2022年全国硕士研究生招生考试302数学二预测卷7和答案解析.pdf

2 0 2 2年全国硕士研究生招生考试数 学 （ 二 ） 预 测 卷 （ 七 ）（ 科目代码:302）考生注意事项1 .答题前，考生须在试题册指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点2 .选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效3 .填 （ 书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2 B铅笔填涂4 . 考试结束, 将答题卡和试题册按规定交回 以下信息考生必须认真填写）考生编号考生姓名一、 选择题： 1〜10小题, 每小题5分， 共 50分. 下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是最符合题目要求的.4 ^ a r c ta n 工甘 + 1 £1.设 f⑺0 'z /0,则 l = 0 是函数f ( x ) 的% = 0,A .跳跃间断点.C .无穷间断点.B .可去间断点.D .连续点.2.设函数/ ( x ) 在［ 0,2］ 上二阶可导， 且 /(0 ) = /(2 ) = 0 ,则A .当 /"(z) > 0 时，J 0B .当 /'(z ) VO 时， 「 / ( G d rc . 当> 0 时 J ( l ) > 0.D .当/( I ) > 0 时， 「 f(z)dLr > 0.J 03 . 设函数/ G ) 在［ - 1,1］ 上连续， 则下列定积分中与［ ； ” ( sin " d r 不相等的是A. 7： / ( cos jr)dr.J oB . 7C/(sin jr)dr.C. - I /(cos x)dr. D. I /(sin jr)dr.Z J oZ J o4 . 设函数以外在点H= 1 的某邻域内具有二阶导数， 且 以 D > 0 J ( z ) = Cr—1)2次外, 则A .函数/ ( 外在点z = 1处取得极大值.B.函 数 在 点 z = 1 处取得极小值.C .函数f ( 1 ) 在点才= 1处不取得极值.D.点(1 ,0 )是曲线y = / ( x ) 的拐点.5. 设 L = J J (|x | + |y | )e- l-r | - l>, drd>,Z2 = « ( / +力 -'l " d rd y / = Ijcx3 + r，v，drd>,D D D其中 D = {Gr,y)| | N |+ |y |& D，则A. I\ V I2 < L B. I2 V 八 V I1.C・八 V L V A. D. /3 V lz V L .6 .函数/(r ,y )(z,y) W (0,0),在点(0,0)处(>z,y) = (0,0)A .偏导数存在但不连续.第2页 ( 共8页)B.连续但偏导数不存在.C .连续. 偏导数存在但不可微.D .可微.7. 设义工) 为二阶可导函数, 且l = 0 是 f ( z ) 的驻点， 则二元函数z = / ( z ) P 3 在点(0 ,0 )处取得极大值的一个充分条件是A. /(0 ) > 0 ,/( 0 ) > 0 .B./(0 ) < 0 ,/ ( 0 ) < 0 .C. /(0 ) > 0 ,/( 0 ) < 0 .D ./(0) < 0 ,/( 0 ) > 0 .8. 设 4维列向量组Qi ,a2， 窃 3， % 线性无关次是常数“ =a + k .住= a,2 - ka3也= 03 + 也 ， ，6 =&+ 也 …记 8 = (4 , 仇. 良/‘ ) ， 则齐次线性方程组版= 0 有非零解的充分必要条件为A. k 丰 1, B. k W土 1.C. % = 1. D. k~ = 1.9. 设A 为 3 阶矩阵且满足Ai = E ,r (E -A ) = 1. 则|A* + 3 E | =A. 8.B. 16.C. 18. D. 32.1-1 1[2 0 010. 设 A = 24 - 2,3 = 0 / ; 0 . 若A 与3 相 似 , 则 常 数 的 值 分 别 为- 3- 3 a0 0 2A. 5,6. B, 4,5.C. —5 ,—4. D. —1,0.二、 填空题：11〜16小题， 每小题5 分， 共 30分 .11 . 曲线)=Cr > 0 ) 在点( 1 ,1 )处的切线方程为—12 .J 1 xV x — 113 . 定 积 分六 三业的值为.14 . 设函数 y (z )满足方程，(z )+ 4，(z)+ 4 y (z) = 0 ,且y(0) = 0,jZ(0) = 1,则曲线y = y (i)的 拐 点 坐 标 为 .15 . 