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寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.1 2.1 认识无理数认识无理数北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u有理数及有理数的非万能性有理数及有理数的非万能性u无理数无理数 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 如图是两个边长为如图是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法 得到一个大的正方形得到一个大的正方形.（（1）设大正方形的边长为）设大正方形的边长为a，，a满足什么条件？满足什么条件？（（2））a可能是整数吗？说说你的理由可能是整数吗？说说你的理由.（（3））a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.事实上，我们可以证明，在等式事实上，我们可以证明，在等式a2=2中，中，a既不是整数，也既不是整数，也不是分数，所以不是分数，所以a不是有理数不是有理数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点知识点有理数及有理数的非万能性有理数及有理数的非万能性 做一做做一做（（1）如图）如图, ,以直角三角形的斜边为边以直角三角形的斜边为边 的正方形的面积是多少？的正方形的面积是多少？（（2）设该正方形的边长为）设该正方形的边长为b，，b满足什么条件？满足什么条件？（（3））b是有理数吗？是有理数吗？ 知知1 1－导－导在上面的两个问题中，数在上面的两个问题中，数a，，b确实存在，但确实存在，但都不是有理数都不是有理数. . 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 在解决实际问题时，我们发现原来学习的有理在解决实际问题时，我们发现原来学习的有理数远远不能满足解决实际问题的需要，也就是存在数远远不能满足解决实际问题的需要，也就是存在这样的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不这样的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不是有理数．是有理数．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲例例1 如图，有一个由五个边长为如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图的小正方形组成的图 形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正 方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？（来自（来自《《点拨点拨》》））解：解：因为小正方形的边长为因为小正方形的边长为1，， 所以每个小正方形的面积为所以每个小正方形的面积为1，， 所以拼成的正方形的面积为所以拼成的正方形的面积为 5×1＝＝5. 因为找不到平方等于因为找不到平方等于5的有理数，的有理数， 所以这个正方形的边长不是有理数．所以这个正方形的边长不是有理数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 解决本题的关键是理解五个小正方形解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．的面积的和就是拼成的正方形的面积．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 有理数按定义分，它包括有理数按定义分，它包括________和和 _______；； 按性质分，它包括按性质分，它包括____________，， 0，， _____________．．2 已知在已知在△△ABC中，中，∠∠C＝＝90°，，AC＝＝4，，BC＝＝5，， 那么斜边那么斜边AB的长是的长是(　　　　) A．整数．整数 B．分数．分数 C．有理数．有理数 D．非有理数．非有理数知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））整数整数 分数分数 正有理数正有理数 负有理数负有理数 D 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点知识点无理数无理数知知2 2－导－导面积为面积为2的正方形的边长的正方形的边长a究竟是多少呢？究竟是多少呢？(1)如图如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的 理由理由.(2)边长边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位 呢？呢？…………借助计算器进行探索借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－导－导边长边长a 面积面积S 1

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲1.议一议议一议 把下列各数表示成小数，你发现了什么？把下列各数表示成小数，你发现了什么？事实上，有理数总可以用有限小数或无限事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示循环小数表示. .反过来，任何有限小数或反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数无限循环小数也都是有理数. .北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2.无理数无理数 (1)无理数的定义：无限不循环小数称为无理数．无理数的定义：无限不循环小数称为无理数． (2)无理数的类型：无理数的类型： ①①上述中的上述中的a，，b类型的；类型的； ②②圆周率圆周率π型的；型的； ③③如如0.585 885 888 588 885…(相邻两个相邻两个5之间之间 8的个数逐次加的个数逐次加1)这种规定型的这种规定型的.知知2 2－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲例例2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无下列各数中，哪些是有理数？哪些是无 理数？理数？解：解：有理数有：有理数有： 无理数有：无理数有：0.101 000 100 000 1……(相邻相邻 两个两个1之间之间0的个数逐次加的个数逐次加2).（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 数数π，， ，，0，－，－1中，无理数是中，无理数是(　　　　) A．．π B. C．．0 D．－．－12 在如图所示的正方形网格中，每个小正在如图所示的正方形网格中，每个小正 方形的边长为方形的边长为1，则在网格上的，则在网格上的△△ABC 中，边长为无理数的边数为中，边长为无理数的边数为(　　　　) A．．0 B．．1 C．．2 D．．3AC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.无理数的特征：无理数的特征： (1)无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分位数无限． (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式．的形式．2.常见的无理数的形式：常见的无理数的形式： (1)无限不循环的小数；无限不循环的小数； (2)特殊字母，如特殊字母，如“π”；； (3)an＝＝b(n为大于为大于1的自然数的自然数)中中b为有理数，则为有理数，则 a可能为无理数．可能为无理数． （来自（来自《《典中点典中点》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P25 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.2 平方根平方根第第1 1课时课时 算术平方根算术平方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u算术平方根的定义算术平方根的定义 u求算术平方根求算术平方根 u算术平方根的非负性算术平方根的非负性 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(1)根据图填空：根据图填空： x2=_______, y2=_______, z2=_______, w2=_______,(2)x,y,z,w中哪些是有理数中哪些是有理数?哪些是无理数哪些是无理数?你能你能 表示它们吗表示它们吗?2x2+1y2+1z2+1北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点知识点算术平方根的定义算术平方根的定义定义：定义：一般地，如果一个一般地，如果一个正数正数x的的平方平方等于等于a，， 即即x2＝＝a，那么这个正数，那么这个正数x就叫做就叫做a的算术平方的算术平方根．根．规定：规定：0的算术平方根是的算术平方根是0.表示方法：表示方法：正数正数a的算术平方根表示为的算术平方根表示为 读作读作 “根号根号a”．．知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲例例1 下列说法中下列说法中,正确的是正确的是(　　　　) A．．3是是9的算术平方根　　　　　　的算术平方根　　　　　　 B．．- -2是是4的算术平方根的算术平方根 C. (- -2)2的算术平方根是的算术平方根是- -2 D．．- -9的算术平方根是的算术平方根是3（来自（来自《《点拨点拨》》））A北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））要正确把握算术平方根的定义．因为要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等的平方等于于9，所以，所以3是是9的算术平方根；因为－的算术平方根；因为－2不是正数，不是正数，所以－所以－2不是不是4的算术平方根；因为的算术平方根；因为(- -2)2＝＝4，而，而22＝＝4，所以，所以2是是(- -2)2的算术平方根；负数没有算术的算术平方根；负数没有算术平方根．平方根．导引：导引：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 算术平方根具有双重非负性，这个数算术平方根具有双重非负性，这个数是非负数，它的算术平方根也是非负数．是非负数，它的算术平方根也是非负数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·滨州滨州)数数5的算术平方根为的算术平方根为(　　　　) A. B．．25 C．．±25 D．．±2 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．因为．因为62＝＝36，所以，所以6是是36的算术平方根的算术平方根 B．因为．因为(－－6)2＝＝36，所以－，所以－6是是36的算术的算术 平方根平方根 C．因为．因为(±6)2＝＝36，所以，所以6和－和－6都是都是36的的 算术平方根算术平方根 D．以上说法都不对．以上说法都不对知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））AA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点知识点求算术平方根求算术平方根知知2 2－讲－讲 例例2 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根： (1)900; (2)1; (3) ；； (4) 14.解：解：(1)因为因为302 = 900,所以所以900的算术平方根是的算术平方根是30,即即 (2)因为因为12=1,所以所以1的算术平方根是的算术平方根是1,即即 (3)因为因为 所以所以 的算术平方根是的算术平方根是 (4)14的算术平方根是的算术平方根是（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 例例3 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根： (1)64；； (2) (3)0.36; (4) 导引：导引：根据算术平方根的定义求一个非负根据算术平方根的定义求一个非负 数的算术平方根数的算术平方根,只要找到一个非负只要找到一个非负 数的平方等于这个非负数即可．数的平方等于这个非负数即可．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲解：解：(1)因为因为82＝＝64 ，所以，所以 64的算术平方根是的算术平方根是8，即，即 (2)因为因为 所以所以 的算术平方根是的算术平方根是 ，， (3)因为因为0.62＝＝0.36，所以，所以0.36的算术平方根是的算术平方根是0.6，即，即 (4)因为因为 92＝＝81，所以，所以 ＝＝9.而而32＝＝ 9，所以，所以 的算术平方根是的算术平方根是3.（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数 的算术平方根，分清求的算术平方根，分清求 的算术平方根与的算术平方根与81的算的算 术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因 此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用． 注意：注意：求求 的值实质就是求的值实质就是求81的算术平方根，求的算术平方根，求 的算术平方根实质是求的算术平方根实质是求9的算术平方根．的算术平方根． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 的算术平方根的相反数和倒数分别的算术平方根的相反数和倒数分别 是是 ________．．2 (中考中考·日照日照) 的算术平方根是的算术平方根是(　　　　) A．．2 B．．±2 C. D．．±C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点知识点算术平方根的非负性算术平方根的非负性知知3 3－讲－讲1.要点精析：要点精析： (1)算术平方根算术平方根 具有双重非负性：具有双重非负性： ①①a是非负数，即是非负数，即a≥0；； ②②算术平方根算术平方根 是非负数，即是非负数，即 ≥0. (2)算术平方根是它本身的数只有算术平方根是它本身的数只有0和和1.2.性质：性质： (1)正数的算术平方根是一个正数；正数的算术平方根是一个正数； (2)0的算术平方根是的算术平方根是0；； (3)负数负数没有算术平方根；没有算术平方根； (4)a(a≥0)越大，它的算术平方根也越大越大，它的算术平方根也越大. （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲例例4 (1)已知已知y＝＝ ＋＋ ＋＋5，求，求2x＋＋y的算术平的算术平 方根．方根．导引：导引：由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中x －－2≥0，且，且2－－x≥0.求得求得x的值后从而可得的值后从而可得y的的 值，进而问题得解．值，进而问题得解．解：解：由由 中中a≥0知，等式成立的条件是知，等式成立的条件是x－－2≥0且且 2－－x≥0.所以所以x≥2且且x≤2. 所以所以x＝＝2.所以所以y＝＝5. 所以所以2x＋＋y＝＝2×2＋＋5＝＝9. 因为因为9的算术平方根是的算术平方根是3，所以，所以2x＋＋y的算术平的算术平 方根是方根是3，即，即（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 要使要使y＝＝ ＋＋ ＋＋5有意义，有意义，需满足需满足x－－2≥0，，2－－x≥0.只有它们都等只有它们都等于于0，这两个式子才都有意义．，这两个式子才都有意义．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(2)已知已知x，，y为有理数，且为有理数，且 ＋＋3(y－－2)2＝＝0，求，求x－－y 的值．的值．导引：导引：算术平方根和平方都具有非负性，即算术平方根和平方都具有非负性，即 ≥0, a2≥0. 由几个非负数相加和为由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为，可得每一个非负数都为 0，由此可求出，由此可求出x和和y的值，进而求得答案．的值，进而求得答案． 解：解：由题意可得由题意可得x－－1＝＝0，，y－－2＝＝0. 所以所以x＝＝1，，y＝＝2. 所以所以x－－y＝＝1－－2＝－＝－1.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是 非负数，即非负数，即 ≥0，，a2≥0，，|a|≥0；当几个；当几个 非负数的和为非负数的和为0时，则其中每一个非负数都时，则其中每一个非负数都 为为0.(2)只有非负数才有算术平方根，因此当同时出只有非负数才有算术平方根，因此当同时出 现现 时，时，a只有为只有为0才有意义．才有意义．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 (1) 中，被开方数中，被开方数a是是________，即，即a___0；； (2) 是是________，即，即 _____0，即非负，即非负 数的算术平方根是数的算术平方根是_________；负数没有；负数没有 算术平方根，即当算术平方根，即当a_____0时，时， 无意义．无意义．非负数非负数≥非负数非负数≥非负数非负数＜＜寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2 (中考中考·绵阳绵阳)若若 ＋＋|2a－－b＋＋1|＝＝0，则，则 (b－－a)2 015＝＝(　　　　) A．－．－1 B．．1 C．．52 015 D．－．－52 015A寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1. 表示的是表示的是a的算术平方根，由算术平方的算术平方根，由算术平方 根的定义知它具有根的定义知它具有“双重双重”非负性：非负性：a≥0，， ≥0，即，即算术平方根及它的被开方数都算术平方根及它的被开方数都 为非负数为非负数．．2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应的算术平方根也越大；反之亦然．应的算术平方根也越大；反之亦然．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P27 T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.2 平方根平方根第第2 2课时课时 平方根平方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u平方根的定义平方根的定义u平方根的性质平方根的性质 u求平方根求平方根(开平方开平方) u 与与 的性质的性质 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多想一想想一想（（1））9的算术平方根是的算术平方根是3,也就是说，也就是说，3的平方是的平方是9. 还有其他的数，它的平方也是还有其他的数，它的平方也是9吗？吗？（（2）平方等于）平方等于 的数有几个？平方等于的数有几个？平方等于0.64的的 数呢？数呢？北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点平方根的定义平方根的定义 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x的平方等于的平方等于a，即，即x2 = a，那么这个数，那么这个数x就叫做就叫做a的的平方根平方根(也叫做二也叫做二 次方根次方根) .如如:±3是是9的平方根的平方根, 或说成或说成9的平方根是的平方根是±3.知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方.149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方开平方平方平方北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例1 〈〈湖南怀化湖南怀化〉〉49的平方根为的平方根为(　　　　) A．．7　　　　　　 B．－．－7　　　　　　 C．．±7　　　　 　　D．．±（来自（来自《《点拨点拨》》））导引：导引：因为因为(±7)2＝＝49，所以，所以49的平方根的平方根 为为±7. C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 如果如果x2＝＝a，那么下列说法错误的是，那么下列说法错误的是(　　　　) A. 若若x确定，则确定，则a的值是唯一的的值是唯一的 B. 若若a确定，则确定，则x的值是唯一的的值是唯一的 C. a是是x的平方的平方 D. x是是a的平方根的平方根2 (中考中考·黄冈黄冈)9的平方根是的平方根是(　　　　) A．．±3 B．．± C．．3 D．－．－3知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 议一议议一议 （（1）一个正数有几个平方根？）一个正数有几个平方根？ （（2））0有几个平方根？有几个平方根？ （（3）负数呢？）负数呢？ 知知2 2－讲－讲2知知识点点平方根的性质平方根的性质北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲平方根的性质平方根的性质（（1）平方根的性质：）平方根的性质： 一个正数有两个平方根；一个正数有两个平方根；0只有一个平方只有一个平方 根，它是根，它是0本身；负数没有平方根本身；负数没有平方根. （（2）平方根的表示方法：）平方根的表示方法： 正数正数a有两个平方根，一个是有两个平方根，一个是a的算术平的算术平 方根方根 ,另一个是另一个是 ，它们互为相反，它们互为相反 数数.这两个平方根合起来可以记作这两个平方根合起来可以记作 读作读作“正、负根号正、负根号a”.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：由一个正数有两个平方根，它们互由一个正数有两个平方根，它们互 为相反数，得为相反数，得2a－－3＋＋5－－a＝＝0，解，解 这个方程即可．这个方程即可． 例例2 一个正数一个正数x的平方根是的平方根是2a－－3和和5－－ a，则，则a的值是多少？的值是多少？解：解：根据题意，得根据题意，得2a－－3＋＋5－－a＝＝0. 解得解得a＝－＝－2.（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．任何数的平方根都有两个．任何数的平方根都有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．负数也有平方根．负数也有平方根 D．非负数的平方根都有两个．非负数的平方根都有两个2 (中考中考·六盘水六盘水)下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．．|－－2|＝－＝－2 B．．0的倒数是的倒数是0 C．．4的平方根是的平方根是2 D．－．－3的相反数是的相反数是3知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BD北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 本题考查平方根的性质：一个正数有本题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；两个平方根，它们互为相反数；北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点求平方根（开平方）求平方根（开平方）知知3 3－讲－讲1.开平方：开平方： 求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方, a叫做被开方数叫做被开方数.2.要点精析：要点精析： (1)一个一个正数正数的的正的平方根正的平方根就是它的算术平方根．就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、 除、乘方一样是一种运算，即：除、乘方一样是一种运算，即： 运算名称：运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数非负数)．． 运算结果：运算结果：和、差、积、商、幂、平方根和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数互为相反数)．．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲（来自教材）（来自教材）解：解：（（1）因为（）因为（±8））2 = 64,所以所以64的平方根是的平方根是±8，即，即± = ±8; （（2）因为）因为 所以所以 的平方根是的平方根是 ，即，即 （（3）因为（）因为（±0.02)2 = 0.000 4,所以所以 0.000 4 的平方根是的平方根是 ±0.02，即，即± =±0.02; （（4）因为（）因为（± 25)2 = (- -25)2,所以（所以（- -25））2的平方根是的平方根是±25，即，即 （（5））11的平方根是的平方根是 例例3 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根： （（1）） 64；（；（2）） （（3）） 0.000 4；（；（4）） (- -25)2；（；（5））11.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例4 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是(　　　　) A．．9的平方根是的平方根是±3，应表示为，应表示为92＝＝±3 B．．±3是是9的平方根，应表示为的平方根，应表示为± ＝＝3 C．．9开平方能得到开平方能得到9的平方根，即的平方根，即 ＝＝ ±3 D．．