机械控制工程基础 第五章 第六版..ppt

第五章第五章 系统的稳定性系统的稳定性 ————系统能正常工作的首要条件系统能正常工作的首要条件 系统的稳定性与稳定条件系统的稳定性与稳定条件 RouthRouth（劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 BodeBode稳定判据稳定判据 系统的相对稳定性系统的相对稳定性 一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件 1.1.系统不稳定现象系统不稳定现象 例：液压位置随动系统例：液压位置随动系统 原理：原理： 外力外力→→阀芯初始位移阀芯初始位移X X i i (0)→(0)→阀口阀口2 2、、4 4打开打开 →→活塞右移活塞右移→→阀口关闭（回复平衡位置）阀口关闭（回复平衡位置） →→（惯性）活塞继续右移（惯性）活塞继续右移→→阀口阀口1 1、、3 3开启开启→→活塞左移活塞左移→ → 平衡位置平衡位置 →→（惯性）活塞继续左移（惯性）活塞继续左移→→阀口阀口2 2、、4 4开启开启………… ①① 随动：活塞跟随阀芯运动随动：活塞跟随阀芯运动 ②② 惯性：引起振荡惯性：引起振荡 ③③ 振荡起来之后，若忽略阻尼，振荡起来之后，若忽略阻尼， 则振荡与外界作用无关则振荡与外界作用无关 ①① 减幅振荡减幅振荡 （收敛，稳定（收敛，稳定 ）） ②② 等幅振荡等幅振荡 （临界稳定）（临界稳定） ③③ 增幅振荡增幅振荡 （发散，不稳定）（发散，不稳定） 一、系统的稳定性与稳定条件一、系统的稳定性与稳定条件 结论：结论： 1.1. 系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数）系统是否稳定，取决于系统本身（结构，参数） ，与输入无关，与输入无关 • • 不稳定现象的存在是由于反馈作用不稳定现象的存在是由于反馈作用 • • 稳定性是指自由响应的收敛性稳定性是指自由响应的收敛性 定义：定义： 系统在初始状态作用下系统在初始状态作用下 无输入时的初态无输入时的初态 输入引起的初态输入引起的初态 输出输出 （响应）（响应） 收敛（回复平衡位置）收敛（回复平衡位置）系统稳定 系统稳定 发散（偏离越来越大）发散（偏离越来越大）系统不稳定 系统不稳定 2.2. 系统稳定条件系统稳定条件 线性定常系统系统是否稳定取决于系统的特征根：线性定常系统系统是否稳定取决于系统的特征根： 线性定常系统：线性定常系统： 强迫响应强迫响应 输入引起的输入引起的 自由响应自由响应 系统的初态引系统的初态引 起的自由响应起的自由响应 自由响应自由响应 s s i i : :系统的特征根系统的特征根 2.2. 系统稳定条件系统稳定条件 1)1) 当系统所有的特征根当系统所有的特征根s s i i （（i=1i=1，，2 2，，……，，n)n)均具有负实部（均具有负实部（ 位于位于[s][s]平面的左半平面）平面的左半平面） 自由响应收敛，自由响应收敛，系统稳定系统稳定 2)2) 若有任一若有任一s s k k 具有正实部（位于具有正实部（位于[s][s]平面的右半平面）平面的右半平面） 自由响应发散，自由响应发散，系统不稳定系统不稳定 2.2. 系统稳定条件系统稳定条件 3)3) 若有特征根若有特征根s s k k =jω=jω（位于（位于[s][s]平面的虚轴上），其余极点位平面的虚轴上），其余极点位 于于[s][s]平面的左半平面平面的左半平面 自由响应等幅振动，自由响应等幅振动，系统临界稳定系统临界稳定 4)4) 若有特征根若有特征根s s k k =0=0（位于（位于[s][s]平面的原点），其余极点位于平面的原点），其余极点位于 [s][s]平面的左半平面平面的左半平面 自由响应收敛于常值，自由响应收敛于常值，系统稳定系统稳定 简谐运动简谐运动 2.2. 系统稳定条件系统稳定条件 结论：结论：线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特线性定常系统是否稳定，完全取决于系统的特 征根。

征根 线性定常系统稳定的充要条件线性定常系统稳定的充要条件：： 若系统的全部特征根（传递函数的全部极点若系统的全部特征根（传递函数的全部极点 ）均具有）均具有负实部负实部（位于（位于[s][s]平面的左半平面），则平面的左半平面），则 系统稳定系统稳定 如何判别？如何判别？ 求出闭环极点？求出闭环极点？ 实验？实验？ ①①高阶难求高阶难求 ②②不必要不必要 如果不稳定，可能导致严重后果如果不稳定，可能导致严重后果 思路：思路： ①①特征方程特征方程→→根的分布（避免求解）根的分布（避免求解） ②②开环传递函数开环传递函数→→闭环系统的稳定性闭环系统的稳定性 （开环极点易知，闭环极点难求）（开环极点易知，闭环极点难求） 稳定判据稳定判据 二、二、Routh Routh （劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 ————代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布）代数判据（依据根与系数的关系判断根的分布） 1.1. 系统稳定的必要条件系统稳定的必要条件 设系统特征方程为：设系统特征方程为： s s1 1 ,s ,s2 2 ,…,s,…,s n n ：特征根：特征根 因为因为 比较系数：比较系数： 系统稳定的必要条件：系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零各系数同号且不为零 或：或： a an n >0,>0, a an-1 n-1>0, >0, … … , , a a 1 1 >0,>0, a a 0 0 >0>0 二、二、Routh Routh （劳斯）稳定判据（劳斯）稳定判据 2.2. 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件 特征方程：特征方程： Routh Routh 表表：： 其中：其中： Routh Routh 判据判据：：RouthRouth表中第一列各元符号改变的次数等于系统特表中第一列各元符号改变的次数等于系统特 征方程具有正实部特征根的个数。

