm＝Sk(m≠k)，则Sm＋k＝0.北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案2[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√” ，错误的打“×”)(1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N N＋，都有 2an＋1＝an＋an＋2.( )(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( )(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．( )(5)等差数列的前n项和公式是常数项为 0 的二次函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于( )A．－1 B．1C．2D．－2D D [依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选 D．]3．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于( )A．－1B．0C．1D．6B B [由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选 B．]4．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝( )A．5B．7C．9D．11A A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]5(a1＋a5) 25．(教材改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180 [由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，∴a5＝90，∴a2＋a8＝2a5＝180.](对应学生用书第 82 页)等差数列的基本运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )A．1 B．2C．4D．8北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案3(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________. 【导学号：79140171】(1)C C (2)－72 [(1)设{an}的公差为d，则由Error!得Error!解得d＝4.故选 C．(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得Error!解得Error!所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]16 × 15 2[规律方法] 解决等差数列运算问题的思想方法1方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程组求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”.2整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解.3利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程.[跟踪训练] (1)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝( )A．9B．10C．11D．15(2)《张邱建算经》卷上第 22 题为：今有女善织，日益功疾(注：从第 2 天起每天比前一天多织相同量的布)，第 1 天织 5 尺布，现在一月(按 30 天计)，共织 390 尺布，则第 2 天织布的尺数为( )A．B．161 29161 31C．D．81 1580 15(1)B B (2 2)A A [(1)设等差数列{an}的公差为d，依题意Error!解得Error!∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{an}，且a1＝5，S30＝390，设公差为d，则 30×5＋×d＝390，解得d＝，则a2＝a1＋d＝，故30 × 29 216 29161 29选 A．]等差数列的判定与证明北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案4(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．[解] (1)设{an}的公比为q.由题设可得Error!解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－ ＋(－1)n.a1(1－qn) 1－q2 32n＋1 3由于Sn＋2＋Sn＋1＝－ ＋(－1)n4 32n＋3－2n＋2 3＝2＝2Sn，[－2 3＋(－1)n·2n＋1 3]故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．规律方法] 等差数列的四种判断方法1定义法：an＋1－an＝dd是常数⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明.2等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2n∈N N＋⇔{an}是等差数列.可用来判定与证明.3通项公式：an＝pn＋qp，q为常数⇔{an}是等差数列.4前n项和公式：Sn＝An2＋BnA，B为常数⇔{an}是等差数列.[跟踪训练] (1)在数列{an}中，若a1＝1，a2＝ ，＝＋(n∈N N＋)，则该数列1 22 an＋11 an1 an＋2的通项为( )A．an＝B．an＝1 n2 n＋1C．an＝D．an＝2 n＋23 n(2)已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－(n≥2，n∈N N＋)，数列{bn}满足bn＝3 51 an－1(n∈N N＋)．1 an－1①求证：数列{bn}是等差数列．②求数列{an}中的通项公式an.(1 1)A A [由已知式＝＋可得2 an＋11 an1 an＋2－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1 的等差1 an＋11 an1 an＋21 an＋1{1 an}1 a11 a21 a1北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案5数列，所以＝n，即an＝ .]1 an1 n(2)①证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N N＋)，1 an－1bn＝.1 an－1所以n≥2 时，bn－bn－1＝－1 an－11 an－1－1＝－＝－＝1.1(2－1 an－1)－11 an－1－1an－1 an－1－11 an－1－1又b1＝＝－ ，1 a1－15 2所以数列{bn}是以－ 为首项，1 为公差的等差数列．5 2②由(1)知，bn＝n－ ，7 2则an＝1＋＝1＋.1 bn2 2n－7等差数列的性质及最值(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝39，a5＋a7＋a9＝27，则数列{an}的前 9 项的和S9等于( )A．66B．99C．144D．297(2)在等差数列{an}中，已知a1＝10，前n项和为Sn，若S9＝S12，则Sn取得最大值时，n＝________，Sn的最大值为________. 【导学号：79140172】(1)B B (2)10 或 11 55 [(1)根据等差数列的性质知a1＋a3＋a5＝3a3＝39，可得a3＝13.由a5＋a7＋a9＝3a7＝27，可得a7＝9，故S9＝＝＝99，故9(a1＋a9) 29(a3＋a7) 2选 B．(2)法一：因为a1＝10，S9＝S12，所以 9×10＋d＝12×10＋d，9 × 8 212 × 11 2所以d＝－1.所以an＝－n＋11.北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案6所以a11＝0，即当n≤10 时，an＞0，当n≥12 时，an＜0，所以当n＝10 或 11 时，Sn取得最大值，且最大值为S10＝S11＝10×10＋×(－1)＝55.10 × 9 2法二：同法一求得d＝－1.所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋nn(n－1) 21 221 2＝－＋.1 2(n－21 2)2441 8因为n∈N N＋，所以当n＝10 或 11 时，Sn有最大值，且最大值为S10＝S11＝55.法三：同法一求得d＝－1.又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0.所以 3a11＝0，即a11＝0.所以当n＝10 或 11 时，Sn有最大值．且最大值为S10＝S11＝55.][规律方法] 1.等差数列的性质1项的性质：在等差数列{an}中，am－an＝m－nd⇔＝dm≠n，其几何意am－an m－n义是点n，an，m，am所在直线的斜率等于等差数列的公差.2和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝na1＋a2n＝…＝nan＋an＋1.②S2n－1＝2n－1an.2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法1函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解.2邻项变号法.①当a1>0，d0 时，满足Error!的项数m使得Sn取得最小值为Sm.易错警示：易忽视n∈N N＋.[跟踪训练] (1)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )a6 a59 11S11 S9A．1B．－1C．2D．1 2(2)设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________.北师大版 2019 届高考数学一轮复习学案7(1)A A (2)200 [＝＝＝×＝1.S11 S911(a1＋a11) 2 9(a1＋a9) 211a6 9a511 99 11(2)依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d.又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝ ，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋× ＝200.]8 910 × 9 210 × 9 28 9。