9的算术平方根是的算术平方根是3，应表示为，应表示为 ＝＝3导引：导引：正确把握并准确运用平方根、算术平方根正确把握并准确运用平方根、算术平方根 的定义．的定义． （来自（来自《《点拨点拨》》））D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 必须弄清以下符号的意义：必须弄清以下符号的意义：± (a≥0)表示非负表示非负数数a的平方根；的平方根； (a≥0)表示非负数表示非负数a的算术平方根；的算术平方根；把非负数把非负数a开平方，求它的平方根可用开平方，求它的平方根可用± 表示．表示．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 求一个数的求一个数的____________的运算叫做开平方；的运算叫做开平方； 平方根是平方根是____________运算的结果；开平方运算的结果；开平方 运算与运算与_____________互为逆运算．互为逆运算．2 (－－5)2的平方根是的平方根是(　　　　) A．－．－5 B．．25 C．．±5 D．．±知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））平方根平方根开平方开平方平方运算平方运算 C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4知知识点点 与与 的性质的性质知知4 4－导－导1.想一想：想一想： （（1）） 等于多少？等于多少？ 等于多少？等于多少？ （（2）） 等于多少？等于多少？ （（3）对于正数）对于正数a，， 等于多少？等于多少？2.联系拓广：联系拓广： 对于任意数对于任意数a，， 一定等于一定等于a吗？吗？寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－讲－讲1. 的化简：的化简：2. 的化简：的化简：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））下列四个数中，是负数的是下列四个数中，是负数的是( )A. |－－2| B.(－－2)2C. D.1 C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根的区别与联系：区别：区别：(1)个数不同：正数的平方根有两个且互为相反个数不同：正数的平方根有两个且互为相反 数，正数的算术平方根只有一个；数，正数的算术平方根只有一个；(2)表示方法不同：非负数表示方法不同：非负数a的平方根为的平方根为± 非负数非负数a的算术平方根为的算术平方根为 联系：联系：算术平方根是平方根中的一个．算术平方根是平方根中的一个． 寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P29 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.3 2.3 立方根立方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u立方根立方根 u立方根的性质立方根的性质 u求立方根（开立方）求立方根（开立方） u 与与 的性质的性质2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多16的平方根是的平方根是______，算术平方根是，算术平方根是_________.－－16的平方根是的平方根是____________，，0的平方根是的平方根是________.一个正数有正负两个平方根一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数；它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根零的平方根是零，负数没有平方根.回顾旧知回顾旧知±44没有平方根没有平方根0北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点立方根立方根问题：问题：要做一个体积为要做一个体积为8cm3的正方体模型的正方体模型(如图如图)，， 它的棱长要取多少？你是怎么知道的？它的棱长要取多少？你是怎么知道的？知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲思考：思考： （（1））2的立方等于多少？是否有其他的数，的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是它的立方也是8? （（2））- -3的立方等于多少？是否有其他的数，的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是它的立方也是- -27?北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲什么才是一个数什么才是一个数a的立方根呢？的立方根呢？一般地，一个数的立方等于一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做，这个数就叫做a的立方根，也叫做的立方根，也叫做a的三次方根．记做　　的三次方根．记做　　(也叫做三次方根也叫做三次方根). 如如2是是8的立方根，的立方根，0是是0的的立方根立方根.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多表示方法：表示方法： 一个数一个数a的立方根，用符号的立方根，用符号“ ”表示，表示，读作读作“三次根号三次根号a”，其中，其中a是被开方数，是被开方数，3是根是根指数．指数． 知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 若若 是是5的立方根，则的立方根，则b＝＝______，若，若 ＝－＝－2，则，则a＝＝______.2 分析下列四句话：分析下列四句话： ①①因为因为(－－2)3＝－＝－8，所以－，所以－2是－是－8的立方根；的立方根； ②②因为因为43＝＝64，所以，所以64是是4的立方根；的立方根； ③③把把2立方与把立方与把8开立方互为逆运算；开立方互为逆运算； ④④把把4立方与把立方与把4开平方互为逆运算．开平方互为逆运算． 其中正确的是其中正确的是____________．．(填序号填序号)知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1－－8①③①③北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点立方根的性质立方根的性质知知2 2－导－导思考：思考： (1)正数有几个立方根？正数有几个立方根？ (2)负数有几个立方根？负数有几个立方根？ (3)0有几个立方根？有几个立方根？ 一个正数有一个正的立方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根，一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零零的立方根是零.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））性质：性质：(1) 正数的立方根是正数；正数的立方根是正数；(2) 负数的立方根是负数；负数的立方根是负数；(3) 0的立方根是的立方根是0；；北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自教材）（来自教材） 例例1 求下列各式的值求下列各式的值:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲例例2 求下列各式的值求下列各式的值:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 做开平方或开立方运算时，一般都是利用做开平方或开立方运算时，一般都是利用 它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．化简，再进行开方运算． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．．0.8的立方根是的立方根是0.2 B．．1的立方根为的立方根为±1 C．－．－1的立方根是－的立方根是－1 D．－．－25没有立方根没有立方根知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2 下列说法：下列说法： ①①负数没有立方根；负数没有立方根；②②一个数的立方根不是正数一个数的立方根不是正数 就是负数；就是负数；③③一个正数或负数的立方根和这个数一个正数或负数的立方根和这个数 同号，同号，0的立方根是的立方根是0；；④④如果一个数的立方根是如果一个数的立方根是 这个数本身，那么这个数必是这个数本身，那么这个数必是1或或0. 其中错误的是其中错误的是(　　　　) A．．①②③①②③ B．．①②④①②④ C．．②③④②③④ D．．①③④①③④知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点求立方根（开立方）求立方根（开立方）知知3 3－讲－讲 求一个数的立方根的运算叫做求一个数的立方根的运算叫做开立方开立方，， a叫做被开方数叫做被开方数.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例3 求下列各数的立方根：求下列各数的立方根： (1) - -27；； (2) (3) 0.216；； (4) - -5.（来自教材）（来自教材）解解:(1)因为因为(- -3)3= - -27,所以所以- -27的立方根是的立方根是- -3,即即 (2)因为因为 所以所以 的立方根是的立方根是 (3)因为因为0.63=0.216,所以所以0.216的立方根是的立方根是0.6, 即即 (4)- -5的立方根是的立方根是寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列各式中，正确的是下列各式中，正确的是(　　　　) A. ＝＝±2 B. ＝＝5 C. ＝＝2 D．． ＝－＝－22 (中考中考·河北河北)当当x＝－＝－8时，时， 的值是的值是 (　　　　) A．－．－8 B．－．－4 C．．4 D．．±4知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BC寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－导－导想一想想一想 表示表示a的立方根，那么的立方根，那么 等于什么？等于什么？ 呢？呢？4知知识点点 与与 的性质的性质寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－讲－讲1.任何一个数任何一个数既等于既等于这个数的立方根的立方这个数的立方根的立方 又等于又等于这个数的立方的立方根这个数的立方的立方根. 即：即：2.负号可直接从立方根内移到立方根外负号可直接从立方根内移到立方根外. 即：即：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 下列说法：下列说法： ①①正数都有平方根；正数都有平方根；②②负数都有平方根；负数都有平方根； ③③正数都有立方根；正数都有立方根；④④负数都有立方根．负数都有立方根． 其中正确的有其中正确的有(　　　　) A．．1个个 B．．2个个 C．．3个个 D．．4个个C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2 如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那 么这个数是么这个数是(　　　　) A．．1 B．．0或或1 C．．0或或±1 D．任意非负数．任意非负数B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多通过这节课的学习，大家获得那些知识呢？通过这节课的学习，大家获得那些知识呢？1、立方根定义，性质，及表示方法；、立方根定义，性质，及表示方法；2、如何求一个数的立方根；、如何求一个数的立方根；3、立方根和平方根的区别；、立方根和平方根的区别；4、平方根、算术平方根、立方根等于本身的数、平方根、算术平方根、立方根等于本身的数.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P32 习题习题T2-T52.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.4 2.4 估估 算算北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u方根的估算方根的估算 u用估算比较数的大小用估算比较数的大小 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保 主题公园主题公园.已知这块荒地的长是宽的已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面倍，它的面 积为积为400 000 m2.（（1）公园的宽大约是多少？它有）公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？吗？（（2）如果要求结果精确到）如果要求结果精确到10m,它的宽大约是多它的宽大约是多 少？与同伴进行交流少？与同伴进行交流.（（3 3））该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2,你能估计它的半径吗？（结果精确到你能估计它的半径吗？（结果精确到1m)北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点方根的估算方根的估算 议一议议一议（（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 与同伴进行交流与同伴进行交流.（（2）你能估算）你能估算 的大小吗？（结果精确到的大小吗？（结果精确到1)知知1 1－导－导北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲估算的一般步骤：估算的一般步骤：(1)估计整数部分是几位数；估计整数部分是几位数；(2)确定最高位上的数字；确定最高位上的数字；(3)确定下一位上的数字；确定下一位上的数字；(4)依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按 要求精确到小数点后的某一位要求精确到小数点后的某一位. （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例1 估算估算 的近似值．（精确到的近似值．（精确到0.01））（来自（来自《《点拨点拨》》））导引：导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确 定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位，定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位， 进行的步数越多，估算出的值越精确．进行的步数越多，估算出的值越精确． 解：解：因为因为12＝＝1，，22＝＝4，所以，所以1＜＜ ＜＜2. 因为因为1.72＝＝2.89，，1.82＝＝3.24，所以，所以1.7＜＜ ＜＜1.8. 因为因为1.732＝＝2.992 9，，1.742＝＝3.027 6，， 所以所以1.73＜＜ ＜＜1.74. 因为因为1.7322＝＝2.999 824，，1.7332＝＝3.003 289，， 所以所以1.732＜＜ ＜＜1.733.所以所以 ≈1.73.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 求解本题使用了求解本题使用了““夹逼法夹逼法””，它是数学估算的，它是数学估算的重要方法，所谓重要方法，所谓““夹夹””就是从两边确定范围，而就是从两边确定范围，而““逼逼””就是一点点加强限制，使其所处的范围越来就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到要精确的程度．越小，从而达到要精确的程度．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲解：解：因为因为 ＜＜ ＜＜ ，所以，所以2＜＜ ＜＜3. 所以所以 的整数部分是的整数部分是2，则，则 的小数部分是的小数部分是 －－2. 所以所以2＋＋ 的整数部分是的整数部分是4，，2＋＋ 的小数部分是的小数部分是 －－2（即（即2＋＋ －－4＝＝ －－2），）， 即即x＝＝4，，y＝＝ －－2. 例例2 设设2＋＋ 的整数部分和小数部分分别是的整数部分和小数部分分别是x，，y，， 试求出试求出x，，y的值．的值． 导引：导引：先估算先估算 的整数部分，再表示出其小数部分的整数部分，再表示出其小数部分 （（ －整数部分＝小数部分），从而可求－整数部分＝小数部分），从而可求x，，y 的值．的值．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 确定确定 的整数部分、小数部分的一般方法：的整数部分、小数部分的一般方法：估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较 小的那个整数；确定小数部分的方法是：首先确定小的那个整数；确定小数部分的方法是：首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出它的小数部分，即：小数部分＝原数－整数部分．它的小数部分，即：小数部分＝原数－整数部分． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·嘉兴嘉兴)与无理数与无理数 最接近的最接近的 整数是整数是(　　　　) A．．4 B．．5 C．．6 D．．72 (2015·杭州杭州)若若k<

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点用估算比较数的大小用估算比较数的大小知知2 2－导－导议一议议一议(1)通过估算，你能比较通过估算，你能比较 的大小吗？你是的大小吗？你是 怎样想的？与同伴进行交流怎样想的？与同伴进行交流.(2)小明是这样想的小明是这样想的: 的分母相同，只要的分母相同，只要 比较它们的分子就可以了比较它们的分子就可以了.因为因为 所以所以 因此因此 你认为小明的想法正确吗？你认为小明的想法正确吗？ 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲1.用估算法比较两个数的大小用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个其中至少有一个 是无理数是无理数)时，一般先用分析的方法估算出无时，一般先用分析的方法估算出无 理数的大致范围，再比较．理数的大致范围，再比较．2.比较大小的两个数中如果有含根号的数，常比较大小的两个数中如果有含根号的数，常 常有如下比较方法：常有如下比较方法： (1)先找个中间值，再比较；先找个中间值，再比较； (2)先把两数平方或立方，再比较．先把两数平方或立方，再比较． （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：(1)题可用平方法比较大小；题可用平方法比较大小；(2)题可用作差法比较题可用作差法比较 大小；大小；(3)题可比较被开方数大小来比较数的大小．题可比较被开方数大小来比较数的大小．例例3 比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 本题本题(1)两数同时平方后再比较大小，两数同时平方后再比较大小，(2)运用运用了了作差法作差法，通过判断相减得到的差的正负来比较大，通过判断相减得到的差的正负来比较大小；小；(3)被开方数大的算术平方根较大，即当被开方数大的算术平方根较大，即当a≥b≥0时，时， ≥ ≥0，反过来也成立．，反过来也成立．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：(1)若设这块长方形荒地的宽是若设这块长方形荒地的宽是x m，则长是，则长是2x m，这，这 样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求 解．解．(2)由由(1)即可求解．即可求解．(3)设公园中的圆形花圃的半设公园中的圆形花圃的半 径为径为r m，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识 来求解．来求解． 例例4 某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主 题的公园．已知这块荒地的长是宽的题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面倍，它的面 积是积是400 000 m2，那么，那么 (1)公园的宽是多少？它有公园的宽是多少？它有1 000 m吗？吗？ (2)如果要求误差小于如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，， 你能估计它的半径吗？你能估计它的半径吗？(误差要求小于误差要求小于1 m)北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多解：解：(1)设这块长方形荒地的宽是设这块长方形荒地的宽是x m，则长是，则长是2x m. 根据题意，得根据题意，得2x·x＝＝400 000，即，即x2＝＝200 000. 两边开平方，得两边开平方，得x＝＝± 又因为又因为x为荒地的宽，所以为荒地的宽，所以x＝＝ ＜＜1 000. 所以公园的宽是所以公园的宽是 m，没有，没有1 000 m. (2)因为因为x＝＝ ≈447，， 所以如果要求误差小于所以如果要求误差小于10 m，它的宽大约是，它的宽大约是450 m. (3)设公园中的圆形花圃的半径为设公园中的圆形花圃的半径为r m，， 则根据题意，得则根据题意，得πr2＝＝800，即，即r2＝＝ 知知2 2－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多两边开平方，得两边开平方，得r＝＝±又因为又因为r为圆形花圃的半径，为圆形花圃的半径，所以所以r＝＝由于题目要求误差小于由于题目要求误差小于1 m，而，而15＜＜ ＜＜16，，所以所以15 m和和16 m都满足要求．都满足要求．知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 运用运用方程思想方程思想求出长方形的宽是求出长方形的宽是解决本题的关键．解决本题的关键．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 (中考中考·常州常州)已知已知a＝＝ ，，b＝＝ ，，c＝＝ ，， 则下列大小关系正确的是则下列大小关系正确的是(　　　　) A．．a>b>c B．．c>b>a C．．b>a>c D．．a>c>b2 已知甲、乙、丙三数，甲＝已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋＋ ，乙＝，乙＝3 ＋＋ ，丙＝，丙＝1＋＋ ，则甲、乙、丙的大小，则甲、乙、丙的大小 关系是关系是(　　　　) A．丙．丙<乙乙<甲甲 B．乙．乙<甲甲<丙丙 C．甲．甲<乙乙<丙丙 D．甲＝乙＝丙．甲＝乙＝丙AA寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多估算无理数大小的方法：估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分根据所要求的误差确定小数部分.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P34- P35 习题习题T1、、2、、3、、5、、62.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.5 2.5 用计算器开方用计算器开方北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u利用计算器开方利用计算器开方 u利用计算器比较大小利用计算器比较大小2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多利用科学计算器怎样进行开方运利用科学计算器怎样进行开方运算算? ?开方运算要用到键开方运算要用到键 和键和键 . .对于开平方运算，按键顺序为：对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数被开方数 . .对于开立方运算，按键顺序为：对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数被开方数 . .= S D SHIFT=北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点利用计算器开方利用计算器开方1.用计算器开平方用计算器开平方 大多数计算器都有大多数计算器都有 键，用它可以求出一键，用它可以求出一 个正数的算术平方根个正数的算术平方根(或其近似值或其近似值)，应注意，应注意 的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不 同，使用计算器时，一定要按照说明书进行同，使用计算器时，一定要按照说明书进行 操作．操作．知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲2.用计算器开立方用计算器开立方 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平 方根的步骤相同，只是按的根指数键不同．方根的步骤相同，只是按的根指数键不同． 步骤：按键步骤：按键 → 被开方数被开方数 → → 根根 据据 显示结果写出立方根．显示结果写出立方根．注意：注意：不同型号的计算器按键的顺序可能不同，不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值的立方根，再在结果前加上负号．的立方根，再在结果前加上负号． （来自（来自《《点拨点拨》》））SHIFT=北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲导引：导引：注意计算器的正确使用方法．注意计算器的正确使用方法． 先按先按 键，然后按数字键，然后按键，然后按数字键，然后按 键，最后按键，最后按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方键，计算器显示的结果就是该数的算术平方 根根(或其近似值或其近似值)．．