韦达定理应用(资料).docx

韦达定理的应用、典型例题例1:已知关于x的方程2x — ( mi+ 1) x+ 1 — m=0的一个根为4,求另一个根1 -m解：设另一个根为 X1,则相力口,例2:已知方程x—5x+8=0 的两根为 xi, x2,求作一个新的二次方程，使它的两根分解：;电・•・代入得,.•・新方程为沙2—沙+旌0例3:判断是不是方程9x — 10x —2=0的一个实数根?解：・二次实数方程实根共轲，，若是，则另一根为102以口为根的一元二次方程即为91 -1工- 2二0卜 _y _3,_y =10例4：解方程组〔砂=一6解：设|尸还八0且4-0 = 01，依+%-5”1- A=5.1- x-y=5 又 xy=-6.Jl + (1y)—57]= 2 电二3.••解方程组1乂一』)"可二.可解得〔当=一,必=一2例5:已知Rt^ABC中，两直角边长为方程 x2 - ( 2m+ 7) x + 4m ( m- 2) =0的两根，且斜边长为13,求3AEC的值解：不妨设斜边为 C=13,两条直角边为a, b,则2%血第=s3 又a, b为方程两根ab=4m (m-2)..与即=沏加- 但a, b为实数且鼻口+必"期=1 3)/ +阴二- 必二 169..p-H^+30 = 0_ f. ・ m=5或 6当 m=6时，& < °，.1. m=5S^1-4-.例6: M为何值时，方程 8x2 — ( m- 1) x + m— 7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数 ④一根为零⑤互为倒数A>0餐+/4 0解：①;m>7G后> 0，不存在这样的情况。

③/七40m<7④再勺二0.'. m=7fa>o⑤1 8 .'. m=15.但使 A < °，不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1 .设n为方程x* + mx+ n=0 （nw0）的一个根，则 m+ n等于2 .已知方程x'+ px — q=0的一个根为一2+招，可求得p= ,q=3 .若方程x°+mx+ 4=0的两根之差的平方为 48,则m的值为（）A. ±8 B.8 C. -8 D. ±44 .已知两个数的和比 a少5,这两个数的积比 a多3,则a为何值时，这两个数相等?5 .已知方程（a+3） x2+1=ax有负数根，求a的取值范围x +尸=5的 卜” “36 .已知方程组［x +了 =1?的两组解分别为1汽;瓦，JL与，求代数式aib2+a2bi的 值7 . 3ABC中，AB=AC |Z A , Z B, / C的对边分别为a, b, c,已知a=3,b和c是关于x的1方程x*+mx+ 2- m m=0的两个实数根，求 △ ABC的周长小于勤而荒于,，行成于思而毁于随♦|【试题答案】1. - 1 2. 4 , 1 3. A 4. a=1 或 135. — 3< a< - 2提示：分 a=— 3以及aw — 3讨论求解6. 13例1已知p + q=198,求方程x2+px + q = 0的整数根.(’94冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x10x2由韦达定理，得x1+x2 = —p, x1x2=q.于是 x1x2 — (x1 +x2) = p+ q= 198 , 即 x1x2—x1—x2+1 = 199.・•.(x1 —1)(x2 —1) = 199 .注意到x1 — 1、x2 - 1均为整数，解得 x1 =2, x2 = 200; x1 =-198, x2 = 0.例2已知关于x的方程x2 —(12 —m)x + m —1 =0的两个根都是正整数，求 m 的化解：设方程的两个正整数根为 x1、x2,且不妨设x10x2由韦达定理得x1+x2=12 —m, x1x2=m —1.于是 x1x2 +x1 +x2 = 11,即(x1+ 1)(x2+ 1) = 12 ..「x1、x2为正整数，解得 x1 = 1 , x2 = 5; x1=2, x2 = 3.故有m = 6或7.例3求实数k,使得方程kx2 + (k + 1)x + (k—1) = 0的根都是整数.解：若k=0,得x=1 ,即k=0符合要求.若kwO,设二次方程的两个整数根为 x1、x2,由韦达定理得. x1x2-x1-x2 = 2,(x1—1)(x2 —1) = 3.因为 x1 － 1 、 x2－ 1 均为整数，所以例4已知二次函数y= —x2+px + q的图像与x轴交于（火0）、（8 0）两点，且 a> 1 > B,求证：p + q>1.（ ’ 9四川省初中数学竞赛试题 7）证明：由题意，可知方程一x2+px+q = 0的两根为a、0.由韦达定理得a+ 0= p , a 即 一 q .于是 p + q= a+ p— a §——（a & a— 0+ 1）+1= —（l 1）（ A 1）+1>1（因 a> 1>B）一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1 . 掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。

