圆盘内的热传导问题.docx

圆盘内的热传导问题蔡晓君 物理学 3 班 200823010971、引言圆盘内的热传导问题是学习中常见的问题，本文通过建立模型并详细的解答问题，得出 了此模型的通解，并通过画图对圆盘内温度分度规律进行了探究对我们生活及生产中热传 导现象有实际的理解帮助2、模型介绍及问题的提出圆盘内的热传导问题模型如下，设有半径为1 的薄均匀圆盘，边界上的温度为0，初始时刻圆盘内温度分布为1- r2 ，其中 r 是圆盘内任一点的集半径，求圆盘内温度分布规律圆域内求解问题，才用极坐标较方便，考虑到定解问题与0无关，故温度U只是r, t 的函数，由题意得，归结为下列定解问题a 工2 1 o、u = a2 ( — + u)a a2 r at r rr<1,t>0=1 一 r2 r < 1t=0运用分离变量法 令 U(r,t) =F(r)T(t)1F(r)T(t)' = a2 T(t)[F"(r)+ F(r)] rT'(t) F''(r)+1F'⑴艮卩 a 2T FT'(t) F'' (r)+ !f ' (r)令—(-)= r =-九Fa2Ta2T则可得r2F" (r) + rF'(r) +九r2F(r) = 0 ①T'(t) + X a2T(t)二 0 ②对②式当九=0时，T'(t)=k为常数(显然不符合题意)故 T (t) =ce-儿2又 U| = T (1) = c e-儿2 = 0九>0可使九=0 2则①式可化为r2F" (r) + rF(r) + 0 2r2F(r)=0 这是特殊函数贝塞尔方程则通解F (r) = C J (0r) + C N (0r)(具体过程见后面解释1)1 0 2 0又 U (r,t)是有界的，故 C2=0,即 F (r) = CJ (0 r)2 1 0又U =0，故J (0 )=0,即0是J (x)的零点t=1 0 0.0 = K(0)对应的本征函数为F (r) = C J (K(0)r)n n n n n从而有 U (r，t) = C e-a2(Kn(0))2t J (K (0)r) n n 0 n形式解为 U (r,t)= 另 C e-a2(Kn0))2tJ (K(o)r)n 0 nn=1又巴=0=1-『2.£ C J (K(0)r) = 1-r2 n 0 nn=1.Cnn(l- r 2)rJ (K (0) r )dr=-9 0 -J1 rJ 2( K (0) r )dr0 0 nJ2(K(0))1nJ1rJ (K(0)r)dr - J1r3J (K(0)r)dr0n又由贝塞尔函数的递推公式dx5宀叫(x)得(具体过程课看后面解释2)J1 rJ (K (0) r)dr = J 1d0 0 n 0 Ld r ,再由递推公式丁 'Xn Jdx nrJ (K (0) r) 1 n 二(K (0))n(X)L Xn Jn-1rJ (K (0) r)―1 n 1(K (0)) 0nJ (K(0))—1 n K (0)n(x) 得(具体过程看后面解释)J1r3J (K(0)r)dr = J1r2d0 0 n 0rJ (K (0) r) 1 n (K (0))nr 3 J (K (0) r)= 1 n 1 —(K (0)) 0n2 J1 r 2 J (K (0) r)drK(0) 0 0 nn=£ - (K2))2 r2J2(纱r)|0nnJ (K(0)r) 2J (K(0))1 n — 2 n (K (0)) (K (0))2nnh 品r 若厂 4 J (K (0) r)从而可有C = 2 nn (K (0))2J 2(K(0)r)n 1 n因此，所求定解问题之解为尹 4J (K(o))U(r,t)=工 2 n J (K(0)r)e-a2(K(°))21(K(0))2 J2(K(0)) 0 nn=1 n 1 n(其中K(o)是J (X)的正零点) n02.1 对方程解的具体解释解释1：d2 y dy贝塞尔方程x 2 + x + (x 2 - n 2) y = 0求解dx 2 dx贝塞尔方程有级数解 y = xr (a + ax + a x 2 +... + a xk +...) = S a xk+r ( a0 1 2 x k 0k =0n2)xk+r代入原方程得 (k + r)(k + r 一 1)xk+r + a (k + r)xk+r + a (x2 一k k kk =0合并同类项得，［r + k)2 -n2I + a = 0 k k 一2当 k=0 时，(r2 - n2)a = 0 ( a 丰 0)00r = ±n当 k=1 时，［r +1)2 一 n21 = 01a = 01 当 k> 2日寸，［r +1)2 一 n21 + a = 0k k +2a当 r=n 时，a = — k-a—k k(2n+ k)a = 0 /. a = 0 1 2 m+1aa而 a 丰 0 a = — 0 = 0 0 2 2(2n + 2) 22 (n +1)a a aa = — 2 = 0 = 0—4 2(2n + 4) 22( n + 1)4(n + 2) 24( n + 1)(n + 2)(-1) m aa 二 o—2m 22mm!(n+1)(n+ 2)...(n + m)其中a0为任意常数，"=苛占而r(x)具有性质r(n +1) = n! (n为整数)(-1)m(-1)m.a = =■ 2m 22mm!2n r(n + 1)(n + 1)(n + 2)...(n + m) 22m+nm!「(n + m+1)•••贝塞尔函数的特解为yi(x)正(-1)mm!F(n + m +1)中"+2(" - °)m=0定义 J (x) = Y (-1)nm=0m m!F(n + m +1)(2)"++(" - °)为第一类贝塞尔函数当r = -n时，同理m (—)-n+2mm!r(n + m +1) 2“ /、 J (x)cosn兀一 J (x) 再定义N (x) 一 亠nsin n 兀J (x)与N (x)线性无关 nn••• 一般贝塞尔函数的额通解可表示成y二AJ (X) + BN (x) nn解释2：、d r「 证明dx nxn J (x)n-1(x)2n+2m证明：••• Jn(x)=艺(-1)w 2n+2mm!r(n + m +1)m=0d I I d 八 x2n+2mxn J (x)」= 乙(-1)m = xn 乙(-1)m = xn J (x)dx n dx 2 n+2 mm!厂(n + m +1) 2 n+2 m-1 m!r(n + m) n-1m=0 m=0X2n+2mXn+2 m-13、结论本文通过常规方法分离变量法解出了圆盘内的热传导问题的解，知道了所构 造的模型通解为所求定解问题之解为U(r,t)=尹 4J (K(o)) 了 、2 n J (K(0)r)e-a2(K(0))21 (K(0))2 J2(K(0)) 0 nn=1 n 1 n（其中K（o）是J （X）的正零点） n 0一 且作出了圆盘温度分度的图形，更形象了解圆盘内温度分布规律，如下图所 示圆盘内的热传导4、 参考文献《数学物理方程与特殊函数》 李元杰 编 高等教育出版社《数学物理方法》 刘连涛王正清编高等教育出版社《数学物理方程》 陈才生编东南大学出版社5、 感想通过这次学习对编程画图有了更进一步的了解，巩固掌握。

在解题过程要时 刻以老师的思想为指导，解题过程以分离变量法为指导方法，但是思想比解题更 重要，在理解的基础上运用这些思想及方法也使我们更加深刻了解到数学物理 方程对我们掌握知识形象理解具体问题的重要性。