第三章数学悖论概率论悖论课件.ppt

第三章 概率论悖论,本章教学目的： （1）了解概率在实际生活的重要性； （2）说明直觉会得出错误的结论，而正确 的解答往往与常识矛盾； （3）用较为直观的方法深入体察问题的结构； （4）引导学生深入到概率论较深奥的内容中 去在社会实践和科学实验中，人类观察到的现象大体上可以分为两种类型 一类是事前可以预知结果的，就是某些确定的条件满足时，某一确定的现象必然会发生（出现），或者根据它过去的状态，完全可以预知它将来的发展状态，我们称这一类现象为确定性现象或必然现象例如在标准大气压下，水在100时肯定会沸腾；两个异性的电荷一定相互吸引；冬天过去春天肯定会到来，等等另一类现象是在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象，我们称为随机现象 对于随机现象，事前不能预知结果，就是某些确定的条件满足时，究竟会发生（出现）什么结果也是不能确定的或者根据它过去的状态，不能肯定它将来的发展状态换句话说，即使在相同的条件下重复进行试验，每次所得到的结果未必相同 例如抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）向上，也可能是反面向上，在硬币落地之前我们不能预知哪个结果会出现在我们买彩票时，我们不知道哪一些号码组合会出现，只有在摇号机摇出结果以后才知道。

由于在一次试验中随机现象的规律性不容易确定，因此我们通过重复试验来探求 若 在次试验中，事件 发生了 次，则称 为事件 在 次试验中出现的频率由于频率的大小表示事件发生的频繁程度，频率越大，事件发生的越频繁，就意味着事件在一次试验中发生的可能性越大因此频率在一定程度上表示了事件在一次试验中发生的可能性大小设在 次试验中，事件 发生 次，当 很大时，如果其频率 稳定的在某一数值 附近摆动，且随 的增加，摆动幅度越来越小，则称 为事件 的概率，记为 在1487年，帕西欧里（Paccioli）曾经考虑过下面的分配奖金问题：甲乙两人比赛，奖金64元，先赢60次的人获得全部奖金当甲赢50次、乙赢30次时，由于某种原因，比赛不得不终止，问甲乙如何分此64元才公平帕西欧里的答案是甲得 元，乙得 元，公平吗？,,,帕斯卡与费马在往来的信函中讨论“合理分配赌注问题”，后来荷兰物理学家惠更斯也参与进来该问题可以简化为：甲、乙两人进行某种比赛，先赢三场赢取全部赌注假定在甲赢两场、乙赢一场时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理他们两人用不同的方法得到相同的结果。

经过他们共同研究，这个问题的通解是：如果甲需要再赢m次才能获胜，乙需要再赢n次才能获胜，则甲乙分钱之比为从这个结果可以看到前面帕西欧里曾经给出的分配奖金问题的答案是错误的如果一个事件的发生不影响另外一个事件发生的概率，则认为这两个事件是独立的 如果抛掷一枚硬币两次，第一次出现的结果不会影响第二次的结果如果你认为不是这样，可以这样来考虑：硬币是没有记忆的，它不会记下第一次的结果而影响第二次的结果，反过来也是正是独立性使人们产生很多困惑如果一个人抛掷硬币连续出现5次正面，他可能会认为下一次十有八九会出现反面，而实际上下一次出现反面的概率仍是二分之一，和出现正面的概率一样，只要硬币是对称的更进一步，如果抛掷一枚硬币十次，全是正面的概率和你事先将每一次的结果任意确定以后的概率是一样的1独立性的误区 在网上有一种赌博游戏，人们用虚拟货币作为赌资游戏规则是：参与赌博的人将自己的赌资选择押在单数或者双数上，而由计算机随机产生一个数字，押对者获胜 参与者甲：“我选择的一直是单数，结果连续10次都是双数，输惨了，下一次押什么数呢？” 参与者乙：“连续10次都是双数，下一次肯定是单数，你多押点，不管怎么说，下一次是单数的机会要大得多！”,为了说明问题，我们可以假定一个人抛掷硬币，前面三次都是国徽向上。

