先造例 再猜想 后验证.docx

Word文档下载后（可任意编辑） 先造例 再猜想 后验证 有这样一道竞赛趣题： 小涵把一个密码数乘以5的积是一个9位数，有趣的是这个9位数恰好包含1到9这9个不同的数字，那么这个密码数的各位数字的和是多少？为什么？ 分析与解 先看两个例子： （1）246935795=123467895，这里被乘数当做密码数； （2）1975286435=987643215，这里被乘数当做密码数 再计算密码数的各位数字的和： （1）2＋4＋6＋9＋3＋5＋7＋9=45； （2）1＋9＋7＋5＋2＋8＋6＋4＋3=45 由此猜想这个密码数的各位数字的和是45 从上面所造的两个例子中，我们已发现这种密码数不是唯一的，只要是用1到9这九个数字，任意排列成个位数字是5的九位数除以5所得的商，按照题意，都可当做密码数，可见这样的密码数与5的积的前8位数字应是1，2，3，4，6，7，8，9的任意排列，所以共有（87654321=）40320个而小涵用的是哪个密码数却无法判断 为了证明上面的猜想是正确的，一般有两种方法：一是对40320个密码用枚举法逐个验证，但这个方法太繁，时间上也不允许这样做。

另一个方法是设法直接证明注意到密码数有8位数的也有9位数的，而且这些数中的各位数字也是五花八门的而密码数乘以5的积倒是很有规律：前8位数恰是1，2，3，4，6，7，8，9的一个排列，末位数是5不妨设密码数是A，于是5A的各位数字是1到9的一个排列，注意到5A2=A10= ，即密码数后面添一个零要验证A的各位数字的和是45，那么，只要验证10A的各位数字的和是45就可以了列表1分析如下： 表1 由上表可知10A（=5A2）的各位数字和等于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45 为了更好地理解表1，可对照上面两例验算：（1）2469357952=123467895=246935790，这里乘积中的奇数：9=8＋1，7=6＋1，5=4＋1，3=2＋1，它们都是进位来的1，所以2＋4＋6＋（8＋1）＋（2＋1）＋（4＋1）＋（8＋1）＋0=45； 同理有（2）19752864352=9876432152=1975286430，所以1＋（8＋1）＋（6＋1）＋（4＋1）＋2＋8＋6＋4＋（2＋1）＋0=45 由此可见，并不需要考虑 新东方报名系统》》》 第 2 页 共 2 页。