设 n = N(«r,y)是由方程z3 — 312N—Qyz + 3①一 3y = 1 所确定的函数, 则1dxdy (0,0)16 . 设A 是 5 X 4 矩阵, r(A) = 3 ,a ,,a2 ,a3是非齐次线性方程组Ax b 的三个不同的解， 且 6 + 2a-> + 3a,i = (l» 2 ,l,0 )T,ai + 5 侬 = (—2,5, —5, —3 )「 ， 则方程组Ar = 8 的通解为x =.第3页 ( 共8页)三、 解答题： 17〜 22小题， 共70分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.17 . ( 本题满分10分)设函数/ ( Z )在点7 = 0的某一邻域内可导， 且/(0 ) = 0 ,/( 0 ) w 0 ,当I 2 0时, / ( z )手0,求lim「兴 力 出J 0____________[M18 . (本题满分12分)已知方程! 一卷= 为在区间(— 8 , 0 )内有实根'求常数6的取值范围.第4页 ( 共8页)1 9 .（ 本题满分1 2分）设函数/ （ X ） 满足方程f（ 工 ） +/（ G = 2 - ， 且 / （ 0） = 2, 记由曲线y = £黑 与 直 线 y = 1 ，7 = y > 0）及 ？轴所围平面图形绕了轴旋转一周所形成的旋转体的体积为V （ t ） , 求l im V（ z ） .第5页（ 共8页）20.（本题满分1 2分）设 / （ 外为［ 0 ,+8 ）上的可导函数.且/ （ 0） = 1 ， /（外 >0, l im人 力 = + 8 .证明： 当z> 0时,年 V a r c t a n / （ x ） + 7 / -； V 子 + LZj\J C） 4第6页（ 共8页）21.(本题满分12分)设平面区域D 是由封闭曲线/ + y = a(x+ X/J2 + y ) 所围成的有界闭区域, 其中常数a 〉计算 I = JJ[x2ln(y + x/1 )+ 工 / 储 + y ]da.D第7页 ( 共8页)22.（本题满分12分）设二次型 / （ xi ,n2，工3） = ax\ +oz2 + 2br।T2 + 2&r।x3 + 2 6 r2x；i 的矩阵为 A,已知 A 的特征值为-1 ,2 ,2 .（ D求常数a,6的值；（ 2）求一个正交变换x = 0,将二次型/ 化为标准形.第8页（ 共8页）参考答案与分析卷( 七)一、 选择题1.【 答案】D【 分析】因为…lim一 / (J") = lim ------arctan - = (― 1) • (----) = 4 ,I T ee + 1 / ' 2 / 2lim/(.r) = lim ------arctan — = 1 - = -J-,F + L O+ e- 4-1 工所以lim/(.r) = lim /(x) = -- = /(O ).从而r = 0是函数/ ( z )的连续点.x-O - L O+ ,应选D.2.【 答案】A【 分析】 如图所示， 当 / '( 力 >0时， 曲线y = /C r)在［ 0,2］上是凹的.又 /<0) = /(2) = 0 ,故 /(x ) < 0(0 < x < 2 ).于是， 一 「/'(—a r >J 0十 X2 X 匚 一f⑴ 口 = 一 / ⑴ ， 即j：fG r)dr < /(1 ).应选A.3.【 答案】C【 分析】因为J x f (sin x)clr X J (K — Z)/(sin ；)d/ = nJ /(sin x)cLr — | jr/(sin j)cLr.所以1 z/(sin N)dr = 0 [ /(sin j)d r.Jo L Jo又■y J /(sin x)cLr -y /(cos Z)d/ = 兀 J /(cos l)dl = j t |J /(cos j)cLrX^J2 ~U f x fx- ----- =7t ' /(sin w)d« = 7t ' /(sin x)dLr.JoJ 0应选c.4.【 答案】B【 分析】由泰勒公式可知， 存在£ 介 于1和工之间， 使得 0.于是， 函数/(X)在点H = 1处取得极小值.应选R5 .【 答案】D【 分析】 令 / ( « )= “ 叱 ， 则当〃 V 1时, / ( 〃)= (1 — u)e-M > 0 ,故f( u )在( - 8 , 1 ]上单调增加.因为当(z，3)6 D时， |当 &1 ,1 1 4 1 ,所以当( 以3)e D ,且Cr，W W (0,0), |z |+ |y | 时,-r3 + " < |z |+ l y l v 1，从而( 炉 + 炉)- J - y < ( |x |+ \y\ )e-,4 r |-|>1 ,于是jj(x3 + y3 )e-jl-v 3 drdy < jjc-r2 + y2 )e~j2~y2 drdy < JJ( I Z I + I y I 九7，U irdy.D D D即 I3< /2< /1.应选D.6 .【 答案】C【 分析】 因为 £*彳&1，所以 lim f(X,y) = lim f工=0 = f(0,0),即/C r,y)在点(0,0)JT -T y 以。

