第四节无穷小与无穷大.doc

第四节 无穷小与无穷大教材习题1-4答案（上册P43）1.解:两个无穷小的商不一定是无穷小.例如: , .1. 解(1) 而为有界函数即,由P39定理3, (2) 而为有界函数即,.3.证: 要想使即,,,当时, ,即函数为当时的无穷大. #当时, 当时,能使.4.解:第五节 极限运算法则教材习题1-5答案（上册P49）1. 解(1)原式=.(2) 原式=.(3) 原式=.(4) 原式=.(5) 原式=.(6) 原式=.(7) 原式=.(8) 原式=(9) 原式=.(10) 原式=(11) 原式=(12) 原式=(13) 原式=(14) 原式=(15) 原式=(16) 原式=(17) 原式=2.解(1) 由P42定理4即无穷大与无穷小的关系, (2) 由无穷大与无穷小的关系,3.解: (1)原式= (2) 原式=(即分子有理化) (3) 原式=(即分母有理化)(4) 原式=第六节 极限存在法则两个重要极限教材习题1-6答案（上册P59）1. 解:(1) 原式= (2) 原式= (3) 原式= (4) 原式= (5) 原式= (6) 原式=2.解：（1）令，则，当时，，所以，原式=（2）令，则，当时，，所以，原式=（3）原式=（4）原式=（5）令则，当时，， 所以，原式=.(6) 令,则，当时，，所以,原式=3.证: 而,由夹逼准则,.#第七节 无穷小的比较教材习题1-7答案（上册P64）1. 解: ,且 ,记作.2. 解:（1）当时,无穷小是同阶 但非等价无穷小. （2）当时,无穷小是等价无穷小.3. 证: 当时,无穷小 是等价无穷小,即.# 4. 解：(1) ,原式= (2) 当,原式=.(3) 原式=(4) 原式=.(5) 原式=5.证：(1) (2) (3) #【常用的等价无穷小：】第八节 函数的连续性教材习题1-8答案（上册P72）1. 解：(1) 是该函数的分段点. 所以该函数在点处连续,从而在 上连续.(如图)(2) 是该函数的分段点. 为连续点.又为函数的跳跃间断点,即在点处不连续. 在上连续.(如图)2.解：(1) .为可去间断点,属第一类间断点; 为无穷间断点, 属第二类间断点.可令则该函数在处连续. (2) 当时, ,为无穷间断点,属第二类间断点. 和为可去间断点, 属第一类间断点. 可补充定义 ,则此时在和 出连续.(3) 当时，函数值在0与1之间变换无限多次，所以点为函数 的震荡间断点，属第二类间断点.（4）为函数的跳跃间断点，属第一类间断点.3.解: 的间断点为2或-3. 其连续区间为因为该函数在连续,所以4．解：(1) 原式(2) 原式.(3) 原式.(4) 原式5. 解：(1) 原式.(2) 原式, (3) 令则原式 (4) 原式 ,又 故原式=.6.解:由题设知,函数上连续,在处, , ,要使该函数在点连续,应满足,即.当时,使得在内连续.第九节 闭区间上连续性函数的性质教材习题1-9答案（上册P77）1.证:令则又在上连续，由零点定理知，至少一点使得即方程至少有一个根介于1和2之间. #2.证:令则若则就是的一个正根,且不超过.若即且在上连续.由零点定理知，至少一点使得综合两点, 即为方程的一个正根且,不超过.#3.解 ：设 则即又函数在或上连续.由介值定理, 至少一点或，使得本题可作以下推广：设在上连续，，则在内至少有一点，使#4.解: 解：以山脚为原点，山顶方向的位移为正，设为上山时的位移函数，是一个连续的单调增函数，为下山时的位移函数，是一个连续的单调减函数，设早7：00时间点为，晚7：00时间点为，则，令，则是一个连续单调增函数，又由的单调性及介值定理，存在唯一一点使即这个运动员必在这两天的某一时刻经过登山路线的同一地点第一章复习题教材总习题一答案（上册P77）一、概念复习1.解：（1）答案（A）和（D）正确，（B）和（C）不符合函数的定义。

2）（D）正确3）（4），间断点的类型分别是可去间断点，跳跃间断点和无穷间断点.（5）由则（6）时, .（7）.2.解：(1) 错.如数列有界但极限不存在.(2)正确. 存在且也存在, 存在.(3) 错. 如存在,而不存在.(4) 错. 如(5) 错.答案同P60第3题.(6) 错. 如(7) 正确.闭区间上连续函数的性质.二、综合练习1.解: 如图.如图.2.解:(1)令 则当时, .(2) 令则当时, .(3)分子有理化, 即 .(4)此题是型,统分后再计算: 3.解: 原式= ,4.解:因为该函数在上连续,要想在处连续,必使,即所以当 时,函数在内连续.5.解: 令又在内连续, 在内至少有一个根,使.同理,存在其它两根分别在和内.6. 解:(1) .(2)当时，即当时，=.7. 解:设金属线圆圈的中心位于原点,圈上任意点处的温度为,其中为与轴正向之间的夹角().则金属线圈上的温度. 在上连续， .由介值定理，存在 或，使得. 金属圆圈直径两端处的温度相同.。