全国中学生物理竞赛集锦(光学)答案92652.doc

全国中学生物理竞赛集锦（光学）答案第21届预赛2004.9.5一、1. d. 10－192. a正确，b不正确理由：反射时光频率n 不变，这表明每个光子能量hn 不变评分标准：本题15分，第1问10分，每一空2分第二问5分，其中结论占2分，理由占3分图1六、把酒杯放平，分析成像问题 1．未斟酒时，杯底凸球面的两侧介质的折射率分别为n1和n0＝1在图1中，P为画片中心，由P发出经过球心C的光线PO经过顶点不变方向进入空气中；由P发出的与PO成a 角的另一光线PA在A处折射设A处入射角为i，折射角为r，半径CA与PO的夹角为q ，由折射定律和几何关系可得n1sini＝n0sinr （1）q ＝i+a （2）在△PAC中，由正弦定理，有 （3）考虑近轴光线成像，a、i、r 都是小角度，则有 （4） （5）由（2）、（4）、（5）式、n0、nl、R的数值及cm可得q ＝1.31i （6）r ＝1.56i （7）由（6）、（7）式有r＞q （8）由上式及图1可知，折射线将与PO延长线相交于P¢，P¢ 即为P点的实像．画面将成实像于P¢ 处。

在△CAP¢ 中，由正弦定理有 （9）又有 r＝q +b (10)考虑到是近轴光线，由（9）、（l0）式可得 (11)又有 （12）由以上各式并代入数据，可得 cm （13）由此可见，未斟酒时，画片上景物所成实像在杯口距O点7.9 cm处已知O到杯口平面的距离为8.0cm，当人眼在杯口处向杯底方向观看时，该实像离人眼太近，所以看不出画片上的景物图22．斟酒后，杯底凸球面两侧介质分别为玻璃和酒，折射率分别为n1和n2，如图2所示，考虑到近轴光线有 （14）代入n1和n2的值，可得r＝1.16i （15）与（6）式比较，可知r＜q （16）由上式及图2可知，折射线将与OP延长线相交于P¢，P¢ 即为P点的虚像。

画面将成虚像于P¢ 处计算可得 （17）又有 （18）由以上各式并代入数据得 cm （19）由此可见，斟酒后画片上景物成虚像于P¢处，距O点13cm．即距杯口21 cm虽然该虚像还要因酒液平表面的折射而向杯口处拉近一定距离，但仍然离杯口处足够远，所以人眼在杯口处向杯底方向观看时，可以看到画片上景物的虚像评分标准：本题15分．求得（13）式给5分，说明“看不出”再给2分；求出（l9）式，给5分，说明“看到”再给3分第21届复赛 zaLS1PaS2ahhS3’O1O2(S2’)O3图1M’Mu四、1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3个光源的连线，O2位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点． ＝ u就是物距．根据透镜成像公式 (1)可解得 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得 ≈1.757h (2)此解满足上面的条件． 分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O1、O2、O3应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有 (3) 即光心O1的位置应在之下与的距离为 (4)同理，O3的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、S2、S3都能成像于P点．2．现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜．因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、O2、O3处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．图2画出了L1、L2放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C1、C2表示L1、L2的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为C1、C2与O1O2的交点．0.146h0.854h0.439h0.439hhS1’O2 (S2’)O1W1W2’NN’TT’C1C2’圆1圆2图2x2x1K为圆心的圆1和以（与O2重合）为圆心的圆2分别是光源S1和S2投射到L1和L2时产生的光斑的边缘，其半径均为 (5)根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L1上？由几何关系可知 (6)故从S1发出的光束能全部进入L1．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和L2进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O1和O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L1和L2进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L2的下半部和L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P点．现在计算和的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图2所示，则对任意一条切割线， x1、x2之和为 （7）由于必须在和之间，从图2可看出，沿切割时，x1达最大值(x1M)，x2达最小值(x2m)， 代入r，r 和的值，得 (8)代入(7)式，得 (9)由图2可看出，沿切割时，x2达最大值(x2M)，x1达最小值(x1m)， 代入r和r 的值，得 (10) （11）由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同．评分标准：本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．如果学生解答中没有(7)—(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给1分，即给(7)—(11)式的全分（4分）．第20届预赛一、参考解答（1） 右 f 实 倒 1 。

2） 左 2f 实 倒 1 评分标准：本题20分，每空2分第20届复赛四、参考解答图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有 （1）在中 （2） （3）由式（1）和式（2）得 再由式（3）得 设点到的距离为，有 得 （4）解式（4）可得 （5）为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式由图可知，应有，故式（5）中应排除±号中的负号，所以应表示为 （6）上式给出随变化的关系。

因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为 （7）在轴上处，无光线通过随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线与临界角相应的光线有 这光线的折射线与轴线的交点处于 （8）在轴上处没有折射光线通过由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右 （9）。