)一 津 )= lim ° = 0,lim —〜(d )= lim & = 0,j-o x - 0 "T-o x r*o y - U y*o y所以以工,y )在点(0 .0 )处存在偏导数， 且 乙 (0,0) = /» (0 ,0 ) = 0 .乂 H m f& '.y ,一/(o,o)- 1 /(o,o) (~r—o)+ /v(o,o) (» - o)1 _ 所 f y9(x2 + y)^ '而l im —" , r= l im - " , = —声 0•所以胃(f+y” 口( f + x2)号 2>/2H m / ( — ， .)― / ( 0, 0)-[ 乙( 0, 0)( 7 — 0) + /( 0, 0)(、 一 0) Z 1 , 0骂 " + ―即函数f(x,y)在点( 0, 0)处不可微.应选C.7 .【 答案】C【 分析】 = 八外"弩= / ( ” ) "/( 必<) X dyB =八外",蕊= /⑺ 八 山”，y -7 = / ( 外 / ， )[ / ( 3)了+ / ( z )e/ x" / '( y ).3y由于1 = 0是/ ( X)的驻点， 即/ ( 0) = 0,因此点( 0, 0)是函数Z = / ( 幻》、 ) 的驻点.在点( 0, 0)处，A = I = //( O )e/ < o>, B = ^- | = 0 , C = I =/ ( 0)/,( 0)e/ ( 0).2k | (o.o) dxdy | 0且/ 〃( 0) V O时,A C-B? = / ( 0)E / ( 0)]2e2/ < 0> > 0 , A < 0 .此时.z = 在点( 0, 0)处取得极大值.因此,z = 在点( 0, 0)处取得极大值的一个充分条件是/ ( 0) > 0,/ ( 0) < 0.应选C.8 .【 答案】D【 分析】 由题设，10 0 64 10 0B =•住,即、 0; ) = ( f l | » « 2 .03 * c t ； )0 ^ 1 0. 0 0 61由于明， 。

2， 23， 04线性无关， 因此( 1 ， « 2，3, 04)是可逆矩阵， 故r ( B) = N , 其中1k0001k00 k10 0 40 0^10 0， 1 c| == I T1 00 4 10k 10 0 4 1于是侪次线性方程组取=0有非零解㈡N S ) V 4= 1 C | = 0㈡ 父 =1㈡ 公 =1.应选D .9 .【 答案】B【 分析】 由于A ? = E ,因此A的特征值只能为1或 一 1,且( E + A ) ( E - A ) = O, 从而r( E +A ) +r ( E - A ) < 3 ,又因为厂( E + A ) + r( E — A ) )厂［ ( E + A ) + ( E — A ) ： ］ = r( 2E ) = 3,所以r( E 4- A ) + r( E - A ) = 3.已知r( E - A ) = 1,故N E + A ) = 2.于是, 特征值一 1对 应1个线性无关的特征向量， 而特征值1对应2个线性无关的特征向量, 从而3阶矩阵A共有3个线性无关的特征向量•因此, A的全部特征值为1, 1, 一1,从而A.的全部特征值为- 1.一1. 1泊・+3 E的全部特征值为 2, 2, 4.故|4, + 3E | = 2 X 2 X 4 = 16 .应选R10. 【 答案】A【 分析】1 - 1 12 4 - 2- 3 - 3 a1 -1 10 6- 40 — 6 a + 31 - 1 10 6 — 4 = 6(a— 1), | BI = 46；0 0 a -1tr(A) = a + 5,tr(B) = 64-4.因为A〜B.所以tI rA(A I )= = tBr(iB, ),即 Lf 6 (+a —5 =1) 6=+ 4Ib., 故5.〃 = 6.应选A.二、 填空题11 . 【 答案】 , = 工【 分析】 由y' = （ 「ln' ） ' = e? ln' （ 2Mn>r + 1r） ,知 ； / | 一 = 1. 又因切线过点（1,1） ,故所求切线方程为y = 了 .12 . 