（来自（来自《《点拨点拨》》）） 例例1 用计算器求下列各式的值：用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果精确到结果精确到0.01)．．解：解：(1)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：99.所以所以 ＝＝99. (2)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：3.316 624 79.所以所以 ≈3.32. = S D 801= S D 91= S D 1北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例2 用计算器求下列各数的立方根：用计算器求下列各数的立方根： (1)8；　；　 (2)－－13.27(结果精确到结果精确到0.001)．．导引：导引：(2)题中，由计算器得到的数值根据精确度通过题中，由计算器得到的数值根据精确度通过 “四舍五入四舍五入”法得到近似值．法得到近似值．解：解：(1)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：2.所以所以 ＝＝2. (2)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：2.367 501 744.所以所以 ≈2.368. 所以所以 ≈－－2.368. （来自（来自《《点拨点拨》》））SHIFT8=SHIFT1=3.27北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 用计算器计算用计算器计算 约为约为(　　　　) A．．3.049 B．．3.050 C．．3.051 D．．3.0522 使用科学计算器求使用科学计算器求 的近似值，其按的近似值，其按 键顺序正确的是键顺序正确的是(　　　　) A. B. C. D.知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））SHIFT+6=8SHIFT+6=8SHIFT+6=8+6=8BA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点利用计算器比较大小利用计算器比较大小知知2 2－讲－讲例例3 利用计算器比较利用计算器比较 的大小的大小. .解：解：按键：按键： ，， 显示显示1.442 249 57. 按键：按键： ，， 显示显示1.414 213 562. 所以所以SHIFT=3 S D =2（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 比较两个无理数的大小，先对计算的结果比较两个无理数的大小，先对计算的结果取近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的取近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的大小．大小．（来自（来自《《点拨点拨》》））总 结北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 导引：导引：利用计算器计算出利用计算器计算出 的值，再的值，再 进行比较，既直观又方便．进行比较，既直观又方便．例例4 利用计算器比较利用计算器比较 的大小．的大小．解：解：由计算器得由计算器得 ≈1.709 975 9，， ≈1.732 050 8，， 所以所以（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 将将 用不等号连接起来为用不等号连接起来为(　　　　) A. B. C. D.2 下列各组数，能作为三角形三条边长的是下列各组数，能作为三角形三条边长的是(　　　　) A. B. C. D.DD北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.用计算器求一个正数的算术根，有时是用计算器求一个正数的算术根，有时是 准确数，有时是近似数．准确数，有时是近似数．2.用算术根比较大小时，被开方数大的算用算术根比较大小时，被开方数大的算 术根就大．术根就大． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P37 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.6 2.6 实实 数数北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u实数及其分类实数及其分类u实数的性质实数的性质u实数与数轴上的点的关系实数与数轴上的点的关系u实数的大小比较实数的大小比较u实数的运算实数的运算2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.什么是有理数？有理数怎样分类？什么是有理数？有理数怎样分类？2. 什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？无理数是无限不循环小数无理数是无限不循环小数.带根号的数不一定是无理数带根号的数不一定是无理数.回顾旧知回顾旧知北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点实数及其分类实数及其分类把下列各数分别填入相应的集合内：把下列各数分别填入相应的集合内：知知1 1－导－导 … …有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多有理数有理数和和无理数无理数统称为实数．统称为实数．即实数可以分为有理数和无理数即实数可以分为有理数和无理数.知知1 1－讲－讲定义定义北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 例例1 1 下列各数：下列各数：3.141 593.141 59，－，－ ，，0.131 131 113…(0.131 131 113…(每相邻两个每相邻两个 3 3之间依次多之间依次多1 1个个1)1)，－，－π，， ，－，－ 中，无理数有中，无理数有( (　　　　) ) A．．1 1个　个　 B．．2 2个个 　　C．．3 3个　个　 D．．4 4个个 导引：导引：因为因为3.141 593.141 59是有限小数，所以是有限小数，所以3.141 593.141 59是有理数；因为是有理数；因为 知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））B个个3之间之间依次多依次多1 1个个1)1)，－，－π都是无限不循环小数，所以都是无限不循环小数，所以0.131 0.131 131 113…(131 113…(每相邻两个每相邻两个3 3之间依次多之间依次多1 1个个1)1)，－，－π是无理数．是无理数．因为因为0.131 131 113…(0.131 131 113…(每相邻两每相邻两北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进 行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不不 能仅看到用根号能仅看到用根号 表示的数就认为是无理数．表示的数就认为是无理数．(2)π是无理数，化简后含是无理数，化简后含π的数的数 也是无理数．也是无理数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·上海上海)下列实数中，是有理数的为下列实数中，是有理数的为(　　　　) A. B. C．．π D．．0知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点实数的性质实数的性质知知2 2－导－导 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.例如，例如， 和和 互为相反数，互为相反数， 和和 互为倒数，互为倒数， 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多例例2 若若a，，b互为相反数，互为相反数，c，，d互为倒数，互为倒数，m的绝对的绝对 值为值为4，求，求 知知2 2－讲－讲导引：引： 需先根据条需先根据条 件确定件确定a＋＋b，，cd 和和m的的值，根据，根据题意容易得意容易得 a＋＋b＝＝0，，cd＝＝ 1，，m ＝＝±4，代入求，代入求值即可．即可．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多（来自（来自《《点拨点拨》》））知知2 2－讲－讲解：解：因为因为a，，b互为相反数，所以互为相反数，所以a＋＋b＝＝0. 因为因为c，，d互为倒数，所以互为倒数，所以cd＝＝1. 因为因为|m|＝＝4，所以，所以m＝＝±4，，m2＝＝16.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 当数从有理数当数从有理数扩充到充到实数后，有理数中相反数、数后，有理数中相反数、倒数和倒数和绝对值的意的意义同同样适用于适用于实数；由于本例中数；由于本例中a，，b，，c，，d的的值不确定，因此在求不确定，因此在求a＋＋b，，cd的的值时，运，运用了用了整体思想整体思想．在解决含有．在解决含有绝对值(| |m| |)的的问题时，，化化简时要注意判断要注意判断m的符号．的符号． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 ( (中考中考··临沂临沂) ) 的相反数是的相反数是( (　　　　) ) 知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））12 是是 的的( (　　　　) )A．相反数．相反数 B．倒数．倒数 C．负平方根．负平方根　　 D．绝对值．绝对值AA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点实数与数轴上的点的关系实数与数轴上的点的关系议一一议(1)如如图，，OA=OB,数数轴上点上点A对应的数是什么？它介的数是什么？它介 于哪两个整数之于哪两个整数之间？？(2)你能在坐你能在坐标轴上找到上找到 对应的点的点吗？与同伴？与同伴进 行交流行交流.知知3 3－导－导北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲1.实数与数轴间的关系实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点是：实数和数轴上的点是一一对应一一对应 的．的． 它包含着两层含义它包含着两层含义：：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的每一个点都表示一个实数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例3 点点A在数轴上表示的数为在数轴上表示的数为 ，点，点B在数轴上在数轴上 表示的数为－表示的数为－5，则，则A，，B两点之间的距离为两点之间的距离为 ________．． 导引：导引：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的 数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解．数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的距离的求法： 数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之差的绝对值．差的绝对值．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例4 实数实数a在数轴上对应的点的位置如图，化简：在数轴上对应的点的位置如图，化简：|a－－π|＋＋| －－a|.导引：导引：根据数轴判断根据数轴判断a，，π，， 的符号及大小，再判断的符号及大小，再判断a－－π与与 －－a 的符号，最后根据绝对值的性质化简．的符号，最后根据绝对值的性质化简．解：解：由图可知由图可知 ＜＜a＜＜π，所以，所以a－－π＜＜0，， －－a＜＜0. 所以所以|a－－π|＋＋| －－a|＝＝π－－a＋＋a－－ ＝＝π－－ .（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 在利用绝对值的性质进行实数的化简时，在利用绝对值的性质进行实数的化简时，首先首先要要判断绝对值内实数的正负，判断绝对值内实数的正负，再再根据根据““正数的绝对值是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数它本身，负数的绝对值是它的相反数””进行化简．进行化简．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考中考·金华金华)如图，数轴上的如图，数轴上的A，，B，，C，，D四点中，四点中，与表示数－与表示数－ 的点最接近的是的点最接近的是(　　　　)A．点．点A B．点．点B C．点．点C D．点．点D知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(中考中考·成都成都)实数实数a，，b在数轴上对应的点的位置如在数轴上对应的点的位置如图所示，计算图所示，计算|a－－b|的结果为的结果为(　　　　)A．．a＋＋b B．．a－－b C．．b－－a D．－．－a－－b知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4知知识点点实数的大小比较实数的大小比较知知4 4－讲－讲 利用数轴比较实数的大小：利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．实数大．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知4 4－讲－讲 例例5 用用“＜＜”连接下列各数：－连接下列各数：－ ，， ，－，－2 ，，2.5，，0.导引：导引：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先求比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先求 出这些数的近似数，再将这些数在数轴上表示出来，然后根出这些数的近似数，再将这些数在数轴上表示出来，然后根 据据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大” 求解．求解．解：解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图. 由图可知，用由图可知，用“＜＜”可以连接成：－可以连接成：－2 ＜－＜－ ＜＜0＜＜ ＜＜2.5.（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知4 4－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 根据根据““实数和数轴上的点是一一对应的关系实数和数轴上的点是一一对应的关系””，，并且并且““在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大的数大””，我们可以利用，我们可以利用数形结合思想数形结合思想比较实数的大比较实数的大小．小．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(中考中考·枣庄枣庄)实数实数a，，b，，c在数轴上对应的点如图在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是所示，则下列式子中正确的是(　　　　)A．．ac>bc B．．|a－－b|＝＝a－－bC．－．－a<－－b－－b－－c知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1D寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5知知识点点实数的运算实数的运算知知5 5－讲－讲1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运 算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混 合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先 算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按 照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知5 5－讲－讲2. 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行 实数运算的过程中，要做到：实数运算的过程中，要做到： 一一“看看”——看算式的结构特点，能否运用运算看算式的结构特点，能否运用运算 律或公式；律或公式； 二二“用用”——运用运算律或公式；运用运算律或公式； 三三“查查”——检查过程和结果是否正确．检查过程和结果是否正确．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知5 5－讲－讲3．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号， 结果要化为最简形式．结果要化为最简形式． 学法指南学法指南：实数的运算律：实数的运算律 加法交换律：加法交换律：a＋＋b＝＝b＋＋a；； 加法结合律：加法结合律：(a＋＋b)＋＋c＝＝a＋＋(b＋＋c)；； 乘法交换律：乘法交换律：ab＝＝ba；； 乘法结合律：乘法结合律：(ab)c＝＝a(bc)；； 乘法分配律：乘法分配律：(a＋＋b)c＝＝ac＋＋bc.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知5 5－讲－讲 例例6 〈〈山东枣庄山东枣庄〉〉估计估计 ＋＋1的值在的值在(　　　　) A．．2到到3之间　　　　　　　之间　　　　　　　B．．3到到4之间之间 C．．4到到5之间　之间　 D．．5到到6之间之间导引：导引：首先要确定首先要确定 的取值范围，再估算的取值范围，再估算 ＋＋1的取值的取值 范围．因为范围．因为4＜＜6＜＜9，所以，所以 ，即，即2＜＜ ＜＜3，所以，所以3＜＜ ＋＋1＜＜4.（来自（来自《《点拨点拨》》））B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考中考·重庆重庆)计算：计算：(3.14－－ )0＋＋(－－3)2＝＝________.(中考中考·荆州荆州)计算：计算： ________.知知5 5－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））210寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多内容：内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？议一议，本节课我们学习了哪些知识？意图：意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获.效果：效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P39，随堂练习，随堂练习 T1-T2，， P40习题习题T1、、T22.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第1课时 二次根式 及其性质寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u二次根式的定义u二次根式的性质u最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 观察下列代数式： 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点二次根式的定义知1－讲 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：①都是形如 的式子， ②a都是非负数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． 导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根 式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)不是．理由：因为 的根指数是3，所以 不是二次根 式． (2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 是二次 根式；当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根 式．所以 不一定是二次根式．(4)不是．理由： (a≥0)只能称为含有二次根式的代 数式，不能称为二次根式．（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时， 是二次根式； 当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以 不是二次根式．所以 不一定是二次根式．(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．(7)是．理由：因为|x|≥0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲（来自《点拨》）二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．解：(1)欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0，所 以x≥3且 x≠5. (2)欲使 有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以 2≤x≤5.（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根 式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次 根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数； 对于零指数，则必须满足底数不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关 系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1下列式子一定是二次根式的是( )(中考·武汉)若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2知1－练（来自《典中点》）2CC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点二次根式的性质知2－导做一做（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借 助计算器验证，并与同伴进行交流.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲 二次根式的性质： 积的算术平方根，等于________________; 商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲例3 化简：（来自教材）解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲 例4 〈易错题〉化简： 导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如 不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式) 必须是非负数．(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数 是含有字母的单项式，都可利用 进行化简． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲解：（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲商的算术平方根再探索(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法 法则；(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负 数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分 母中的根号化去．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲分母有理化(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式 的值是(　　)A．－1 B．1C．2a－3 D．3－2a知2－练（来自《典中点》）B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多下列结果正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知2－练（来自《典中点》）2C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二 次根式．最简二次根式必须满足： (1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数 (式)； (2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2， 即每个因数(式)的指数都是1.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤： (1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、 分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代 替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母． 