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材料力学-切应力计算(完整资料).doc 此文档下载后即可编辑 第四章 弹性杆横截面上的切应力分析 §4-3梁横力弯曲时横截面上的切应力 梁受横弯曲时，虽然横截面上既有正应力 σ，又有切应力 τ但一般情况下，切应力对梁的强度和变形的影响属于次要因素，因此对由剪力引起的切应力，不再用变形、物理和静力关系进行推导，而是在承认正应力公式（6-2）仍然适用的基础上，假定剪应力在横截面上的分布规律，然后根据平衡条件导出剪应力的计算公式 1．矩形截面梁 对于图4-15所示的矩形截面梁，横截面上作用剪力F Q 现分析距中性轴z 为y 的横线1aa 上的剪应力分布情况根据剪应力成对定理，横线1aa 两端的剪应力必与截面两侧边相切，即与剪力F Q 的方向一致由于对称的关系，横线1aa 中点处的剪应力也必与F Q 的方向相同根据这三点剪应力的方向，可以设想1aa 线上各点切应力的方向皆平行于剪力F Q 又因截面高度h 大于宽度b ，切应力的数值沿横线1aa 不可能有太大变化，可以认为是均匀分布的基于上述分析，可作如下假设： 1）横截面上任一点处的切应力方向均平行于剪hj 力F Q 。

2）切应力沿截面宽度均匀分布 基于上述假定得到的解，与精确解相比有足够的精确度从图4-16a 的横弯梁中截出dx 微段，其左右截面上的内力如图4-16b 图4-16 图4-15 所示梁的横截面尺寸如图4-16c 所示，现欲求距中性轴z 为y 的横线1aa 处的切应力 τ过1aa 用平行于中性层的纵截面11cc aa 自dx 微段中截出一微块（图4-16d ）根据切应力成对定理，微块的纵截面上存在均匀分布的剪应力 τ'微块左右侧面上正应力的合力分别为1N 和2N ，其中 * 1I 1** z z A z A S I M dA I My dA N == =??σ （4-29） * 1II 2)()(* * z z A z A S I dM M dA I y dM M dA N +=+= =??σ (4-30) 式中，*A 为微块的侧面面积， )(II I σσ为面积*A 中距中性轴为 1y 处 的正应力，?=* 1*A z dA y S 。

由微块沿x 方向的平衡条件∑=0x ，得 21='-+-dx b N N τ （4-31） 将式（4-29）和式（4-30）代入式（4-31），得 0* ='-bdx S I dM z z τ 故 z z bI S dx dM * = 'τ 因 ττ='=,Q F dx dM ， 故求得横截面上距中性轴为 y 处横线上各点的剪 应力τ为 z z Q bI S F *= τ （4-32） 式（4-32）也适用于其它截面形式的梁式中，Q F 为截面上的剪力； z I 为整个截面对中性轴z 的惯性矩；b 为横截面在所求应 力点处的宽度；* y S 为面积*A 对中性轴的静矩 对于矩形截面梁（图4-17），可取1bdy dA =，于是 )4 (222 2111* y h b dy by dA y S h y A z -===? ? 这样，式（4-32）可写成 )4 (222 y h I F z Q -=τ 上式表明，沿截面高度剪应力 τ按抛物线规律变化（图4-17）。

在截面上、下边缘处，y=±2 h ,τ=0；在中性轴上，y=0，切应力值最大，其值为 A F Q 23max = τ （4-33） 式中A =bh ,即矩形截面梁的最大切应力是其平均剪应力的23倍 2．圆形截面梁 在圆形截面上（图4-18），任一平行于中性轴的横线aa 1两端处，剪应力的方向必切于圆周，并相交于y 轴上的c 点因此，横线上各点剪应力方向是变化的但在中性轴上各点剪应力的方向皆平行于剪力F Q ，设为均匀分布，其值为最大由式（4-32）求得 A Q 34max =τ （4-34） 式中24 d A π =， 即圆截面的最大切应力为其平均切应力的34倍 3．工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼缘组成式（4-32）的计算结果表明，在翼缘上切应力很小，在腹板上切应力沿腹板高度按抛物线规律变化，如图4-19所示最大剪应力在中性轴上，其值为 Z z Q dI S F max max )(*= τ 式中（S *z ）m ax 为中性轴一侧截面 面积对中性轴的静矩。

对于轧制 图4-18 图4-19 图4-17 的工字钢，式中的max *)(z z S I 可以从 型钢表中查得 计算结果表明，腹板承担的剪力约为（0.95~0.97）F Q ，因此也可用下式计算τm ax 的近似值 d h F Q 1max ≈ τ 式中h 1为腹板的高度，d 为腹板的宽度。