泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间.docx

第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念 事实上，它是n维欧几里得空间Rn 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数 空间因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识2.1 度量空间的基本概念2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d,即对x,y R,d（x,y） |x y度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质定义2.1】 设X是一个非空集合，（?,?）： X X 0,是一个定义在直积X X上的二元函数，如果满足如下性质：（1）非负性 x, y X,（x, y） 0, （x, y 0x y；（2）对称性 x, y X,（x, y） （y,x）（3）三角不等式 x, y,zX, （x, y） （x,z）（z, y）;则称（x, y）是X中两个元素x与y的距离（或度量）此时，称X按（?,?）成为一个度量空间（或距离空间），记为（X,）。

注：X中的非空子集A,按照X中的距离（?,?）显然也构成一个度量空间， 称为X的子空间当不致引起混淆时，（X,）可简记为X，并且常称X中的元素为点例2.1离散的距离空间设X是任意非空集合，对X中任意两点x,y X,令(x, y)显然，这样定义的（?,?）满足距离的全部条件，我们称（X,）是离散的距离空间这种距离是最粗的它只能区分 X中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间例2.2 n维欧几里得空间Rn表示n维向量x Xi,X2,L ,%的全体组成的集合，也表示n个实数Xi,X2,L ,4组成的数组Xi,X2,L ,xn的全体形成的集合对x Xi,X2,L ,Xn , yyi,y2,L ,ynRn,定义1(x,y)n2 2(x y)i 1卜面来证（?,?）满足度量定义中的条件（1） ~ （3）2.1)3）,需利用p 2时的离散型Minkowski不等式（见1.5 节）取 z Z1,Z2,L ,Zn Rn ,则有(x, y)n(Xi i 1(x,z)n(Xii 112 4)2yi)2n(4i 1(Xi z) (Z12 yi)2(乙y)因此，Rn是一距离空间。

Rn,）称为n维欧氏空间2yj由式（2.1）不难验证（?,?）满足条件（1）, （2）为证满足条件注：若在Rn中规定1(x,y)maxxV\(2.1，)则（Rn, 1）也是距离空间（读者自己验证）例2.3所有数列组成的集合S ,对anbn S，定义anbnn bn(2.2)那么（，）是$上的度量式（2.2）通常称为Fr^het组合（,）显然满足度量条件（1）~ （2）,我们来证也满足条件（3）事实上，对Cn S,由于函数(x) _L(x 0)是单调增函数，因此由1 xan bnan cnan bn|an bnan ci | cn bn |an cn在上市不等式两边同乘1 |an cn | cn bn5再求和，便得an cn|cn bn |1 |g bn因此(S,)是距离空间2.3)例2.4连续函数空间C a,b，对f,g C a,b，定义(f,g) max f (t) g(t)a t b则(f,g)是C a,b上的一个度量(f ,g)显然满足度量条件(1) ~ (2)对另一连续函数h C a,b ,由f(t) g(t) |f(t) h(t)| |h(t) g(t)maX f(t) h(t) max h(t) g(t) a t ba t h=(f ,h)(h,g),( t a,b )所以(f ,g)(f ,h)(h, g)例2.5 函数类Lp(E)(p 1)(参见1.6节)，对f,g Lp(E)定义1p p(f,g) E|f(t) g(t) dt p则(f,g)是Lp(E)上的一个度量，(Lp(E),)是度量空间。

1由(f,g) 0 E( f(t) g(t)pdt)p 0根据Lebesgue积分的性质有f (t) g(t)a e反之,若f (t) g(t)a e ,则(f ,g) 0所以，(f,g)满足度量定义2.1中条件(1);条件(2)显然满足；对另一函数h Lp（E）,根据1.6节Minkowski不等式有（f ,g） f g p f h p h g p （九h） （h,g）即（f,g）满足度量定义条件（3）,所以（f,g）是Lp（E）上的一个度量，（Lp（E）,）是度量空间f(t) g(t) varisup f(t) g(t)t a,b(2.5)例2.6 L a,b是本性有界可测函数的全体，即 a,b上除某个零测度外，在 它的补集上是有界的可测函数全体对f,g L a,b ,定义(f, g) inf sup mEa0b t a,b E则（f,g）是L a,b上的一个度量，（L a,b ,）是度量空间由式（2.5）显然可知，（f,g）满足度量条件（1） ~ （2）现证（f,g）满足度量条件（3）,对f,g,h L a,b及0存在& a,b ,E2a, b且(f,h) 2(h,g) 2mE〔mE2 0,使sup f (t) h(t) t a,b Eisup h(t) g(t)t a,b Ei从而有(f,g) sup f(t) g(t)t a,b Ei E2sup I f (t) h(t)| |h(t) g(t) t a,b Ei E2sup f(t) h(t) sup h(t) g(t)t a,b E1 E2t a,t E1 E2sup f (t) h(t)t a,b Ei t a,b 旦sup h(t) g(t)< (f ,h)(h,g)(f ,g) (f, h) (h, g)。