因此，征方程具有正实部特征根的个数因此，系统稳定系统稳定 的充要条件是的充要条件是RouthRouth表中第一列各元的符号均为正表中第一列各元的符号均为正 ，且值不为零，且值不为零 例例1 1 系统的特征方程系统的特征方程D(s)=s D(s)=s 4 4 ＋＋s s 3 3 －－19s19s 2 2 ＋＋11s11s＋＋3030＝＝0 0 Routh Routh 表表：： 第一列各元符号改变次数为第一列各元符号改变次数为2 2，因此，因此 1.1. 系统不稳定系统不稳定 2.2. 系统有两个具有正实部的特征根系统有两个具有正实部的特征根 例例2 2 已知已知   =0.2=0.2及及  n n =86.6=86.6，试确定，试确定KK取何值时，系统方能稳定取何值时，系统方能稳定 D(s)=sD(s)=s 3 3 +34.6s+34.6s 2 2 +7500s+7500K=0+7500s+7500K=0 由系统稳定的充要条件，有由系统稳定的充要条件，有 (1) 7500K>0(1) 7500K>0，亦即，亦即K>0K>0显然，这就是由必要条件所得的结果显然，这就是由必要条件所得的结果。

(2) (2) ，亦即，亦即K<34.6K<34.6 故能使系统稳定的参数故能使系统稳定的参数KK的取值范围为的取值范围为00, a a 1 1 >0,>0, a a 0 0 >0,>0, 三阶系统三阶系统(n=3)(n=3)稳定的充要条件为稳定的充要条件为：： a a3 3 >0,>0, a a 2 2 >0,>0, a a 0 0 >0,>0, a a 1 1a a2 2 －－a a 0 0a a3 3 >0>0 特别特别：： 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 ————几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性几何判据（利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性 ）） 1.1. 幅角原理幅角原理 L Ls s ：：[s][s]平面上一封闭曲线平面上一封闭曲线 （不经过（不经过F(s)F(s)的奇点）的奇点） 设有复变函数设有复变函数：： 幅角原理幅角原理：：ｓｓ按顺时针方向沿按顺时针方向沿L L s s 变化一周时，变化一周时， F(s)F(s)将绕原点顺时针旋转将绕原点顺时针旋转N N周，即包围原点周，即包围原点N N次次 。

N=Z-PN=Z-P Z Z：：LsLs内的内的F(s)F(s)的零点数的零点数 P P：：LsLs内的内的F(s)F(s)的极点数的极点数 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 2.2. 开、闭环零极点与开、闭环零极点与F(s)F(s) 取取 F(s)=1F(s)=1＋＋G(s)H(s)=1+GG(s)H(s)=1+G k k (s)(s) 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 例例1 P=0 1 P=0 系统的开环系统的开环NyqusitNyqusit图图 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 例例2 2 开环不稳定，开环不稳定， 闭环稳定闭环稳定 P=1P=1 Nyquist Nyquist 稳定判据特点稳定判据特点 1 1、、 Nyquist Nyquist 判据是在判据是在[GH][GH]平面判定系统的稳平面判定系统的稳 定，定， 而不是在而不是在[S][S]平面 2 2、、 Nyquist Nyquist 判据证明复杂，但应用简单判据证明复杂，但应用简单。

3 3、、P=0P=0开环稳定，但闭环可能不稳定；开环稳定，但闭环可能不稳定； P 0 P 0开环不稳定，但闭环可能稳定（实际工开环不稳定，但闭环可能稳定（实际工 程程 中可能不可靠）中可能不可靠） 4 4、开环、开环NyquistNyquist轨迹对实轴是对称的轨迹对实轴是对称的 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 例例3 3 稳定稳定 P=1P=1 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 7.7.应用举例应用举例 例例1 1 不论不论K K取任何正值，系统总是稳定的取任何正值，系统总是稳定的 开环为最小相位系统时，只有在三阶或开环为最小相位系统时，只有在三阶或 三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定三阶以上，其闭环系统才有可能不稳定 P=0P=0 P=0P=0 例例2 2 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 7.7.应用举例应用举例 例例3 3 P=0P=0 若若G(jG(j )H(j)H(j ) )如图中曲线如图中曲线①①所示，包围点（－所示，包围点（－1 1，，j0j0），则），则 系统不稳定。

系统不稳定 减小减小KK值，使值，使 G(jG(j )H(j)H(j ) ) 减小，曲线减小，曲线①①有可能因模减小有可能因模减小 ，相位不变，而不包围，相位不变，而不包围( (－－1 1，，j0j0），因而系统趋于稳定因而系统趋于稳定 若若KK不变，亦可增加导前环节的时间常数不变，亦可增加导前环节的时间常数T T 4 4 、、T T 5 5 使相位减使相位减 小，曲线小，曲线①①变成曲线变成曲线②②由于曲线由于曲线②②不包围点不包围点( (－－1 1，，j0),j0), 故系统稳定故系统稳定 三、三、Nyquist Nyquist 稳定判据稳定判据 7.7.应用举例应用举例 P=0P=0 例例4 4 当导前环节作用小，即当当导前环节作用小，即当T T 4 4 小时，开环小时，开环NyquistNyquist轨迹为曲线轨迹为曲线 ①①，它包围点，它包围点( (－－1 1，，j0j0），闭环系统不稳定；），闭环系统不稳定； 。