注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式； (2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲 例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母． (2)是最简二次根式． (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的 因数4，4＝22. (5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式． (6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．（来自《点拨》）寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数 中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具 备分母中不含二次根式的条件．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例6 化简：（来自《点拨》）若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．解： 导引：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）被开方数是数的二次根式的化简技巧：(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化 成分数或带分数化成假分数的形式；(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这 个和差的结果求出．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是(　　)在下列根式中，不是最简二次根式的是(　　)知3－练（来自《典中点》）2AD寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.当当a≥0时，时，2.当当a≥0时，时，3.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P43,习题T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第2课时 二次根式的乘除北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u二次根式的乘法u二次根式的除法2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.什么叫二次根式？回顾旧知式子 (a≥0)叫做二次根式.2.两个基本性质：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开两个二次根式相乘，把被开 方数相乘，根指数不变；方数相乘，根指数不变； 即：即：知1－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例1 计算：(1)(2)两题直接利用公式 计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号．导引：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲解：（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲（来自《点拨》）(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的 一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式相 乘的法则进行运算，如 (b≥0， d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式) 相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为 积的被开方数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例2 化简：解：(1)方法一：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·安徽)计算 的结果是(　　)A. B．4 C. D．2(中考·新疆)下列运算结果，错误的是(　　)知1－练（来自《典中点》）2BC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点二次根式的除法知2－讲 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把 被开方数相除，根指数不变， 即： 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲例3 计算：（来自《点拨》）导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)要注意根号外 的因数与因数相除，同时要注意结果的符号；(3)进行计算时 需先把带分数化成假分数．解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知2－讲（来自《点拨》） 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1下列计算正确的是(　　)知2－练（来自《典中点》）B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：其中正确的是(　　)A．①② B．②③ C．①③ D．①②③知2－练（来自《典中点》）2B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P43,习题2.9T1 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第3课时 二次根式的加减北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u被开方数相同的最简二次根式u二次根式的加减2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多二次根式计算、化简的结果符合什么要求？(1)被开方数不含分母；分母不含根号；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.回顾旧知北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点被开方数相同的最简二次根式知1－导 一般地，二次根式加减一般地，二次根式加减时，，可以先将二次根式化可以先将二次根式化成最成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行行合并合并.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多可合并的二次根式的条件：(1)最简二次根式；(2)被开方数相同．要点精析：(1)可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被 开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无 关；(2)“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外 读物上都称为“同类二次根式”．知1－讲（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后 找出被开方数不是3的二次根式．即例1 〈凉山州〉下列根式中，不能与 合并的是(　　) A.　　 　B.　 　　C.　　 　D.知1－讲（来自《点拨》）C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知1－讲（来自《点拨》） 判断两个二次根式是否能合并，判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式先把二次根式化化为最最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，否同就能合并，否则不能合并．不能合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列各式化成最简二次根式后被开方数与 的被 开方数相同的是(　　)　 A. B. C. D.2 (中考·龙岩)与－ 是同类二次根式的是(　　) A. B. C. D.知1－练（来自《典中点》）DC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点二次根式的加减知3－讲1.二次根式的加减法则二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将：二次根式加减时，先将 二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并．同的二次根式进行合并． 即：即：m ＋＋n ＝＝(m＋＋n) .北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知3－讲2．二次根式加减运算的步骤： (1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并 成一项．3．整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、 添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例2 计算：解：（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例3 计算：（来自教材）解:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例4 计算： 导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化 简、去括号、合并的步骤进行．（来自《点拨》）解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）二次根式的加减运算的方法步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数 中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数， 则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、 结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·潜江)下列各式计算正确的是(　　)知3－练（来自《典中点》）D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多二次根式的运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根 式合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P45-46,习题T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实实 数数第第4 4课时课时 二次根式的二次根式的 混合运算混合运算习题课习题课北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多名师点金名师点金 二次根式的混合运算与有理数运算类似，先乘方二次根式的混合运算与有理数运算类似，先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，运用再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．运算定律可以改变运算顺序．(1)整式的运算法则在二次根式运算中仍然适用．整式的运算法则在二次根式运算中仍然适用．(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然 适用．适用．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1题型型二次根式的混合运算二次根式的混合运算1．【．【2016·宁夏宁夏】下列计算正确的是】下列计算正确的是(　　　　) A. ＋＋ ＝＝ B．．(－－a2)2＝－＝－a4 C．．(a－－2)2＝＝a2－－4 D. ÷ ＝＝ (a≥0，，b＞＞0)D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2．．【【2015·钦州钦州】】对于任意的正数对于任意的正数m，，n，定义运，定义运 算算※为为m※n＝＝ 计算计算 (3※2)×(8※12)的结果为的结果为(　　　　) A．．2－－4 B．．2 C．．2 D．．20B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3．填空：．填空：(1)【【2015·长沙长沙】】把把 进行化简，得到的进行化简，得到的 最简结果是最简结果是________．．(结果保留根号结果保留根号)(2)【【2015·包头包头】】计算：计算： ＝＝________.　　北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4．计算下列各题：．计算下列各题：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2 乘法公式在二次根式中的应用乘法公式在二次根式中的应用题型型5．【．【2016·永州永州】下列运算正确的是】下列运算正确的是(　　　　) A．－．－a·a3＝＝a3 B．－．－(a2)2＝＝a4 C．．x－－ x＝＝ D．．( －－2)( ＋＋2)＝－＝－1D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多6．已知．已知a＝＝1＋＋ ，，b＝＝ ，则，则a与与b的关的关 系是系是(　　　　) A．互为相反数．互为相反数 B．互为倒数．互为倒数 C．相等．相等 D．互为负倒数．互为负倒数A北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多7．．【【2015·孝感孝感】】已知已知x＝＝2－－ ，则代数式，则代数式(7＋＋ 4 )x2＋＋(2＋＋ )x＋＋ 的值是的值是(　　　　) A．．0 B. C．．2＋＋ D．．2－－C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：8．．计算：算：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：(2)【【2016·大大庆】】北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多同类变式同类变式(4)【【2016·盐城城】】北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3 乘法公式在二次根式中的巧算乘法公式在二次根式中的巧算题型型9．已知．已知a＝＝ ，，b＝＝ ，， 求求 的值．的值．由已知得由已知得a＝＝ ＋＋2，，b＝＝ －－2，，所以所以a＋＋b＝＝2 ，，ab＝＝1.所以原式＝所以原式＝解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多同类变式同类变式10．已知．已知x＝＝ ，，y＝＝ ，， 求求x3y＋＋xy3的的值．．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4整体思想在二次根式求值中的巧用整体思想在二次根式求值中的巧用11．利用乘法公式的变形解决下面的问题：．利用乘法公式的变形解决下面的问题： 已知已知 ＝＝1 006，， 求求 的值．的值．题型型因为因为解：解：＝＝2 017＋＋x－－5－－x＝＝2 012，，所以所以北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5二次根式中的探究规律二次根式中的探究规律12．．观察下列运算：察下列运算：题型型寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(1)通通过观察你得出什么察你得出什么规律？用含律？用含n(n为正整数正整数) 的式子表示出来．的式子表示出来．解：解：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(2)利用利用(1)中你中你发现的的规律律计算：算：原式原式＝＝解：解：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实实 数数第第5 5课时课时 二次根式运算二次根式运算 常见的题型常见的题型习题课习题课北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多名师点金名师点金进行二次根式的运算时要注意以下几点：进行二次根式的运算时要注意以下几点：(1)先将二次根式适当化简；先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分数的对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分数的 形式，然后通过分母有理化进行运算；形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简 的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．运算结果一般要化成最简形式．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1题型型利用运算法则进行计算利用运算法则进行计算1．计算：．计算：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2利用乘法公式进行计算利用乘法公式进行计算题型型2．计算：．计算：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值题型型3．已知．已知5＋＋ 和和5－－ 的小数部分分别为的小数部分分别为a，，b，， 试求代数式试求代数式ab－－a＋＋4b－－3的值．的值．因为因为 的整数部分为的整数部分为1，，所以所以5＋＋ ＝＝6＋＋a，，5－－ ＝＝3＋＋b，，即即a＝＝ －－1，，b＝＝2－－ .所以所以ab－－a＋＋4b－－3 ＝＝解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4利用整体思想巧求值利用整体思想巧求值4．已知．已知a＝＝2＋＋ ，，b＝＝2－－ ，试求，试求 的值．的值．题型型因为因为a＋＋b＝＝2＋＋ ＋＋2－－ ＝＝4，，a－－b＝＝2＋＋ －－(2－－ )＝＝2 ，，ab＝＝(2＋＋ )·(2－－ )＝＝1，，所以所以解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5利用二次根式加减运算的特征求字母的取值利用二次根式加减运算的特征求字母的取值( (范围范围) )或式子的值或式子的值5．已知．已知a，，b是正整数，且是正整数，且 ，， 求求a＋＋b的的值．．题型型由由 可知可知 是可以是可以合并的二次根式．合并的二次根式．因为因为 故可设故可设则则解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 例例2 〈〈探究题探究题〉〉如图，长方体的高为如图，长方体的高为3 cm，底面是，底面是 正方形，其边长为正方形，其边长为2 cm.现有一只蚂蚁从现有一只蚂蚁从A处出处出 发，沿长方体表面到达发，沿长方体表面到达C处，则蚂蚁爬行的最处，则蚂蚁爬行的最 短路线的长为短路线的长为(　　　　) A．．4 cm　　　　B．．5 cm C．．6 cm D．．7 cmB北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引： 考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情考虑将长方体表面展开成平面图形的各种情 况，分类讨论求解．如图，连接况，分类讨论求解．如图，连接AC.在图在图①①中，中， AC2＝＝(2＋＋2)2＋＋32＝＝25；在图；在图②②中，中，AC2＝＝22＋＋(3 ＋＋2)2＝＝29.因为因为29＞＞25，所以蚂蚁爬行的最短路线，所以蚂蚁爬行的最短路线 的长为的长为5 cm.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1如如图，正方体的，正方体的边长为1，一只，一只蚂蚁沿正方体的沿正方体的 表面从一个表面从一个顶点点A爬行到另一个爬行到另一个顶点点B，，则蚂蚁爬行的最短路程的平方是爬行的最短路程的平方是(　　　　) A．．2 B．．3 C．．4 D．．5D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2如如图(单位：位：dm)，一个三，一个三级台台阶，它的每一，它的每一级 的的长、、宽和高分和高分别为20 dm，，3 dm，，2 dm，，A和和B是是这个台个台阶两个相两个相对的点，的点，A点有一只点有一只蚂蚁，，想到想到B点去吃可口的食物，点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台沿着台阶面爬面爬到到B点的最短路程是点的最短路程是________．．25北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－导－导做一做做一做 李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边李叔叔想要检测雕塑（如图）底座正面的边AD和边和边BC是否分别是否分别 垂直于底边垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，但他随身只带了卷尺.（（1）你能替他想办法完成任务吗？）你能替他想办法完成任务吗？（（2）李叔叔量得边）李叔叔量得边AD长是长是30cm，， 边边AB长是长是40cm,点点B,D之间的距之间的距 离是离是50cm,边边AD垂直于边垂直于边AB吗吗?（（3）小明随身只有一个长度为）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验的刻度尺，他能有办法检验 边边AD是否垂直于边是否垂直于边AB吗？边吗？边BC与边与边AB呢？呢？北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1. 在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首在解一些求高度、宽度、长度、距离等的问题时，首 先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把先要结合题意画出符合要求的直角三角形，也就是把 实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角实际问题转化为数学问题，进而把要求的量看作直角 三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．三角形的一条边，然后利用勾股定理进行求解．2. 在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了用三在日常生活中，判断一个角是否为直角时，除了用三 角板、量角器等测量角度的工具外，还可以通过测量角板、量角器等测量角度的工具外，还可以通过测量 长度，结合计算来判断．长度，结合计算来判断．知知2 2－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 例例3 如如图是一个滑梯示意是一个滑梯示意图，若将滑道，若将滑道AC水平放置，水平放置， 则刚好与好与AB一一样长.已知滑梯的高度已知滑梯的高度 CE=3m, CD=1m,试求滑道求滑道AC的的长.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多解：解：设滑道设滑道AC的长度为的长度为xm,则则AB的长度为的长度为xm, AE的长度为（的长度为（x－－1））m, 在在Rt△△ACE中，中，∠∠AEC=90°，， 由勾股定理得由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即，即(x－－1)2+32=x2, 解得解得x=5.故滑道故滑道AC的长度为的长度为5m.知知2 2－讲－讲（来自教材）（来自教材）寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 例例4 〈〈实际应用题实际应用题〉〉假期中，小明和同学们到某海岛上假期中，小明和同学们到某海岛上 去探宝旅游，按照探宝图，他们在点去探宝旅游，按照探宝图，他们在点A登陆后先登陆后先 往东走往东走8 km到达到达C处，又往北走了处，又往北走了2 km，遇到障，遇到障 碍后又往西走了碍后又往西走了3 km，再往北，再往北 走了走了6 km后往东拐，仅走了后往东拐，仅走了1 km就找到了藏宝点就找到了藏宝点B，如图，，如图， 登陆点登陆点A到藏宝点到藏宝点B的距离的距离 是是________．．知知2 2－讲－讲10km寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多（来自（来自《《点拨点拨》》））知知2 2－讲－讲导引：导引：如图，过点如图，过点B作作BD⊥⊥AC，垂足为，垂足为D，连接，连接AB，， 则看图可以得出则看图可以得出AD，，BD的长度，在直角三角的长度，在直角三角 形形ABD中，中，AB为斜边，根据勾股定理计算出为斜边，根据勾股定理计算出 AB的长即可．的长即可．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》）） (中考中考·厦厦门)已知已知A，，B，，C三地位置如三地位置如图所示，所示， ∠∠C＝＝90°，，A，，C两地的距离是两地的距离是4 km，，B，，C两地的距两地的距离是离是3 km，，则A，，B两地的距离是两地的距离是________；若；若A地在地在C地的正地的正东方向，方向，则B地在地在C地的地的________方向．