这时再扔第四次，国徽向上的概率还是完全与以前一样：一半对一半，硬币对于它过去的结果是不会有记忆的，因此也不会为出现哪一面提供帮助很多玩轮盘赌的赌徒以为，他们在盘子转过很多红色数字之后，就会落在黑的上，他们就可以赢了事情将是这样进行的吗？埃德加阿兰坡坚持认为，如果你在一轮掷骰子中已掷出五次两点，你下次再掷出两点的机会就要小于1/6了他说得对不对呢？ 如果你对任何这类问题回答说“对”，你就陷入了所谓“赌徒的谬误”之中在掷骰子时，每掷一次都与以前掷出的点数完全无关如果事件A的结果影响到事件B，那么就说B是“依赖”于A的 例如，你在明天穿雨衣的概率依赖于明天是否下雨的概率 在日常生活中说的“彼此没有关系”的事件称为“独立”事件 例如，你明天穿雨衣的概率是和美国总统明天早餐吃鸡蛋的概率无关的1）第一次世界大战期间，前线的战士要找新的弹坑藏身他们确信老的弹坑比较危险，因为他们相信新炮弹命中老弹坑的可能性较大因为，看起来不可能两个炮弹一个接一个都落在同一点，这样他们就合理地认为新弹坑在一段时间内将会安全一些2）有一个故事讲的是多年前有一个人坐飞机旅行他担心哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹，于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。

他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹，他又进一步推论，一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事事实，他自己带的炸弹不会影响其他旅客携带炸弹的概率，这种想法无非是以为一个硬币扔出的正反面会影响另一个硬币的正反面的另一种形式而已3）轮盘赌中最受欢迎的系统是戴伦伯特系统，它正是以赌徒未能认识到事件的独立性这一“赌徒谬误”为基础的参与者赌红色或黑色（或其他任何一个对等赌金的赌），每赌失败一次就加大赌数，每赌赢一次就减少赌数他们猜想，如果小小的象牙球让他赢了，那么就会有某种原因“记住”它，不太可能让他在下一次再赢；如果小球使他输了，它将感到抱歉，很可能帮助他在下一次赢事实是每一次旋转，轮盘都与以前的结果无关，这就十分简单地证明了，任何一个赌博系统给赌徒的好处都不会比给赌场主的还多2哪一种情况更容易出现？,在实际问题中，人们很容易作出错误的概率计算桥牌中的某一花色分布是很容易计算错的一种情况现在假设庄家手上有某一花色的七张牌，对方的分布可能是什么样呢？ 庄家：“哦，外面有六张牌，最可能的情况应该是3-3分布，即每位对方手里有三张牌正好我有三张大牌，拿到四墩牌没问题！”,事实真是这样吗？如果外面有偶数张牌，许多庄家就会认为是平均分布，但是这种看法不准确。

只有外面是两张牌时，1-1分布才比2-0分布略高一丁点，这时1-1分布是52%，2-0分布是48%当外面有4张牌时，3-1分布是49.7%，2-2分布是40.7%当外面有6张牌时，3-3分布是35.5%，4-2分布是48.5%当外面有8张牌时，差距更大，5-3分布是47.1%，4-4分布是32.7%如果一个家庭有四个孩子，他们的性别会是什么样呢？同上面一样，很多人会认为有两个男孩和两个女孩的可能性最大，实际上三个男孩一个女孩或者三个女孩一个男孩的可能性更大一些 我们可以用抛掷硬币来说明上面的情况如果抛掷四枚硬币，假设每枚硬币出现正面和反面的可能性相同，下面十六种结果出现的可能性是一样的：正正正正，正正正反，正正反正，正正反反，正反正正，正反正反，正反反正，正反反反，反正正正，反正正反，反正反正，反正反反，反反正正，反反正反，反反反正，反反反反在这十六种情况中，两次正面两次反面的情形只有6种，而三反一正和三正一反的情形有八种3.抽签的公平性,抽签是人们经常使用的一种方法，尤其在现代体育比赛中得到广泛应用在足球比赛中，每个小组里面球队的确定往往使用抽签的办法，其它球类比赛也往往如此如果没有人为的故意，大家都相信抽签的公平性，是这样吗？ 我们来看一个简单的抽签模型。