对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2 .掌握韦达定理及其简单的应用；3 .会在实数范围内把二次三项式分解因式；4 .会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问 题内容分析1. 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0（aw0）的根的判别式△= b2-4acz\> 0时，方程有两个不相等的实数根当△= 0时，方程有两个相等的实数根，当^<0时，方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系（1）如果一元二次方程 ax2+bx+c=0（a W0）的两个根是 x1, x2,那么 x1+x2=-b/a, x1x2=c/a（2）如果方程x2+px+q=0 的两个根是x1 ， x2， 那么x1+x2=-P， x1x2=q （3） 以 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2-（x1+x2）x+x1x2=0 ．3. 二次三项式的因式分解（公式法 ） 在分解二次三项式ax2+bx+c 的因式时， 如 果 可 用 公 式 求 出 方 程 ax2+bx+c=0 的 两 个 根 是 x1,x2 ， 那 么 ax2+bx+c=a（x -x1）（x-x2） ．〖考查重点与常见题型〗1. 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax2 —2x+1 =0中，如果a<0,那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x1, x2是方程2x2 —6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）（ A） 15 （ B） 12 （ C） 6 （ D） 33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。

在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力考查题型1 .关于x的方程ax2—2x+1 = 0中，如果a<0,那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2 .设x1, x2是方程2x2 —6x+3=0的两根，则x12+x22的值是（）（ A） 15 （ B） 12 （ C） 6 （ D） 33．下列方程中，有两个相等的实数根的是()(A) 2y2+5=6y (B) x2+5=2V 5 x (C) V3 x2- V2 x+2=0 (D) 3x2 — 2,6 x+1=04.以方程x2 + 2x —3 = 0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是()（ A）y2+5y － 6=0 （ B） y2+5y ＋ 6=0 （ C） y2－ 5y＋ 6=0 （ D） y2－ 5y－ 6=05.如果x1 , x2是两个不相等实数，且满足 x12—2x1 = 1, x22 —2x2 = 1,那么 x1?x2 等于( )( A) 2 ( B)－2 ( C) 1 ( D)－1 6．如果一元二次方程x2 + 4x+k2 = 0有两个相等的实数根，那么k =7.如果关于x的方程2x2 —(4k+1)x+2 k2 — 1 = 0有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是8.已知 x1 , x2 是方程 2x2 —7x + 4 = 0 的两根，贝U x1+x2= , x1?x2= , （x1—x2） 2 = 9.若关于x的方程（m2 — 2）x2 — （m — 2）x + 1 = 0的两个根互为倒数,则m =二、考点训练：1、不解方程，判别下列方程根的情况：(1)x2 —x=5 (2)9x2 —6,2 +2=0 (3)x2－ x+2=02、 当 m= 时，方程x2+mx+4=0 有两个相等的实数根；当 m= 时，方程mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根；3、 已知关于x的方程10x2 — (m+3)x+m —7=0,若有一个根为0,则m=，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－3/5 ，则 m= ，这时方程的两个根为. 4 、 已知 3－ 2 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及m 的值。

5、求证：方程(m2+1)x2 － 2mx+(m2+4)=0 没有实数根6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1—，5和1+V57、 设 x1,x2 是方程2x2+4x － 3=0 的两根， 利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2( 3) x12+ x1x2+2 x1解题指导1、 如果x2－ 2(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则m= ;2、 方程 2x(mx － 4)=x2 － 6没有实数根，则最小的整数m= ;3、 已知方程2(x－ 1)(x－ 3m)=x(m － 4)两根的和与两根的积相等，则m= ;4、设关于x的方程x2 — 6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20 ,则k值为；5、设方程4x2 — 7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程，求下列各式的值:(1) x12+x22 (2)x1 —x2 (3) Vx1 +Mx2 * (4) x1x22 + 12 x1* 6.实数s、t分别满足方程19s2 + 99s + 1 = 0和且19 + 99t +12 = 0求代数式(st＋ 4s＋ 1)/t 的值。

7 . 已知 a 是实数，且方程x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1 － (1/2) (a2x2 － a2－ 1)=0 有无实根？8 .求证：不论k 为何实数，关于x 的式子 (x－ 1)(x－ 2)－ k2 都可以分解成两个一次因式的积9 .实数K在什么范围取值时，方程 kx2 + 2 (k-1) x— (K-1) = 0有实数正根？独立训练(一)1、 、 不解方程，请判别下列方程根的情况；。