方向．15 km正北正北寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．．解决实际问题的方法是建立数学模型求解．2．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化，．在寻求最短路径时，往往把空间问题平面化， 利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．利用勾股定理及其逆定理解决实际问题．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P14-15,习题 T1-T52.补充充: 请完成完成《《典中点典中点》》剩余部分剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.1 2.1 认识无理数认识无理数北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u有理数及有理数的非万能性有理数及有理数的非万能性u无理数无理数 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 如图是两个边长为如图是两个边长为1的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法的小正方形，剪一剪、拼一拼，设法 得到一个大的正方形得到一个大的正方形.（（1）设大正方形的边长为）设大正方形的边长为a，，a满足什么条件？满足什么条件？（（2））a可能是整数吗？说说你的理由可能是整数吗？说说你的理由.（（3））a可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流可能是分数吗？说说你的理由，并与同伴进行交流.事实上，我们可以证明，在等式事实上，我们可以证明，在等式a2=2中，中，a既不是整数，也既不是整数，也不是分数，所以不是分数，所以a不是有理数不是有理数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点知识点有理数及有理数的非万能性有理数及有理数的非万能性 做一做做一做（（1）如图）如图, ,以直角三角形的斜边为边以直角三角形的斜边为边 的正方形的面积是多少？的正方形的面积是多少？（（2）设该正方形的边长为）设该正方形的边长为b，，b满足什么条件？满足什么条件？（（3））b是有理数吗？是有理数吗？ 知知1 1－导－导在上面的两个问题中，数在上面的两个问题中，数a，，b确实存在，但确实存在，但都不是有理数都不是有理数. . 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 在解决实际问题时，我们发现原来学习的有理在解决实际问题时，我们发现原来学习的有理数远远不能满足解决实际问题的需要，也就是存在数远远不能满足解决实际问题的需要，也就是存在这样的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不这样的一类数，既不是整数也不是分数，或者说不是有理数．是有理数．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲例例1 如图，有一个由五个边长为如图，有一个由五个边长为1的小正方形组成的图的小正方形组成的图 形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正形，我们可以把它剪拼成一个正方形．则拼成的正 方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？方形的面积是多少？这个正方形的边长是有理数吗？（来自（来自《《点拨点拨》》））解：解：因为小正方形的边长为因为小正方形的边长为1，， 所以每个小正方形的面积为所以每个小正方形的面积为1，， 所以拼成的正方形的面积为所以拼成的正方形的面积为 5×1＝＝5. 因为找不到平方等于因为找不到平方等于5的有理数，的有理数， 所以这个正方形的边长不是有理数．所以这个正方形的边长不是有理数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 解决本题的关键是理解五个小正方形解决本题的关键是理解五个小正方形的面积的和就是拼成的正方形的面积．的面积的和就是拼成的正方形的面积．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 有理数按定义分，它包括有理数按定义分，它包括________和和 _______；； 按性质分，它包括按性质分，它包括____________，， 0，， _____________．．2 已知在已知在△△ABC中，中，∠∠C＝＝90°，，AC＝＝4，，BC＝＝5，， 那么斜边那么斜边AB的长是的长是(　　　　) A．整数．整数 B．分数．分数 C．有理数．有理数 D．非有理数．非有理数知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））整数整数 分数分数 正有理数正有理数 负有理数负有理数 D 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点知识点无理数无理数知知2 2－导－导面积为面积为2的正方形的边长的正方形的边长a究竟是多少呢？究竟是多少呢？(1)如图如图,三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的 理由理由.(2)边长边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位 呢？呢？…………借助计算器进行探索借助计算器进行探索.(3)小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？小明将他的探索过程整理如下，你的结果呢？北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－导－导边长边长a 面积面积S 1

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－导－导 做一做做一做（（1）估计面积为）估计面积为5的正方形的边长的正方形的边长b的值（结果的值（结果 精确到精确到0.1 )，并用计算器验证你的估计，并用计算器验证你的估计.（（2）如果结果精确到）如果结果精确到0.01呢？呢？事实上，事实上，b=2.236 067 978……它是它是一个无限不循环小数一个无限不循环小数.同样同样,对于体积为对于体积为2的正方体，借助计算器，可的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长以得到它的棱长c=1.259 921 05……它也是一个无它也是一个无限不循环小数限不循环小数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲1.议一议议一议 把下列各数表示成小数，你发现了什么？把下列各数表示成小数，你发现了什么？事实上，有理数总可以用有限小数或无限事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示循环小数表示. .反过来，任何有限小数或反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数无限循环小数也都是有理数. .北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2.无理数无理数 (1)无理数的定义：无限不循环小数称为无理数．无理数的定义：无限不循环小数称为无理数． (2)无理数的类型：无理数的类型： ①①上述中的上述中的a，，b类型的；类型的； ②②圆周率圆周率π型的；型的； ③③如如0.585 885 888 588 885…(相邻两个相邻两个5之间之间 8的个数逐次加的个数逐次加1)这种规定型的这种规定型的.知知2 2－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲例例2 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无下列各数中，哪些是有理数？哪些是无 理数？理数？解：解：有理数有：有理数有： 无理数有：无理数有：0.101 000 100 000 1……(相邻相邻 两个两个1之间之间0的个数逐次加的个数逐次加2).（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 数数π，， ，，0，－，－1中，无理数是中，无理数是(　　　　) A．．π B. C．．0 D．－．－12 在如图所示的正方形网格中，每个小正在如图所示的正方形网格中，每个小正 方形的边长为方形的边长为1，则在网格上的，则在网格上的△△ABC 中，边长为无理数的边数为中，边长为无理数的边数为(　　　　) A．．0 B．．1 C．．2 D．．3AC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.无理数的特征：无理数的特征： (1)无理数的小数部分位数无限．无理数的小数部分位数无限． (2)无理数的小数部分不循环，不能表示成分数无理数的小数部分不循环，不能表示成分数 的形式．的形式．2.常见的无理数的形式：常见的无理数的形式： (1)无限不循环的小数；无限不循环的小数； (2)特殊字母，如特殊字母，如“π”；； (3)an＝＝b(n为大于为大于1的自然数的自然数)中中b为有理数，则为有理数，则 a可能为无理数．可能为无理数． （来自（来自《《典中点典中点》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P25 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.2 平方根平方根第第1 1课时课时 算术平方根算术平方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u算术平方根的定义算术平方根的定义 u求算术平方根求算术平方根 u算术平方根的非负性算术平方根的非负性 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(1)根据图填空：根据图填空： x2=_______, y2=_______, z2=_______, w2=_______,(2)x,y,z,w中哪些是有理数中哪些是有理数?哪些是无理数哪些是无理数?你能你能 表示它们吗表示它们吗?2x2+1y2+1z2+1北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点知识点算术平方根的定义算术平方根的定义定义：定义：一般地，如果一个一般地，如果一个正数正数x的的平方平方等于等于a，， 即即x2＝＝a，那么这个正数，那么这个正数x就叫做就叫做a的算术平方的算术平方根．根．规定：规定：0的算术平方根是的算术平方根是0.表示方法：表示方法：正数正数a的算术平方根表示为的算术平方根表示为 读作读作 “根号根号a”．．知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲例例1 下列说法中下列说法中,正确的是正确的是(　　　　) A．．3是是9的算术平方根　　　　　　的算术平方根　　　　　　 B．．- -2是是4的算术平方根的算术平方根 C. (- -2)2的算术平方根是的算术平方根是- -2 D．．- -9的算术平方根是的算术平方根是3（来自（来自《《点拨点拨》》））A北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））要正确把握算术平方根的定义．因为要正确把握算术平方根的定义．因为3的平方等的平方等于于9，所以，所以3是是9的算术平方根；因为－的算术平方根；因为－2不是正数，不是正数，所以－所以－2不是不是4的算术平方根；因为的算术平方根；因为(- -2)2＝＝4，而，而22＝＝4，所以，所以2是是(- -2)2的算术平方根；负数没有算术的算术平方根；负数没有算术平方根．平方根．导引：导引：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 算术平方根具有双重非负性，这个数算术平方根具有双重非负性，这个数是非负数，它的算术平方根也是非负数．是非负数，它的算术平方根也是非负数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·滨州滨州)数数5的算术平方根为的算术平方根为(　　　　) A. B．．25 C．．±25 D．．±2 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．因为．因为62＝＝36，所以，所以6是是36的算术平方根的算术平方根 B．因为．因为(－－6)2＝＝36，所以－，所以－6是是36的算术的算术 平方根平方根 C．因为．因为(±6)2＝＝36，所以，所以6和－和－6都是都是36的的 算术平方根算术平方根 D．以上说法都不对．以上说法都不对知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））AA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点知识点求算术平方根求算术平方根知知2 2－讲－讲 例例2 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根： (1)900; (2)1; (3) ；； (4) 14.解：解：(1)因为因为302 = 900,所以所以900的算术平方根是的算术平方根是30,即即 (2)因为因为12=1,所以所以1的算术平方根是的算术平方根是1,即即 (3)因为因为 所以所以 的算术平方根是的算术平方根是 (4)14的算术平方根是的算术平方根是（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 例例3 求下列各数的算术平方根：求下列各数的算术平方根： (1)64；； (2) (3)0.36; (4) 导引：导引：根据算术平方根的定义求一个非负根据算术平方根的定义求一个非负 数的算术平方根数的算术平方根,只要找到一个非负只要找到一个非负 数的平方等于这个非负数即可．数的平方等于这个非负数即可．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲解：解：(1)因为因为82＝＝64 ，所以，所以 64的算术平方根是的算术平方根是8，即，即 (2)因为因为 所以所以 的算术平方根是的算术平方根是 ，， (3)因为因为0.62＝＝0.36，所以，所以0.36的算术平方根是的算术平方根是0.6，即，即 (4)因为因为 92＝＝81，所以，所以 ＝＝9.而而32＝＝ 9，所以，所以 的算术平方根是的算术平方根是3.（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数 的算术平方根，分清求的算术平方根，分清求 的算术平方根与的算术平方根与81的算的算 术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因 此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用． 注意：注意：求求 的值实质就是求的值实质就是求81的算术平方根，求的算术平方根，求 的算术平方根实质是求的算术平方根实质是求9的算术平方根．的算术平方根． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 的算术平方根的相反数和倒数分别的算术平方根的相反数和倒数分别 是是 ________．．2 (中考中考·日照日照) 的算术平方根是的算术平方根是(　　　　) A．．2 B．．±2 C. D．．±C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点知识点算术平方根的非负性算术平方根的非负性知知3 3－讲－讲1.要点精析：要点精析： (1)算术平方根算术平方根 具有双重非负性：具有双重非负性： ①①a是非负数，即是非负数，即a≥0；； ②②算术平方根算术平方根 是非负数，即是非负数，即 ≥0. (2)算术平方根是它本身的数只有算术平方根是它本身的数只有0和和1.2.性质：性质： (1)正数的算术平方根是一个正数；正数的算术平方根是一个正数； (2)0的算术平方根是的算术平方根是0；； (3)负数负数没有算术平方根；没有算术平方根； (4)a(a≥0)越大，它的算术平方根也越大越大，它的算术平方根也越大. （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲例例4 (1)已知已知y＝＝ ＋＋ ＋＋5，求，求2x＋＋y的算术平的算术平 方根．方根．导引：导引：由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中由于只有非负数才有算术平方根，因此本题中x －－2≥0，且，且2－－x≥0.求得求得x的值后从而可得的值后从而可得y的的 值，进而问题得解．值，进而问题得解．解：解：由由 中中a≥0知，等式成立的条件是知，等式成立的条件是x－－2≥0且且 2－－x≥0.所以所以x≥2且且x≤2. 所以所以x＝＝2.所以所以y＝＝5. 所以所以2x＋＋y＝＝2×2＋＋5＝＝9. 因为因为9的算术平方根是的算术平方根是3，所以，所以2x＋＋y的算术平的算术平 方根是方根是3，即，即（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 要使要使y＝＝ ＋＋ ＋＋5有意义，有意义，需满足需满足x－－2≥0，，2－－x≥0.只有它们都等只有它们都等于于0，这两个式子才都有意义．，这两个式子才都有意义．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(2)已知已知x，，y为有理数，且为有理数，且 ＋＋3(y－－2)2＝＝0，求，求x－－y 的值．的值．导引：导引：算术平方根和平方都具有非负性，即算术平方根和平方都具有非负性，即 ≥0, a2≥0. 由几个非负数相加和为由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为，可得每一个非负数都为 0，由此可求出，由此可求出x和和y的值，进而求得答案．的值，进而求得答案． 解：解：由题意可得由题意可得x－－1＝＝0，，y－－2＝＝0. 所以所以x＝＝1，，y＝＝2. 所以所以x－－y＝＝1－－2＝－＝－1.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是算术平方根和数的平方、绝对值一样，都是 非负数，即非负数，即 ≥0，，a2≥0，，|a|≥0；当几个；当几个 非负数的和为非负数的和为0时，则其中每一个非负数都时，则其中每一个非负数都 为为0.(2)只有非负数才有算术平方根，因此当同时出只有非负数才有算术平方根，因此当同时出 现现 时，时，a只有为只有为0才有意义．才有意义．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 (1) 中，被开方数中，被开方数a是是________，即，即a___0；； (2) 是是________，即，即 _____0，即非负，即非负 数的算术平方根是数的算术平方根是_________；负数没有；负数没有 算术平方根，即当算术平方根，即当a_____0时，时， 无意义．无意义．非负数非负数≥非负数非负数≥非负数非负数＜＜寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2 (中考中考·绵阳绵阳)若若 ＋＋|2a－－b＋＋1|＝＝0，则，则 (b－－a)2 015＝＝(　　　　) A．－．－1 B．．1 C．．52 015 D．－．－52 015A寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1. 表示的是表示的是a的算术平方根，由算术平方的算术平方根，由算术平方 根的定义知它具有根的定义知它具有“双重双重”非负性：非负性：a≥0，， ≥0，即，即算术平方根及它的被开方数都算术平方根及它的被开方数都 为非负数为非负数．．2.对于所有的算术平方根，被开方数越大，对对于所有的算术平方根，被开方数越大，对 应的算术平方根也越大；反之亦然．应的算术平方根也越大；反之亦然．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P27 T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.2 平方根平方根第第2 2课时课时 平方根平方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u平方根的定义平方根的定义u平方根的性质平方根的性质 u求平方根求平方根(开平方开平方) u 与与 的性质的性质 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多想一想想一想（（1））9的算术平方根是的算术平方根是3,也就是说，也就是说，3的平方是的平方是9. 还有其他的数，它的平方也是还有其他的数，它的平方也是9吗？吗？（（2）平方等于）平方等于 的数有几个？平方等于的数有几个？平方等于0.64的的 数呢？数呢？北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点平方根的定义平方根的定义 一般地，如果一个数一般地，如果一个数x的平方等于的平方等于a，即，即x2 = a，那么这个数，那么这个数x就叫做就叫做a的的平方根平方根(也叫做二也叫做二 次方根次方根) .如如:±3是是9的平方根的平方根, 或说成或说成9的平方根是的平方根是±3.知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方.149+1-1+2-2+3-3149+1-1+2-2+3-3开平方开平方平方平方北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例1 〈〈湖南怀化湖南怀化〉〉49的平方根为的平方根为(　　　　) A．．7　　　　　　 B．－．－7　　　　　　 C．．±7　　　　 　　D．．±（来自（来自《《点拨点拨》》））导引：导引：因为因为(±7)2＝＝49，所以，所以49的平方根的平方根 为为±7. C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 如果如果x2＝＝a，那么下列说法错误的是，那么下列说法错误的是(　　　　) A. 若若x确定，则确定，则a的值是唯一的的值是唯一的 B. 若若a确定，则确定，则x的值是唯一的的值是唯一的 C. a是是x的平方的平方 D. x是是a的平方根的平方根2 (中考中考·黄冈黄冈)9的平方根是的平方根是(　　　　) A．．±3 B．．± C．．3 D．－．－3知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 议一议议一议 （（1）一个正数有几个平方根？）一个正数有几个平方根？ （（2））0有几个平方根？有几个平方根？ （（3）负数呢？）负数呢？ 知知2 2－讲－讲2知知识点点平方根的性质平方根的性质北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲平方根的性质平方根的性质（（1）平方根的性质：）平方根的性质： 一个正数有两个平方根；一个正数有两个平方根；0只有一个平方只有一个平方 根，它是根，它是0本身；负数没有平方根本身；负数没有平方根. （（2）平方根的表示方法：）平方根的表示方法： 正数正数a有两个平方根，一个是有两个平方根，一个是a的算术平的算术平 方根方根 ,另一个是另一个是 ，它们互为相反，它们互为相反 数数.这两个平方根合起来可以记作这两个平方根合起来可以记作 读作读作“正、负根号正、负根号a”.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：由一个正数有两个平方根，它们互由一个正数有两个平方根，它们互 为相反数，得为相反数，得2a－－3＋＋5－－a＝＝0，解，解 这个方程即可．这个方程即可． 例例2 一个正数一个正数x的平方根是的平方根是2a－－3和和5－－ a，则，则a的值是多少？的值是多少？解：解：根据题意，得根据题意，得2a－－3＋＋5－－a＝＝0. 解得解得a＝－＝－2.（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．任何数的平方根都有两个．任何数的平方根都有两个 B．一个正数的平方根的平方就是这个数．一个正数的平方根的平方就是这个数 C．负数也有平方根．负数也有平方根 D．非负数的平方根都有两个．非负数的平方根都有两个2 (中考中考·六盘水六盘水)下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．．|－－2|＝－＝－2 B．．0的倒数是的倒数是0 C．．4的平方根是的平方根是2 D．－．－3的相反数是的相反数是3知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BD北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 本题考查平方根的性质：一个正数有本题考查平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；两个平方根，它们互为相反数；北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点求平方根（开平方）求平方根（开平方）知知3 3－讲－讲1.开平方：开平方： 求一个数求一个数a的平方根的运算，叫做的平方根的运算，叫做开平方开平方, a叫做被开方数叫做被开方数.2.要点精析：要点精析： (1)一个一个正数正数的的正的平方根正的平方根就是它的算术平方根．就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、 除、乘方一样是一种运算，即：除、乘方一样是一种运算，即： 运算名称：运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数非负数)．． 运算结果：运算结果：和、差、积、商、幂、平方根和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数互为相反数)．．