【 答案】式【 分析】j —卢--- = 2f 丁"宝=2arctan / + C = 2arctan J工-1 + C(C为任意常数) .J x Z r- 1 J 1 + L注意到x = 1是被积函数的瑕点，[ — 严 = lim f -= lim2arctan J x - 1 I = 9，lim2arctan J工 一 \T ,故『看「一也+ 「 dr =卫 +工 =J 1 x -Jx - 1 J 2 x x/r — 1 2 213 . 【 答案】号【 分析】 , 土耳" =’ ( 正事+正芋 ) 公 = 『4^改 =李JT ] + - Jo\ ] + / ] + e-3 / Jo 414 . 【 答案】(1,0-2)【 分析】 由题设知， 微分方程的通解为y(i) = (Ci 由3 >(0) = 0 ,y(0) = 1, 得G = 0,Q = 1 .故y(z) = J*e- 2 j,y(x) = (1—2x)e-2 x，y C ) = 4(x—l)e-2x.令y"(z) = 0,得 千 =1,且y"Cr)在工=1左右两侧异号. 于是•曲线y = J(J)的拐点坐标为(l,eT).15 . 【 答案】4【 分析】 令 F(x^y^z) =2^ — 3x2z — 6yz + 3«r — 31y — 1,则H = - 6 衣 + 3,凡 =-6N - 3, R = Sz2 - 312 — 6y.由1 = 0 ,j = 0易得2 = 1 .于是.匹 =_F1 _ _ - 6衣 + 3 _ 2衣- 1 ， 一 I _ _ ].3— - 31? - 6j / - JT2 - 2j>, H i I(o.o) '匹 __ FC _ ____ — 6z- 3 _ 2 z+ 1 I _ „f)y F K 3— - 3 > - 61y z2—x2—2y* ^y\ < o.o)(0.0)16.【 答案】 晨1,一1. 2, 1) T + (卷, 母, 卷,0)%为任意常数)【 分析】 因为A是5 X 4矩阵, r( A ) = 3,所以非齐次线性方程组A x = b对应的齐次线性方程组Ax = 0的基础解系只含一个线性无关解向量. 由于a：i — az = [ ( m + 2a 2 + 3a ；＞ ) ­ ( a ] + 5 a2) 0=E ( 1, 2, 1, 0 )T 一 ( — 2, 5 , — 5 , 1 3)1 1= ( 1, - 1, 2, 1)T是齐次线性方程组Ai = 0的基础解系， 而4- ( a i +2at + 3

) ( 我为任意常数) .v O 6 0 '三、 解答题17.【 解】 由于/ ( 外在点z = 0的某一邻域内可导， 且/ ( 0 ) = 0 , / ( 0 ) # 0 ,因此扁起=扁检中— o x — o x - 0f ( 0 ) # 0 , l imx - »0又当N羊0时J C r) W O,则z /2( f ) d zl im• r - 4 )2/ (工)J / ⑺山= l im0■ Z/(N)2 P / ( D d zJ 0力2 ( -l im —102/ ( 外« r10/ ( 0 )7( 0 )118.【 解】 令/ ( X ) = y, 则f( H ) = — "A +① 一1)/ ( e1 —- ( e ， - 1尸 _ j2/ ( - 1) 2再令 g ( j r) = x2 一 ( 十一2 + e -x) •则g ' ( z ) = 2N — ( 1 — e-J) »g， z( x ) = 2 — ( — + e-J) .由于/ G r) < O C r W 0 ) ，因此g ’ C r)单调减少. 从而当①V 0时• / ( 6 > g ( 0 ) = 0 ,即g( 外在( - o o , 0 ]上单调增加. 于是， 当/ V 0时,g ( z ) V g ( 0 ) = 0 ,从而/ C r) V 0.即 人 "在 ( 一8 , 0 )上单调减少. 于是， 当/ V 0时, / ( 0一 ) < / ( x ) < / ( - o o ) .又/ ( 0-) = l im ( - - - -- 1 [ ) = l im 0片】= l im ? 一 = l im C ■= 得 ，2e ^ - l / L O-NS- D —o - x2 … -2/ 2/ ( 一8 )= l im1一4) =】 ，j r — 1 /知 十 ＜ / ( X) ＜ 1.故当且仅当十＜ ^ ＜ 1时, 方程9- 1— 1々在区间( 一 8 , 0 )内有实根.19.【 解】/ ( / ) + / ( z ) = 2-为一阶线性微分方程， 其通解为/ ( x ) = e T " ( j 2cze 1d z d r + C) = e -x( eZ j + C ) = + C e-^ .由 / ( O ) = 2,得 。