所以（09）是1 a,b上的一个度量,（L a,b ,）是度量空间2.1.2 距离空间中点列的收敛性非空集合X引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念【定义2.2】设X是一个度量空间，Xn，x X,（n 1,2,L ）称点列｛收敛于X ,是指（Xn,X）0（n）, X叫做点列Xn的极限，记作lim Xn X或nXn X（X ）度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处定理2.1】度量空间（X,）中的收敛点列Xn的极限是唯一的，且若Xn收敛于X X,则Xn的任意子列X%也收敛于X证明：首先证明定理的第一部分设X,y X都是Xn的极限，则对n N, 有（X, y）（X, Xn）（Xn,y）令n 有（Xn,X） 0, （Xn, y） 0,必然有 （X,y） 0,因此X y,这说明Xn最多有一个极限其次证明定理的第二部分设 Xn收敛于X X ,于是 0,存在自然数N ,当 n N 时，(Xn, X)由于nk N ,从而当k n时，也有（x%,x）收敛于X 卜面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义O例2.7 Rn空间中点列x（0）X1（m）,x2m）,L ,xnm）按度量式（2.1）收敛于(0) .(0),X2 , L ,Xn的充分必要条件是对每个i,(1n)有 x(m)Xi(0)（m ）,即按坐标收敛。

证明： 对i（1 i（m） xix(0)当(x(m) x(0)) 0( m )时，(X(m),X(0))定有 x(m) x(0)0(m ),(m)Xix(0)(m ) 0由于1 n2 2(x(m)x(0))xkm)xk0) 2x(m)x(0)x2m)x20)Lxnm)xn0)k 1所以，对 i,(1 i n),当 xi(m)x(0)(m )时(x(m)x(0))0(m)同样我们也可以证明Rn中点列xn按距离式(2.1')收敛于x(0)的充要条件是对于每个 i,(1 i n),有 x(m)x(0) (m )0例2.8 C a,b空间中点列fn按式(2.3)度量收敛于fC a,b的充分必要条件是fn在a, b上一致收敛于fo证明： 由(fn,fo)0(n),知对 0, N,当n N时，max fn(t) f0(t)，即对任意 t a,b,当 n N 时，fn (t) f0(t),所以 fn 在 a,b上一致收敛于fO若fn在a, b上一致收敛于f0,则对 0, N,当n N时，对于t a,b 恒有 fn(t) f0(t)，从而 maxfn(t) f0(t), a t b即(fn,f0)0(n)。

证毕若C a,b按式(2.4)定义度量，则C a,b就构成Lp a,b的子空间，令xn(t)(b a)n(t a)nt a,b ,(n 1,2,L )由勒贝格控制收敛定理，xn在Lpa,b中收敛于x(t) 0,显然xnC a,b,但xn不一致收敛于x(t) 00例2.7,例2.8表明，如果在一个非空集合上定义了两个度量，那么，由它们导 出的收敛概念可以是一致的，也可以是不一致的但当我们引入了适当的距离后， 都可以统一在距离空间中考虑收敛概念，这就为统一处理各个具体空间提供了方便习题2.11 .对x, y R,定义(x, y) (x y)2, (x, y)是R上的距离吗？若是，给出证明,若不是，为什么?2 .对x,y R,规定(x,y) J|x y|,证明(R,)是距离空间3 .把所有收敛数列的集合记为c ,对x,y c,x x , y y ,(i 1,2, L),定义(x, y) sup x y ,证明(c,)是距离空间i N4 .设X是度量空间，在X中若xnx, yn y(n )证明：(xn,yn)(x, y)5 .设 x(m)x(m),x2m),L ,xnm),L (n 1,2,L),及 x1，x2,L ,%,L S ,证明点列x(m)收敛于x的充分必要条件是x(m)依坐标U^敛于x,即对每个自然数1, x(m)xi(m)2.2度量空间中的开、闭集与连续映射在第1章中，我们对Rn空间中的点集进行了详细讨论，介绍了开集、闭集等一系列概念，为了更深入研究度量空间中集合的内在结构， 本节我们将把这些概 念推广到一般度量空间中，其中大多数定义的叙述和定理的证明与以前的行文相 似。

2.2.1 度量空间中的开、闭集【定义2.3］设X是度量空间，Xo X , r 0是一个正数，点集｛x| (x,x)r,x X｝称为以xo为中心、以r为半径的开球，或xo的r邻域，记为B,(x0)或 Br(Xo,r);点集｛x| (x, Xo) r,x X｝称为以x°为中心、以r为半径的闭球，记为 Br(Xo)或 Br(Xo,r)0X中的点歹I」｛Xn｝收敛于x X ,用邻域的术语来说，。