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲（来自教材）（来自教材）解：解：（（1）因为（）因为（±8））2 = 64,所以所以64的平方根是的平方根是±8，即，即± = ±8; （（2）因为）因为 所以所以 的平方根是的平方根是 ，即，即 （（3）因为（）因为（±0.02)2 = 0.000 4,所以所以 0.000 4 的平方根是的平方根是 ±0.02，即，即± =±0.02; （（4）因为（）因为（± 25)2 = (- -25)2,所以（所以（- -25））2的平方根是的平方根是±25，即，即 （（5））11的平方根是的平方根是 例例3 求下列各数的平方根：求下列各数的平方根： （（1）） 64；（；（2）） （（3）） 0.000 4；（；（4）） (- -25)2；（；（5））11.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例4 下列说法中，正确的是下列说法中，正确的是(　　　　) A．．9的平方根是的平方根是±3，应表示为，应表示为92＝＝±3 B．．±3是是9的平方根，应表示为的平方根，应表示为± ＝＝3 C．．9开平方能得到开平方能得到9的平方根，即的平方根，即 ＝＝ ±3 D．．9的算术平方根是的算术平方根是3，应表示为，应表示为 ＝＝3导引：导引：正确把握并准确运用平方根、算术平方根正确把握并准确运用平方根、算术平方根 的定义．的定义． （来自（来自《《点拨点拨》》））D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 必须弄清以下符号的意义：必须弄清以下符号的意义：± (a≥0)表示非负表示非负数数a的平方根；的平方根； (a≥0)表示非负数表示非负数a的算术平方根；的算术平方根；把非负数把非负数a开平方，求它的平方根可用开平方，求它的平方根可用± 表示．表示．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 求一个数的求一个数的____________的运算叫做开平方；的运算叫做开平方； 平方根是平方根是____________运算的结果；开平方运算的结果；开平方 运算与运算与_____________互为逆运算．互为逆运算．2 (－－5)2的平方根是的平方根是(　　　　) A．－．－5 B．．25 C．．±5 D．．±知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））平方根平方根开平方开平方平方运算平方运算 C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4知知识点点 与与 的性质的性质知知4 4－导－导1.想一想：想一想： （（1）） 等于多少？等于多少？ 等于多少？等于多少？ （（2）） 等于多少？等于多少？ （（3）对于正数）对于正数a，， 等于多少？等于多少？2.联系拓广：联系拓广： 对于任意数对于任意数a，， 一定等于一定等于a吗？吗？寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－讲－讲1. 的化简：的化简：2. 的化简：的化简：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））下列四个数中，是负数的是下列四个数中，是负数的是( )A. |－－2| B.(－－2)2C. D.1 C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多平方根与算术平方根的区别与联系：平方根与算术平方根的区别与联系：区别：区别：(1)个数不同：正数的平方根有两个且互为相反个数不同：正数的平方根有两个且互为相反 数，正数的算术平方根只有一个；数，正数的算术平方根只有一个；(2)表示方法不同：非负数表示方法不同：非负数a的平方根为的平方根为± 非负数非负数a的算术平方根为的算术平方根为 联系：联系：算术平方根是平方根中的一个．算术平方根是平方根中的一个． 寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P29 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.3 2.3 立方根立方根北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u立方根立方根 u立方根的性质立方根的性质 u求立方根（开立方）求立方根（开立方） u 与与 的性质的性质2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多16的平方根是的平方根是______，算术平方根是，算术平方根是_________.－－16的平方根是的平方根是____________，，0的平方根是的平方根是________.一个正数有正负两个平方根一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数；它们互为相反数；零的平方根是零，负数没有平方根零的平方根是零，负数没有平方根.回顾旧知回顾旧知±44没有平方根没有平方根0北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点立方根立方根问题：问题：要做一个体积为要做一个体积为8cm3的正方体模型的正方体模型(如图如图)，， 它的棱长要取多少？你是怎么知道的？它的棱长要取多少？你是怎么知道的？知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲思考：思考： （（1））2的立方等于多少？是否有其他的数，的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是它的立方也是8? （（2））- -3的立方等于多少？是否有其他的数，的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是它的立方也是- -27?北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲什么才是一个数什么才是一个数a的立方根呢？的立方根呢？一般地，一个数的立方等于一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫做，这个数就叫做a的立方根，也叫做的立方根，也叫做a的三次方根．记做　　的三次方根．记做　　(也叫做三次方根也叫做三次方根). 如如2是是8的立方根，的立方根，0是是0的的立方根立方根.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多表示方法：表示方法： 一个数一个数a的立方根，用符号的立方根，用符号“ ”表示，表示，读作读作“三次根号三次根号a”，其中，其中a是被开方数，是被开方数，3是根是根指数．指数． 知知1 1－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 若若 是是5的立方根，则的立方根，则b＝＝______，若，若 ＝－＝－2，则，则a＝＝______.2 分析下列四句话：分析下列四句话： ①①因为因为(－－2)3＝－＝－8，所以－，所以－2是－是－8的立方根；的立方根； ②②因为因为43＝＝64，所以，所以64是是4的立方根；的立方根； ③③把把2立方与把立方与把8开立方互为逆运算；开立方互为逆运算； ④④把把4立方与把立方与把4开平方互为逆运算．开平方互为逆运算． 其中正确的是其中正确的是____________．．(填序号填序号)知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1－－8①③①③北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点立方根的性质立方根的性质知知2 2－导－导思考：思考： (1)正数有几个立方根？正数有几个立方根？ (2)负数有几个立方根？负数有几个立方根？ (3)0有几个立方根？有几个立方根？ 一个正数有一个正的立方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根，一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零零的立方根是零.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））性质：性质：(1) 正数的立方根是正数；正数的立方根是正数；(2) 负数的立方根是负数；负数的立方根是负数；(3) 0的立方根是的立方根是0；；北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自教材）（来自教材） 例例1 求下列各式的值求下列各式的值:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲例例2 求下列各式的值求下列各式的值:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 做开平方或开立方运算时，一般都是利用做开平方或开立方运算时，一般都是利用 它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被它们的定义，运用平方或立方法去掉根号；当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算．化简，再进行开方运算． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列说法正确的是下列说法正确的是(　　　　) A．．0.8的立方根是的立方根是0.2 B．．1的立方根为的立方根为±1 C．－．－1的立方根是－的立方根是－1 D．－．－25没有立方根没有立方根知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2 下列说法：下列说法： ①①负数没有立方根；负数没有立方根；②②一个数的立方根不是正数一个数的立方根不是正数 就是负数；就是负数；③③一个正数或负数的立方根和这个数一个正数或负数的立方根和这个数 同号，同号，0的立方根是的立方根是0；；④④如果一个数的立方根是如果一个数的立方根是 这个数本身，那么这个数必是这个数本身，那么这个数必是1或或0. 其中错误的是其中错误的是(　　　　) A．．①②③①②③ B．．①②④①②④ C．．②③④②③④ D．．①③④①③④知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点求立方根（开立方）求立方根（开立方）知知3 3－讲－讲 求一个数的立方根的运算叫做求一个数的立方根的运算叫做开立方开立方，， a叫做被开方数叫做被开方数.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例3 求下列各数的立方根：求下列各数的立方根： (1) - -27；； (2) (3) 0.216；； (4) - -5.（来自教材）（来自教材）解解:(1)因为因为(- -3)3= - -27,所以所以- -27的立方根是的立方根是- -3,即即 (2)因为因为 所以所以 的立方根是的立方根是 (3)因为因为0.63=0.216,所以所以0.216的立方根是的立方根是0.6, 即即 (4)- -5的立方根是的立方根是寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列各式中，正确的是下列各式中，正确的是(　　　　) A. ＝＝±2 B. ＝＝5 C. ＝＝2 D．． ＝－＝－22 (中考中考·河北河北)当当x＝－＝－8时，时， 的值是的值是 (　　　　) A．－．－8 B．－．－4 C．．4 D．．±4知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））BC寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－导－导想一想想一想 表示表示a的立方根，那么的立方根，那么 等于什么？等于什么？ 呢？呢？4知知识点点 与与 的性质的性质寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－讲－讲1.任何一个数任何一个数既等于既等于这个数的立方根的立方这个数的立方根的立方 又等于又等于这个数的立方的立方根这个数的立方的立方根. 即：即：2.负号可直接从立方根内移到立方根外负号可直接从立方根内移到立方根外. 即：即：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 下列说法：下列说法： ①①正数都有平方根；正数都有平方根；②②负数都有平方根；负数都有平方根； ③③正数都有立方根；正数都有立方根；④④负数都有立方根．负数都有立方根． 其中正确的有其中正确的有(　　　　) A．．1个个 B．．2个个 C．．3个个 D．．4个个C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2 如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那如果一个数的立方根与其算术平方根相同，那 么这个数是么这个数是(　　　　) A．．1 B．．0或或1 C．．0或或±1 D．任意非负数．任意非负数B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多通过这节课的学习，大家获得那些知识呢？通过这节课的学习，大家获得那些知识呢？1、立方根定义，性质，及表示方法；、立方根定义，性质，及表示方法；2、如何求一个数的立方根；、如何求一个数的立方根；3、立方根和平方根的区别；、立方根和平方根的区别；4、平方根、算术平方根、立方根等于本身的数、平方根、算术平方根、立方根等于本身的数.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P32 习题习题T2-T52.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.4 2.4 估估 算算北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u方根的估算方根的估算 u用估算比较数的大小用估算比较数的大小 2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保 主题公园主题公园.已知这块荒地的长是宽的已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面倍，它的面 积为积为400 000 m2.（（1）公园的宽大约是多少？它有）公园的宽大约是多少？它有1 000m吗？吗？（（2）如果要求结果精确到）如果要求结果精确到10m,它的宽大约是多它的宽大约是多 少？与同伴进行交流少？与同伴进行交流.（（3 3））该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是 800 m2,你能估计它的半径吗？（结果精确到你能估计它的半径吗？（结果精确到1m)北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点方根的估算方根的估算 议一议议一议（（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？ 与同伴进行交流与同伴进行交流.（（2）你能估算）你能估算 的大小吗？（结果精确到的大小吗？（结果精确到1)知知1 1－导－导北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲估算的一般步骤：估算的一般步骤：(1)估计整数部分是几位数；估计整数部分是几位数；(2)确定最高位上的数字；确定最高位上的数字；(3)确定下一位上的数字；确定下一位上的数字；(4)依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按依此类推，直到确定出个位上的数字，或者按 要求精确到小数点后的某一位要求精确到小数点后的某一位. （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例1 估算估算 的近似值．（精确到的近似值．（精确到0.01））（来自（来自《《点拨点拨》》））导引：导引：对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确对于估算数的大小，我们根据误差的要求，先确 定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位，定整数部分，然后依次确定小数部分的每一位， 进行的步数越多，估算出的值越精确．进行的步数越多，估算出的值越精确． 解：解：因为因为12＝＝1，，22＝＝4，所以，所以1＜＜ ＜＜2. 因为因为1.72＝＝2.89，，1.82＝＝3.24，所以，所以1.7＜＜ ＜＜1.8. 因为因为1.732＝＝2.992 9，，1.742＝＝3.027 6，， 所以所以1.73＜＜ ＜＜1.74. 因为因为1.7322＝＝2.999 824，，1.7332＝＝3.003 289，， 所以所以1.732＜＜ ＜＜1.733.所以所以 ≈1.73.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 求解本题使用了求解本题使用了““夹逼法夹逼法””，它是数学估算的，它是数学估算的重要方法，所谓重要方法，所谓““夹夹””就是从两边确定范围，而就是从两边确定范围，而““逼逼””就是一点点加强限制，使其所处的范围越来就是一点点加强限制，使其所处的范围越来越小，从而达到要精确的程度．越小，从而达到要精确的程度．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲解：解：因为因为 ＜＜ ＜＜ ，所以，所以2＜＜ ＜＜3. 所以所以 的整数部分是的整数部分是2，则，则 的小数部分是的小数部分是 －－2. 所以所以2＋＋ 的整数部分是的整数部分是4，，2＋＋ 的小数部分是的小数部分是 －－2（即（即2＋＋ －－4＝＝ －－2），）， 即即x＝＝4，，y＝＝ －－2. 例例2 设设2＋＋ 的整数部分和小数部分分别是的整数部分和小数部分分别是x，，y，， 试求出试求出x，，y的值．的值． 导引：导引：先估算先估算 的整数部分，再表示出其小数部分的整数部分，再表示出其小数部分 （（ －整数部分＝小数部分），从而可求－整数部分＝小数部分），从而可求x，，y 的值．的值．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 确定确定 的整数部分、小数部分的一般方法：的整数部分、小数部分的一般方法：估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较估算时整数部分直接取与其最接近的两个整数中较 小的那个整数；确定小数部分的方法是：首先确定小的那个整数；确定小数部分的方法是：首先确定其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出其整数部分，然后用这个数减去它的整数部分得出它的小数部分，即：小数部分＝原数－整数部分．它的小数部分，即：小数部分＝原数－整数部分． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·嘉兴嘉兴)与无理数与无理数 最接近的最接近的 整数是整数是(　　　　) A．．4 B．．5 C．．6 D．．72 (2015·杭州杭州)若若k<

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点用估算比较数的大小用估算比较数的大小知知2 2－导－导议一议议一议(1)通过估算，你能比较通过估算，你能比较 的大小吗？你是的大小吗？你是 怎样想的？与同伴进行交流怎样想的？与同伴进行交流.(2)小明是这样想的小明是这样想的: 的分母相同，只要的分母相同，只要 比较它们的分子就可以了比较它们的分子就可以了.因为因为 所以所以 因此因此 你认为小明的想法正确吗？你认为小明的想法正确吗？ 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲1.用估算法比较两个数的大小用估算法比较两个数的大小(其中至少有一个其中至少有一个 是无理数是无理数)时，一般先用分析的方法估算出无时，一般先用分析的方法估算出无 理数的大致范围，再比较．理数的大致范围，再比较．2.比较大小的两个数中如果有含根号的数，常比较大小的两个数中如果有含根号的数，常 常有如下比较方法：常有如下比较方法： (1)先找个中间值，再比较；先找个中间值，再比较； (2)先把两数平方或立方，再比较．先把两数平方或立方，再比较． （来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：(1)题可用平方法比较大小；题可用平方法比较大小；(2)题可用作差法比较题可用作差法比较 大小；大小；(3)题可比较被开方数大小来比较数的大小．题可比较被开方数大小来比较数的大小．例例3 比较下列各组数的大小：比较下列各组数的大小：（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 本题本题(1)两数同时平方后再比较大小，两数同时平方后再比较大小，(2)运用运用了了作差法作差法，通过判断相减得到的差的正负来比较大，通过判断相减得到的差的正负来比较大小；小；(3)被开方数大的算术平方根较大，即当被开方数大的算术平方根较大，即当a≥b≥0时，时， ≥ ≥0，反过来也成立．，反过来也成立．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲导引：导引：(1)若设这块长方形荒地的宽是若设这块长方形荒地的宽是x m，则长是，则长是2x m，这，这 样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求样利用长方形的面积公式和开平方的知识即可求 解．解．(2)由由(1)即可求解．即可求解．(3)设公园中的圆形花圃的半设公园中的圆形花圃的半 径为径为r m，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识，则可以利用圆的面积公式和开平方的知识 来求解．来求解． 例例4 某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主某地开辟一块长方形荒地用于新建一个以环保为主 题的公园．已知这块荒地的长是宽的题的公园．已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面倍，它的面 积是积是400 000 m2，那么，那么 (1)公园的宽是多少？它有公园的宽是多少？它有1 000 m吗？吗？ (2)如果要求误差小于如果要求误差小于10 m，它的宽大约是多少？，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800 m2，， 你能估计它的半径吗？你能估计它的半径吗？(误差要求小于误差要求小于1 m)北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多解：解：(1)设这块长方形荒地的宽是设这块长方形荒地的宽是x m，则长是，则长是2x m. 根据题意，得根据题意，得2x·x＝＝400 000，即，即x2＝＝200 000. 两边开平方，得两边开平方，得x＝＝± 又因为又因为x为荒地的宽，所以为荒地的宽，所以x＝＝ ＜＜1 000. 所以公园的宽是所以公园的宽是 m，没有，没有1 000 m. (2)因为因为x＝＝ ≈447，， 所以如果要求误差小于所以如果要求误差小于10 m，它的宽大约是，它的宽大约是450 m. (3)设公园中的圆形花圃的半径为设公园中的圆形花圃的半径为r m，， 则根据题意，得则根据题意，得πr2＝＝800，即，即r2＝＝ 知知2 2－讲－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多两边开平方，得两边开平方，得r＝＝±又因为又因为r为圆形花圃的半径，为圆形花圃的半径，所以所以r＝＝由于题目要求误差小于由于题目要求误差小于1 m，而，而15＜＜ ＜＜16，，所以所以15 m和和16 m都满足要求．都满足要求．知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 运用运用方程思想方程思想求出长方形的宽是求出长方形的宽是解决本题的关键．解决本题的关键．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 (中考中考·常州常州)已知已知a＝＝ ，，b＝＝ ，，c＝＝ ，， 则下列大小关系正确的是则下列大小关系正确的是(　　　　) A．．a>b>c B．．c>b>a C．．b>a>c D．．a>c>b2 已知甲、乙、丙三数，甲＝已知甲、乙、丙三数，甲＝5＋＋ ，乙＝，乙＝3 ＋＋ ，丙＝，丙＝1＋＋ ，则甲、乙、丙的大小，则甲、乙、丙的大小 关系是关系是(　　　　) A．丙．丙<乙乙<甲甲 B．乙．乙<甲甲<丙丙 C．甲．甲<乙乙<丙丙 D．甲＝乙＝丙．甲＝乙＝丙AA寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多估算无理数大小的方法：估算无理数大小的方法：(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的 整数部分；整数部分；(2)根据所要求的误差确定小数部分根据所要求的误差确定小数部分.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P34- P35 习题习题T1、、2、、3、、5、、62.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.5 2.5 用计算器开方用计算器开方北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u利用计算器开方利用计算器开方 u利用计算器比较大小利用计算器比较大小2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多利用科学计算器怎样进行开方运利用科学计算器怎样进行开方运算算? ?开方运算要用到键开方运算要用到键 和键和键 . .对于开平方运算，按键顺序为：对于开平方运算，按键顺序为： 被开方数被开方数 . .对于开立方运算，按键顺序为：对于开立方运算，按键顺序为： 被开方数被开方数 . .= S D SHIFT=北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点利用计算器开方利用计算器开方1.