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初中二次函数综合题解题技巧二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度学生往往因缺乏思路,感到无从下手,难以拿到分数事实上,只要理清思路,方法得当,稳步推进,少失分、多得分、是完全可以做到的第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可第2—3小题通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程（组）与不等式（组）等知识呈现，知识面广，难度大；解这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃大致将二次函数综合题归为以下7个类型：①二次函数中线段数量关系的探究问题；②二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题；③二次函数中旋转、对称的探究问题；④二次函数与特殊三角形的探究问题；⑤二次函数与特殊四边形的探究问题；⑥二次函数与圆的探究问题；⑦二次函数中动态的探究问题下面对每个类型进行逐一说明。

类型一 二次函数中线段数量关系的探究问题例1：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标解：（1）二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴顶点坐标为（-1，4）；（2）令y=-x2-2x+3=0，解得x=-3或x=1，∴点A（-3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在y=-x2-2x+3上，∴设点P（x，-x2-2x+3）①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△ANQ，∴AQ=PD，即y=-x2-2x+3=2，解得x=-1（舍去）或x=--1，∴点P（--1，2）；方法提炼：★设点坐标：若所求点在x轴上可设（x,0），在y轴上可设（0，y）；若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为（x，ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设为（-1，y)；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为（x，kx+b)，常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.★简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。

横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值不规则：两点间距离公式★根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值；跟踪训练1 如图，抛物线y=-x2+bx+c的图象过点A(4，0)，B(-4，-4)，且抛物线与y轴交于点C，连接AB，BC, AC. (1)求抛物线的解析式；(2)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴的平行线，分别交抛物线及x轴于F、D两点. 请问是否存在这样的点E，使DE=2DF？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 类型二 二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题例2：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．②方法1：当P位于第二象限即-3＜x＜0时，S△AOC=，S△OCP=-x，S△OAP=•3•|yP|=-x2-3x+，∴S△APC=S△OAP+S△OCP-S△AOC=-x2+x-9=-（x+）2+，当x=-时取得最大值；∴当x=-时，S△APC最大值，此时P（-，）∵S四边PA= S△ABC+S△APC，S四边形PABC最大=．方法2：可求直线AC：YAC=x+3，设PD与AC的交点为E,则点E（x，x+3）PE=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x当P位于第二象限即-3＜x＜0时，S△APC=•3•PE=(-x2-3x) =-（x+）2+，当x=-时取得最大值；∴当x=-时，S△APC最大值，此时P（-，）∵S四边PA= S△ABC+S△APC，S四边形PABC最大=．方法提炼：★三角形面积最值。

分规则与不规则有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法或S△=•水平宽•铅垂高★四边形面积最值常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形例3：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点 （1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式； （2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值解：（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，解得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x2+x （2）由y=﹣x2+x，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小 过点A作AN⊥x轴于点N在Rt△ABN中，由勾股定理得AB=4因此OM+AM最小值为4 方法提炼：★已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、O，求AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+OM的最小值。

同理，我们也可以做出点A关于这条直线的对称点A’，将点O与A’连接起来交直线与点M，那么OA’就是AM+OM的最小值应用的定理是：两点之间线段最短 ★ 初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值跟踪训练2如图，抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．跟踪训练3抛物线y＝ax 2 ＋bx＋c交x轴于A，B两点，交y于点C，已知抛物线的对称轴为x＝1，B(3，0)，C(0，－3). (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B，C两点距离之差最大？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.跟踪训练4（2016烟台）如图1，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）如图2，过点F作FM⊥x轴，垂足为M，交直线AC于P，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，连接MN，直线AC分别交x轴，y轴于点H，G，试求线段MN的最小值，并直接写出此时m的值．类型三 二次函数中旋转、对称的探究问题例4在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′。

1）写出点A、A′、C′的坐标；  （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0）， ∴A（m，0），C（0，1），  ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成， ∴A′（0，m），C′（-1，0）；   （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0），  ∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m；    （3）存在  ∵点B与点D关于原点对称，B（ m ， 1） ，   ∴点D的坐标为： （-m，-1），  ∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； 假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上，  则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， ∵△=22-4×（-2）×1=12＞0， ∴此点在抛物线上，解得m= 或m= （舍去）.方法提炼：★（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，－b）；关于y轴对称的点的坐标为（－a，b）；关于原点对称的点的坐标为（－a，－b）；关于直线x=m的对称点为（2m－a，b）；关于直线y=n的对称点为（a，2n－b）；关于点（m，n）的对称点为（2m－a，2n－b）；绕原点逆时针旋转90°的坐标为（－b，a）；绕原点顺时针旋转90°的坐标为（b，－a）；任意两点（x1，y1）和（x2，y2 ）的中点为（，）。

跟踪训练5（2014烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D． （1）求抛物线的表达式； （2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．跟踪训练6若两条抛物线的顶点相同,则称它们为“友好抛物线”.抛物线C1(如图1): y1=ax2-2x+c与C2: y2=-x2+2x-5为“友好抛物线”.图1图2(1)求抛物线C1的表达式；(2)点P是抛物线C1上在第四象限的一个动点，过点P作PE⊥x轴，E为垂足，求PE+OE的最大值；(3) 如图2，设抛物线C1的顶点为C，点B的坐标为(−1, −4)，连接BC.在C1的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M顺时针旋转90o得到线段MB′，且点B′恰好落在抛物线C1上?若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.类型四 二次函数与特殊三角形的探究问题（1）与直角三角形的探究问题例5如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且经过A(1，0)，C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B。

1）若直线y=mx+n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标.解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=-1，且抛物线经过A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，∴B的坐标为：（-3，0），设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x+3）， 把C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1，∴抛物线的解析式为：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3；把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3。