假如学校给某个班级10张电影票，而这个班级有40人，大家都想得到一张电影票于是班长就将40张纸条上分别写上1-40的数字，规定抽到1-10号数字的同学获得电影票由于要有先后抽签的顺序，自然就产生一个问题：先抽与后抽的机会一样吗？,学习过全概率公式的同学很容易计算书它们的概率完全一样我们使用古典概型也很容易计算出来 抽签的历史已经无从考求，但人们肯定在很早以前就开始应用抽签方法来进行某种决策行为了那种认为抽签不公平的想法只是混淆了条件概率4伯特纳德箱悖论 伯特纳德设想有三个外观一模一样的箱子，第一个箱子装着两枚金币，第二个箱子装着两枚银币，第三个箱子装有一枚银币和一枚金币将三个箱子混杂在一起，然后随机选取一个箱子，显然这个箱子里装着两个一样的钱币的概率是2/3假定我们从选出的箱子中拿出一枚钱币，结果看到它是金币这就是说，箱子里的不可能是两枚银币，因此，它必然是两枚金币，或者是一枚金币和一枚银币由于两个箱子中任何一个被选中的机会相等，看起来似乎我们取得两枚同样钱币的概率降到了1/2如果取出的是银币，也会得出同样的结论取出箱中的一枚钱币看一看，怎么就改变了箱中装两枚同样钱币的概率呢？显然这是不可能的。

当我们看到一枚金币时，其实有两种可能：这一枚金币或者另外一枚金币并非仅有一种可能这和前面抽签问题一样，使用全概率公式很容易算出问题的概率不会发生变化在伯特纳德以后，一位德国数学家将这个悖论写进一本书中，于1889年发表数学家达朗贝尔（DAlembert，17171783）曾经考虑过下面的问题：抛掷一枚硬币两次，问至少出现一次正面的概率是多少？我们知道这个概率概率是3/4达朗贝尔认为，如果抛掷第一次出现正面，就不必抛掷第二次如果第一次出现反面，第二次的抛掷结果有两种情况，因此一共有三种情况出现，于是问题的答案应该是2/3达朗贝尔的错误在于把上面每一个事件的概率都看成相同的，这样才会得到他的结果在很多赌博游戏中，如果相信对概率认识的直觉将会吃亏下面是一个用三张卡片和一顶帽子做工具的赌博例子，可以证明这一点 卡片由下面三张形式的卡片组成第一张卡片两面都是圆圈中间那张卡片，一面是黑点，一面是小圈最后一张则两面都是黑点 庄家把卡片放在帽子里摇晃，让你取一张把它放到桌子上然后，他与你以对等的赌金，打赌下面两圈点是和上面的一样庄家为了哄你，让你以为这个赌博是公平的，比如看到上面是一个小圈，就说你的卡片不可能是黑点黑点卡。

因此，它要么是小圈小圈卡，要么是黑点小圈卡下面的不是黑点，便是小圈，所以你和他赢的机会相等 要是这个游戏是公平的，庄家怎么会这样快就赚了你的钱呢？,,一个男孩有一个玻璃球，一个女孩有两个玻璃球他们向竖在地上的一根立柱弹球，玻璃球最接近立柱者胜假定男孩和女孩技巧完全相同，测量也足够精确而不会引起纠纷女孩赢的概率是什么？观点一：女孩弹两个玻璃球，男孩只弹一个，因此女孩赢的概率是2/3观点二：把女孩的玻璃球叫做A和B，把男孩的叫做C，就有四种可能的情况： （1）A和B都比C更接近立柱； （2）仅A球比C球接近立柱； （3）仅B球比C球接近立柱； （4）C球比A和B都接近立柱 这四种情况中三种都是女孩赢，所以女孩赢的概率是3/4为了解决这个问题，我们列出全部可能的情况，它是六种而不是四种 按三个球接近立柱的次序，使最近者在前，列表如下： ABC ACB BAC BCA CAB CBA 在六种情况中有四次是女孩赢这就证明了第一种观点对，女孩赢的机会是4/62/35女朋友的烦恼 人们在排队等候进行某种事情时总会有这样的感觉：自己所排的队伍总是比较慢，自己很少排在行进最快的队伍中银行的服务窗口开展多种服务，每一种服务所需要的时间不一样，而且即使同样的业务不同的人需要的时间也可能不一样，这样导致人们等待时间不同。

去银行办理业务的人往往困惑不已：为什么自己总是排在比较慢的队伍里？,大家听说过一个青年无法决定看哪个女朋友好的事吗？他有两个女朋友。