用计算器开平方用计算器开平方 大多数计算器都有大多数计算器都有 键，用它可以求出一键，用它可以求出一 个正数的算术平方根个正数的算术平方根(或其近似值或其近似值)，应注意，应注意 的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不的是，不同型号的计算器按键的顺序可能不 同，使用计算器时，一定要按照说明书进行同，使用计算器时，一定要按照说明书进行 操作．操作．知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲2.用计算器开立方用计算器开立方 用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平用计算器求一个数的立方根和求一个数的算术平 方根的步骤相同，只是按的根指数键不同．方根的步骤相同，只是按的根指数键不同． 步骤：按键步骤：按键 → 被开方数被开方数 → → 根根 据据 显示结果写出立方根．显示结果写出立方根．注意：注意：不同型号的计算器按键的顺序可能不同，不同型号的计算器按键的顺序可能不同，使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算使用计算器时，一定要按说明书操作．在用计算器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值器求一个负数的立方根时，可先求出它的绝对值的立方根，再在结果前加上负号．的立方根，再在结果前加上负号． （来自（来自《《点拨点拨》》））SHIFT=北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲导引：导引：注意计算器的正确使用方法．注意计算器的正确使用方法． 先按先按 键，然后按数字键，然后按键，然后按数字键，然后按 键，最后按键，最后按 键，计算器显示的结果就是该数的算术平方键，计算器显示的结果就是该数的算术平方 根根(或其近似值或其近似值)．．（来自（来自《《点拨点拨》》）） 例例1 用计算器求下列各式的值：用计算器求下列各式的值： (1) (2) (结果精确到结果精确到0.01)．．解：解：(1)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：99.所以所以 ＝＝99. (2)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：3.316 624 79.所以所以 ≈3.32. = S D 801= S D 91= S D 1北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知1 1－讲－讲 例例2 用计算器求下列各数的立方根：用计算器求下列各数的立方根： (1)8；　；　 (2)－－13.27(结果精确到结果精确到0.001)．．导引：导引：(2)题中，由计算器得到的数值根据精确度通过题中，由计算器得到的数值根据精确度通过 “四舍五入四舍五入”法得到近似值．法得到近似值．解：解：(1)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：2.所以所以 ＝＝2. (2)依次按键依次按键 ，， 显示：显示：2.367 501 744.所以所以 ≈2.368. 所以所以 ≈－－2.368. （来自（来自《《点拨点拨》》））SHIFT8=SHIFT1=3.27北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 用计算器计算用计算器计算 约为约为(　　　　) A．．3.049 B．．3.050 C．．3.051 D．．3.0522 使用科学计算器求使用科学计算器求 的近似值，其按的近似值，其按 键顺序正确的是键顺序正确的是(　　　　) A. B. C. D.知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））SHIFT+6=8SHIFT+6=8SHIFT+6=8+6=8BA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点利用计算器比较大小利用计算器比较大小知知2 2－讲－讲例例3 利用计算器比较利用计算器比较 的大小的大小. .解：解：按键：按键： ，， 显示显示1.442 249 57. 按键：按键： ，， 显示显示1.414 213 562. 所以所以SHIFT=3 S D =2（来自教材）（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 比较两个无理数的大小，先对计算的结果比较两个无理数的大小，先对计算的结果取近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的取近似值，通过比较近似值的大小，判断原来的大小．大小．（来自（来自《《点拨点拨》》））总 结北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－讲－讲 导引：导引：利用计算器计算出利用计算器计算出 的值，再的值，再 进行比较，既直观又方便．进行比较，既直观又方便．例例4 利用计算器比较利用计算器比较 的大小．的大小．解：解：由计算器得由计算器得 ≈1.709 975 9，， ≈1.732 050 8，， 所以所以（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1 将将 用不等号连接起来为用不等号连接起来为(　　　　) A. B. C. D.2 下列各组数，能作为三角形三条边长的是下列各组数，能作为三角形三条边长的是(　　　　) A. B. C. D.DD北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.用计算器求一个正数的算术根，有时是用计算器求一个正数的算术根，有时是 准确数，有时是近似数．准确数，有时是近似数．2.用算术根比较大小时，被开方数大的算用算术根比较大小时，被开方数大的算 术根就大．术根就大． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P37 习题习题T1-T42.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实数实数2.6 2.6 实实 数数北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂堂讲解解u实数及其分类实数及其分类u实数的性质实数的性质u实数与数轴上的点的关系实数与数轴上的点的关系u实数的大小比较实数的大小比较u实数的运算实数的运算2课时流程流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.什么是有理数？有理数怎样分类？什么是有理数？有理数怎样分类？2. 什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？无理数是无限不循环小数无理数是无限不循环小数.带根号的数不一定是无理数带根号的数不一定是无理数.回顾旧知回顾旧知北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知知识点点实数及其分类实数及其分类把下列各数分别填入相应的集合内：把下列各数分别填入相应的集合内：知知1 1－导－导 … …有理数集合有理数集合无理数集合无理数集合北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多有理数有理数和和无理数无理数统称为实数．统称为实数．即实数可以分为有理数和无理数即实数可以分为有理数和无理数.知知1 1－讲－讲定义定义北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 例例1 1 下列各数：下列各数：3.141 593.141 59，－，－ ，，0.131 131 113…(0.131 131 113…(每相邻两个每相邻两个 3 3之间依次多之间依次多1 1个个1)1)，－，－π，， ，－，－ 中，无理数有中，无理数有( (　　　　) ) A．．1 1个　个　 B．．2 2个个 　　C．．3 3个　个　 D．．4 4个个 导引：导引：因为因为3.141 593.141 59是有限小数，所以是有限小数，所以3.141 593.141 59是有理数；因为是有理数；因为 知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））B个个3之间之间依次多依次多1 1个个1)1)，－，－π都是无限不循环小数，所以都是无限不循环小数，所以0.131 0.131 131 113…(131 113…(每相邻两个每相邻两个3 3之间依次多之间依次多1 1个个1)1)，－，－π是无理数．是无理数．因为因为0.131 131 113…(0.131 131 113…(每相邻两每相邻两北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知1 1－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））(1)对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进对有理数和无理数进行区分时，应先对某些数进 行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，行计算或化简，然后根据最后结果进行分类，不不 能仅看到用根号能仅看到用根号 表示的数就认为是无理数．表示的数就认为是无理数．(2)π是无理数，化简后含是无理数，化简后含π的数的数 也是无理数．也是无理数． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 (中考中考·上海上海)下列实数中，是有理数的为下列实数中，是有理数的为(　　　　) A. B. C．．π D．．0知知1 1－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知知识点点实数的性质实数的性质知知2 2－导－导 在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.例如，例如， 和和 互为相反数，互为相反数， 和和 互为倒数，互为倒数， 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多例例2 若若a，，b互为相反数，互为相反数，c，，d互为倒数，互为倒数，m的绝对的绝对 值为值为4，求，求 知知2 2－讲－讲导引：引： 需先根据条需先根据条 件确定件确定a＋＋b，，cd 和和m的的值，根据，根据题意容易得意容易得 a＋＋b＝＝0，，cd＝＝ 1，，m ＝＝±4，代入求，代入求值即可．即可．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多（来自（来自《《点拨点拨》》））知知2 2－讲－讲解：解：因为因为a，，b互为相反数，所以互为相反数，所以a＋＋b＝＝0. 因为因为c，，d互为倒数，所以互为倒数，所以cd＝＝1. 因为因为|m|＝＝4，所以，所以m＝＝±4，，m2＝＝16.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知知2 2－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 当数从有理数当数从有理数扩充到充到实数后，有理数中相反数、数后，有理数中相反数、倒数和倒数和绝对值的意的意义同同样适用于适用于实数；由于本例中数；由于本例中a，，b，，c，，d的的值不确定，因此在求不确定，因此在求a＋＋b，，cd的的值时，运，运用了用了整体思想整体思想．在解决含有．在解决含有绝对值(| |m| |)的的问题时，，化化简时要注意判断要注意判断m的符号．的符号． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 ( (中考中考··临沂临沂) ) 的相反数是的相反数是( (　　　　) ) 知知2 2－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））12 是是 的的( (　　　　) )A．相反数．相反数 B．倒数．倒数 C．负平方根．负平方根　　 D．绝对值．绝对值AA北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知知识点点实数与数轴上的点的关系实数与数轴上的点的关系议一一议(1)如如图，，OA=OB,数数轴上点上点A对应的数是什么？它介的数是什么？它介 于哪两个整数之于哪两个整数之间？？(2)你能在坐你能在坐标轴上找到上找到 对应的点的点吗？与同伴？与同伴进 行交流行交流.知知3 3－导－导北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲1.实数与数轴间的关系实数与数轴间的关系：实数和数轴上的点是：实数和数轴上的点是一一对应一一对应 的．的． 它包含着两层含义它包含着两层含义：：(1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；(2)数轴上的每一个点都表示一个实数．数轴上的每一个点都表示一个实数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例3 点点A在数轴上表示的数为在数轴上表示的数为 ，点，点B在数轴上在数轴上 表示的数为－表示的数为－5，则，则A，，B两点之间的距离为两点之间的距离为 ________．． 导引：导引：根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的根据数轴上两点间的距离等于右边的点表示的 数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解．数减去左边的点表示的数，列式计算即可得解．（来自（来自《《点拨点拨》》））北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》））数轴上两点间的距离的求法：数轴上两点间的距离的求法： 数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之数轴上两点间的距离等于表示这两点的数之差的绝对值．差的绝对值．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知3 3－讲－讲 例例4 实数实数a在数轴上对应的点的位置如图，化简：在数轴上对应的点的位置如图，化简：|a－－π|＋＋| －－a|.导引：导引：根据数轴判断根据数轴判断a，，π，， 的符号及大小，再判断的符号及大小，再判断a－－π与与 －－a 的符号，最后根据绝对值的性质化简．的符号，最后根据绝对值的性质化简．解：解：由图可知由图可知 ＜＜a＜＜π，所以，所以a－－π＜＜0，， －－a＜＜0. 所以所以|a－－π|＋＋| －－a|＝＝π－－a＋＋a－－ ＝＝π－－ .（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知3 3－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 在利用绝对值的性质进行实数的化简时，在利用绝对值的性质进行实数的化简时，首先首先要要判断绝对值内实数的正负，判断绝对值内实数的正负，再再根据根据““正数的绝对值是正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数它本身，负数的绝对值是它的相反数””进行化简．进行化简．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考中考·金华金华)如图，数轴上的如图，数轴上的A，，B，，C，，D四点中，四点中，与表示数－与表示数－ 的点最接近的是的点最接近的是(　　　　)A．点．点A B．点．点B C．点．点C D．点．点D知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(中考中考·成都成都)实数实数a，，b在数轴上对应的点的位置如在数轴上对应的点的位置如图所示，计算图所示，计算|a－－b|的结果为的结果为(　　　　)A．．a＋＋b B．．a－－b C．．b－－a D．－．－a－－b知知3 3－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））2C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4知知识点点实数的大小比较实数的大小比较知知4 4－讲－讲 利用数轴比较实数的大小：利用数轴比较实数的大小：对于数轴上的任意对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大．实数大．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知4 4－讲－讲 例例5 用用“＜＜”连接下列各数：－连接下列各数：－ ，， ，－，－2 ，，2.5，，0.导引：导引：比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先求比较一组实数的大小和比较一组有理数的大小一样，可先求 出这些数的近似数，再将这些数在数轴上表示出来，然后根出这些数的近似数，再将这些数在数轴上表示出来，然后根 据据“在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大” 求解．求解．解：解：将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图将各数的大致位置在数轴上表示出来，如图. 由图可知，用由图可知，用“＜＜”可以连接成：－可以连接成：－2 ＜－＜－ ＜＜0＜＜ ＜＜2.5.（来自（来自《《点拨点拨》》））寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿￿￿ 结知知4 4－讲－讲（来自（来自《《点拨点拨》》）） 根据根据““实数和数轴上的点是一一对应的关系实数和数轴上的点是一一对应的关系””，，并且并且““在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示在数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大的数大””，我们可以利用，我们可以利用数形结合思想数形结合思想比较实数的大比较实数的大小．小．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(中考中考·枣庄枣庄)实数实数a，，b，，c在数轴上对应的点如图在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是所示，则下列式子中正确的是(　　　　)A．．ac>bc B．．|a－－b|＝＝a－－bC．－．－a<－－b－－b－－c知知4 4－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））1D寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5知知识点点实数的运算实数的运算知知5 5－讲－讲1.在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运在实数范围内，进行加、减、乘、除、乘方和开方运 算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混算时，有理数的运算法则和运算律仍然适用；实数混 合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先合运算的运算顺序与有理数的混合运算顺序一样，先 算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算按 照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．照自左向右的顺序进行，有括号的先算括号里面的．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知5 5－讲－讲2. 有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行有理数的运算律在实数范围内仍然适用，在进行 实数运算的过程中，要做到：实数运算的过程中，要做到： 一一“看看”——看算式的结构特点，能否运用运算看算式的结构特点，能否运用运算 律或公式；律或公式； 二二“用用”——运用运算律或公式；运用运算律或公式； 三三“查查”——检查过程和结果是否正确．检查过程和结果是否正确．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知识点点知知5 5－讲－讲3．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号，．计算结果中若包含开方开不尽的数，则保留根号， 结果要化为最简形式．结果要化为最简形式． 学法指南学法指南：实数的运算律：实数的运算律 加法交换律：加法交换律：a＋＋b＝＝b＋＋a；； 加法结合律：加法结合律：(a＋＋b)＋＋c＝＝a＋＋(b＋＋c)；； 乘法交换律：乘法交换律：ab＝＝ba；； 乘法结合律：乘法结合律：(ab)c＝＝a(bc)；； 乘法分配律：乘法分配律：(a＋＋b)c＝＝ac＋＋bc.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知知5 5－讲－讲 例例6 〈〈山东枣庄山东枣庄〉〉估计估计 ＋＋1的值在的值在(　　　　) A．．2到到3之间　　　　　　　之间　　　　　　　B．．3到到4之间之间 C．．4到到5之间　之间　 D．．5到到6之间之间导引：导引：首先要确定首先要确定 的取值范围，再估算的取值范围，再估算 ＋＋1的取值的取值 范围．因为范围．因为4＜＜6＜＜9，所以，所以 ，即，即2＜＜ ＜＜3，所以，所以3＜＜ ＋＋1＜＜4.（来自（来自《《点拨点拨》》））B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考中考·重庆重庆)计算：计算：(3.14－－ )0＋＋(－－3)2＝＝________.(中考中考·荆州荆州)计算：计算： ________.知知5 5－练－练（来自（来自《《典中点典中点》》））210寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多内容：内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？议一议，本节课我们学习了哪些知识？意图：意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获.效果：效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做必做: 完成教材完成教材P39，随堂练习，随堂练习 T1-T2，， P40习题习题T1、、T22.补充补充: 请完成请完成《《典中点典中点》》剩余部分习题剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第1课时 二次根式 及其性质寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u二次根式的定义u二次根式的性质u最简二次根式2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多 观察下列代数式： 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点二次根式的定义知1－讲 形如 (a≥0)的式子叫做二次根式． 其中a为整式或分式，a叫做被开方式．特点：①都是形如 的式子， ②a都是非负数.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由． 导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根 式定义的条件，紧扣定义进行识别．解：(1)不是．理由：因为 的根指数是3，所以 不是二次根 式． (2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 是二次 根式；当a＞0时，－5a＜0，则 不是二次根 式．所以 不一定是二次根式．(4)不是．理由： (a≥0)只能称为含有二次根式的代 数式，不能称为二次根式．（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲(5)不一定是．理由：当a＝4，即a－4＝0时， 是二次根式； 当a≠4时，－(a－4)2＜0，所以 不是二次根式．所以 不一定是二次根式．(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．(7)是．理由：因为|x|≥0，且 的根指数为2，所以 是二次根式．（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲（来自《点拨》）二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特征：(1)含根号且根指数为2(通常省略不写)；(2)被开方数(式)为非负数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲 例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数．解：(1)欲使 有意义，则必有2x－6≥0且x－5≠0，所 以x≥3且 x≠5. (2)欲使 有意义，则必有x－2≥0且5－x≥0，所以 2≤x≤5.（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲求式子有意义时字母的取值范围的方法：第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根 式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次 根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数； 对于零指数，则必须满足底数不能为零．第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关 系．第三步，由不等关系得出字母的取值范围．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1下列式子一定是二次根式的是( )(中考·武汉)若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　　)A．