13b无穷小量、无穷大量、阶的比较.ppt

微积分讲课提纲微积分（微积分（I I））浙江大学理学院浙江大学理学院讲课人：朱静芬讲课人：朱静芬E_mail:jfzhu@E_mail:jfzhu@第三节 函数极限一、 函数极限的概念二、 函数极限的性质三、 函数极限存在的准则五、 两个重要极限四、 无穷小量、无穷大量、阶的比较 一、无穷小 语言表述语言表述 当当 时时 ,有有 则则例如例如, （（4）不能说函数）不能说函数 是无穷小是无穷小, 应该说在什么应该说在什么 情况下的无穷小情况下的无穷小. 即指出自变量的变化过程即指出自变量的变化过程.（（5) 同样有同样有 　时无穷小　时无穷小.注意注意: :（（1）无穷小是变量）无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;（（2）零是可以作为无穷小的唯一的数）零是可以作为无穷小的唯一的数. （（3））此此概概念念对对数数列列极极限限也也适适用用. 若若 ,称称 数列数列 为为 的无穷小。

的无穷小有界量与无界量有界量与无界量若若存在存在 的某空心邻域的某空心邻域 ，使，使f (x) 在在 内有界，则称内有界，则称f (x)当当 时是时是有界量有界量对对 无论多么小的某空心邻域无论多么小的某空心邻域 ，任给，任给M> 0 ，，存在存在 x’ ,使使|f (x’)|> M，，称称 f (x) 当当 　　　时是　　　时是无界量无界量定义：定义：定义：定义：2、无穷小与函数极限的关系、无穷小与函数极限的关系:意义意义（（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);3、无穷小的运算性质、无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍有限个无穷小的代数和仍是无穷小是无穷小.证证注意注意　　无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. .定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证证推论推论1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小. 例如例如,注意注意　　无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小无穷多个无穷小的乘积未必是无穷小. .例如例如, ,极限不同极限不同, , 反映了趋向于零的反映了趋向于零的““快慢快慢””程度不同程度不同. .观观察察各各极极限限不可比不可比.不存在不存在. .二、无穷小的比较定义定义: :例如，例如， 例：例：证明证明证证必要性必要性充分性充分性三、无穷大注意注意（（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;不是无穷大．不是无穷大．无界，无界， 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷但是无界变量未必是无穷大大.证证 2、无穷大的运算性质(2)(2)在某极限过程中在某极限过程中, , 无穷大量与有无穷大量与有界量之和仍为无穷大量界量之和仍为无穷大量.(3)(3)在某极限过程中在某极限过程中, ,有限有限个无穷大量之个无穷大量之积仍是一个无穷大量积仍是一个无穷大量. .不是无穷大量不是无穷大量是无穷大量是无穷大量考察考察有界量与无穷大量的乘积有界量与无穷大量的乘积是否一定为无穷大量？是否一定为无穷大量？考察考察 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量.3、无穷小与无穷大的关系定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷小的讨论小的讨论. 解解: (1)证明证明四、两个重要极限四、两个重要极限 例例. 求求例例.求求推广推广:例例. 求求解解. 例例. 求求解解. 例例. 求求 定义：定义：例：例： 求求解解 原式原式 例例解解定理定理( (等价无穷量替换定理等价无穷量替换定理) )证证意义：意义：在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们在求函数极限时，分子、分母、中的因式可以用它们的简单的等价量来替换，以便进行化简。

但替换以后的函数的简单的等价量来替换，以便进行化简但替换以后的函数极限要存在或为无穷大极限要存在或为无穷大注意：注意：分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，分子、分母中进行加、减的项不能替换，应分解因式，用因式来替换用因式来替换例例 求求解解例例 求求解解例例解解不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.注意注意切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换对于代数和中各无穷小不能分别代换. .解：解：求例例：：例例解解解解错错 连续两次使用等价无穷小替代连续两次使用等价无穷小替代. . 等价无穷小替代等价无穷小替代例：例：解解：：。