x≥－2 B．x>－2 C．x≥2 D．x≤2知1－练（来自《典中点》）2CC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点二次根式的性质知2－导做一做（1）计算下列各式，你能得到什么猜想？（2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借 助计算器验证，并与同伴进行交流.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲 二次根式的性质： 积的算术平方根，等于________________; 商的算术平方根，等于________________;算术平方根的积算术平方根的商北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲例3 化简：（来自教材）解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲 例4 〈易错题〉化简： 导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如 不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式) 必须是非负数．(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数 是含有字母的单项式，都可利用 进行化简． 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲解：（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲商的算术平方根再探索(1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法 法则；(2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负 数，除式是正数；(3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分 母中的根号化去．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲分母有理化(1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化；(2)依据：分式的基本性质及 (a≥0)；(3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·荆门)当1＜a＜2时，代数式 的值是(　　)A．－1 B．1C．2a－3 D．3－2a知2－练（来自《典中点》）B寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多下列结果正确的有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知2－练（来自《典中点》）2C寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点最简二次根式知3－讲1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二 次根式．最简二次根式必须满足： (1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数 (式)； (2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2， 即每个因数(式)的指数都是1.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲2．将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤： (1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、 分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代 替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即将分母有理化——化去被开方数中的分母． 注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式； (2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲 例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由．解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母． (2)是最简二次根式． (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母)． (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的 因数4，4＝22. (5)不是最简二次根式，因为x3＋6x2＋9x＝x(x2＋6x＋9)＝x(x ＋3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式． (6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式．（来自《点拨》）寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：(1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)；(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数 中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具 备分母中不含二次根式的条件．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例6 化简：（来自《点拨》）若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．解： 导引：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）被开方数是数的二次根式的化简技巧：(1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数；(2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化 成分数或带分数化成假分数的形式；(3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这 个和差的结果求出．寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·淮安)下列式子为最简二次根式的是(　　)在下列根式中，不是最简二次根式的是(　　)知3－练（来自《典中点》）2AD寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.当当a≥0时，时，2.当当a≥0时，时，3.寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P43,习题T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第2课时 二次根式的乘除北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u二次根式的乘法u二次根式的除法2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.什么叫二次根式？回顾旧知式子 (a≥0)叫做二次根式.2.两个基本性质：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点二次根式的乘法1.二次根式的乘法法则：二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，把被开两个二次根式相乘，把被开 方数相乘，根指数不变；方数相乘，根指数不变； 即：即：知1－讲北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例1 计算：(1)(2)两题直接利用公式 计算；(3)(4)两题要利用乘法交换律和结合律，将二次根式根号外的因数(式)和两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号．导引：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲解：（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知1－讲（来自《点拨》）(1)两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的 一定要开方；(2)当二次根式根号外有因数(式)时，可类比单项式相 乘的法则进行运算，如 (b≥0， d≥0)，即将根号外的因数(式)与根号外的因数(式) 相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为 积的被开方数．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲例2 化简：解：(1)方法一：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知1－讲（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·安徽)计算 的结果是(　　)A. B．4 C. D．2(中考·新疆)下列运算结果，错误的是(　　)知1－练（来自《典中点》）2BC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2知识点二次根式的除法知2－讲 二次根式的除法法则：两个二次根式相除，把 被开方数相除，根指数不变， 即： 北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知2－讲例3 计算：（来自《点拨》）导引：(1)直接利用二次根式的除法法则进行计算；(2)要注意根号外 的因数与因数相除，同时要注意结果的符号；(3)进行计算时 需先把带分数化成假分数．解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知2－讲（来自《点拨》） 利用二次根式的除法法则进行计算，被开方数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数”进行约分、化简．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1下列计算正确的是(　　)知2－练（来自《典中点》）B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多如果ab>0，a＋b<0，那么下面各式：其中正确的是(　　)A．①② B．②③ C．①③ D．①②③知2－练（来自《典中点》）2B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多通过本节课的学习，你有哪些收获？与同伴交流.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P43,习题2.9T1 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章 二次根式2.7 二次根式第3课时 二次根式的加减北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1课堂讲解u被开方数相同的最简二次根式u二次根式的加减2课时流程逐点导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多二次根式计算、化简的结果符合什么要求？(1)被开方数不含分母；分母不含根号；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.回顾旧知北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1知识点被开方数相同的最简二次根式知1－导 一般地，二次根式加减一般地，二次根式加减时，，可以先将二次根式化可以先将二次根式化成最成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行行合并合并.北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多可合并的二次根式的条件：(1)最简二次根式；(2)被开方数相同．要点精析：(1)可合并的二次根式必须同时满足：最简二次根式和被 开方数相同这两个条件，它与根号前面的数字因数无 关；(2)“被开方数相同的最简二次根式”在习惯上及相关课外 读物上都称为“同类二次根式”．知1－讲（来自《点拨》）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多导引：首先把选项中每个根式化成最简二次根式，然后 找出被开方数不是3的二次根式．即例1 〈凉山州〉下列根式中，不能与 合并的是(　　) A.　　 　B.　 　　C.　　 　D.知1－讲（来自《点拨》）C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总 结知1－讲（来自《点拨》） 判断两个二次根式是否能合并，判断两个二次根式是否能合并，应先把二次根式先把二次根式化化为最最简二次根式，然后判断被开方数是否相同，相二次根式，然后判断被开方数是否相同，相同就能合并，否同就能合并，否则不能合并．不能合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1 下列各式化成最简二次根式后被开方数与 的被 开方数相同的是(　　)　 A. B. C. D.2 (中考·龙岩)与－ 是同类二次根式的是(　　) A. B. C. D.知1－练（来自《典中点》）DC北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3知识点二次根式的加减知3－讲1.二次根式的加减法则二次根式的加减法则：二次根式加减时，先将：二次根式加减时，先将 二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相 同的二次根式进行合并．同的二次根式进行合并． 即：即：m ＋＋n ＝＝(m＋＋n) .北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知3－讲2．二次根式加减运算的步骤： (1)“化”：将每个二次根式化成最简二次根式； (2)“找”：找出被开方数相同的最简二次根式； (3)“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并 成一项．3．整式加、减运算中的交换律、结合律及去括号、 添括号法则在二次根式的运算中仍然适用．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假。

但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例2 计算：解：（来自教材）北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例3 计算：（来自教材）解:北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多知识点知3－讲例4 计算： 导引：题目中的每个二次根式都不是最简二次根式，因此应按化 简、去括号、合并的步骤进行．（来自《点拨》）解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多总￿￿ 结知3－讲（来自《点拨》）二次根式的加减运算的方法步骤：(1)将每个二次根式都化为最简二次根式，若被开方数 中含有带分数，则要先化成假分数；若含有小数， 则要化成分数，进而化为最简二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再应用加法交换律、 结合律将被开方数相同的二次根式进行合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1(中考·潜江)下列各式计算正确的是(　　)知3－练（来自《典中点》）D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多二次根式的运算的步骤：(1)化简：将二次根式化成最简二次根式；(2)判别：找出被开方数相同的二次根式；(3)合并：类似于合并同类项，将被开方数相同的二次根 式合并．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1.必做: 完成教材P45-46,习题T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实实 数数第第4 4课时课时 二次根式的二次根式的 混合运算混合运算习题课习题课北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多名师点金名师点金 二次根式的混合运算与有理数运算类似，先乘方二次根式的混合运算与有理数运算类似，先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，运用再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，运用运算定律可以改变运算顺序．运算定律可以改变运算顺序．(1)整式的运算法则在二次根式运算中仍然适用．整式的运算法则在二次根式运算中仍然适用．(2)多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然多项式乘法法则及乘法公式在二次根式运算中仍然 适用．适用．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1题型型二次根式的混合运算二次根式的混合运算1．【．【2016·宁夏宁夏】下列计算正确的是】下列计算正确的是(　　　　) A. ＋＋ ＝＝ B．．(－－a2)2＝－＝－a4 C．．(a－－2)2＝＝a2－－4 D. ÷ ＝＝ (a≥0，，b＞＞0)D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2．．【【2015·钦州钦州】】对于任意的正数对于任意的正数m，，n，定义运，定义运 算算※为为m※n＝＝ 计算计算 (3※2)×(8※12)的结果为的结果为(　　　　) A．．2－－4 B．．2 C．．2 D．．20B北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3．填空：．填空：(1)【【2015·长沙长沙】】把把 进行化简，得到的进行化简，得到的 最简结果是最简结果是________．．(结果保留根号结果保留根号)(2)【【2015·包头包头】】计算：计算： ＝＝________.　　北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4．计算下列各题：．计算下列各题：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2 乘法公式在二次根式中的应用乘法公式在二次根式中的应用题型型5．【．【2016·永州永州】下列运算正确的是】下列运算正确的是(　　　　) A．－．－a·a3＝＝a3 B．－．－(a2)2＝＝a4 C．．x－－ x＝＝ D．．( －－2)( ＋＋2)＝－＝－1D北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多6．已知．已知a＝＝1＋＋ ，，b＝＝ ，则，则a与与b的关的关 系是系是(　　　　) A．互为相反数．互为相反数 B．互为倒数．互为倒数 C．相等．相等 D．互为负倒数．互为负倒数A北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多7．．【【2015·孝感孝感】】已知已知x＝＝2－－ ，则代数式，则代数式(7＋＋ 4 )x2＋＋(2＋＋ )x＋＋ 的值是的值是(　　　　) A．．0 B. C．．2＋＋ D．．2－－C北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：8．．计算：算：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：(2)【【2016·大大庆】】北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多同类变式同类变式(4)【【2016·盐城城】】北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3 乘法公式在二次根式中的巧算乘法公式在二次根式中的巧算题型型9．已知．已知a＝＝ ，，b＝＝ ，， 求求 的值．的值．由已知得由已知得a＝＝ ＋＋2，，b＝＝ －－2，，所以所以a＋＋b＝＝2 ，，ab＝＝1.所以原式＝所以原式＝解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多同类变式同类变式10．已知．已知x＝＝ ，，y＝＝ ，， 求求x3y＋＋xy3的的值．．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4整体思想在二次根式求值中的巧用整体思想在二次根式求值中的巧用11．利用乘法公式的变形解决下面的问题：．利用乘法公式的变形解决下面的问题： 已知已知 ＝＝1 006，， 求求 的值．的值．题型型因为因为解：解：＝＝2 017＋＋x－－5－－x＝＝2 012，，所以所以北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5二次根式中的探究规律二次根式中的探究规律12．．观察下列运算：察下列运算：题型型寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(1)通通过观察你得出什么察你得出什么规律？用含律？用含n(n为正整数正整数) 的式子表示出来．的式子表示出来．解：解：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多(2)利用利用(1)中你中你发现的的规律律计算：算：原式原式＝＝解：解：寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多第二章第二章 实实 数数第第5 5课时课时 二次根式运算二次根式运算 常见的题型常见的题型习题课习题课北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多名师点金名师点金进行二次根式的运算时要注意以下几点：进行二次根式的运算时要注意以下几点：(1)先将二次根式适当化简；先将二次根式适当化简；(2)二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；二次根式的乘法可以参照整式的乘法进行运算；(3)对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分数的对于二次根式的除法运算，通常先将其写成分数的 形式，然后通过分母有理化进行运算；形式，然后通过分母有理化进行运算；(4)二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简 的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；的基础上去括号与合并被开方数相同的二次根式；(5)运算结果一般要化成最简形式．运算结果一般要化成最简形式．北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多1题型型利用运算法则进行计算利用运算法则进行计算1．计算：．计算：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多2利用乘法公式进行计算利用乘法公式进行计算题型型2．计算：．计算：原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多原式＝原式＝解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多3利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值利用二次根式的整数部分和小数部分求代数式的值题型型3．已知．已知5＋＋ 和和5－－ 的小数部分分别为的小数部分分别为a，，b，， 试求代数式试求代数式ab－－a＋＋4b－－3的值．的值．因为因为 的整数部分为的整数部分为1，，所以所以5＋＋ ＝＝6＋＋a，，5－－ ＝＝3＋＋b，，即即a＝＝ －－1，，b＝＝2－－ .所以所以ab－－a＋＋4b－－3 ＝＝解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工。

准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多4利用整体思想巧求值利用整体思想巧求值4．已知．已知a＝＝2＋＋ ，，b＝＝2－－ ，试求，试求 的值．的值．题型型因为因为a＋＋b＝＝2＋＋ ＋＋2－－ ＝＝4，，a－－b＝＝2＋＋ －－(2－－ )＝＝2 ，，ab＝＝(2＋＋ )·(2－－ )＝＝1，，所以所以解：解：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册寒假来临，不少的高中毕业生和大学在校生都选择去打工准备过一个充实而有意义的寒假但是，目前社会上寒假招工的陷阱很多5利用二次根式加减运算的特征求字母的取值利用二次根式加减运算的特征求字母的取值( (范围范围) )或式子的值或式子的值5．已知．已知a，，b是正整数，且是正整数，且 ，， 求求a＋＋b的的值．．题型型由由 可知可知 是可以是可以合并的二次根式．合并的二次根式．因为因为 故可设故可设则则解解：：北师大版八年级数学上册北师大版八年级数学上册。